2023-2024学年湖南省怀化市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖南省怀化市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=60∘，AB=8cm，则BC的长度为( )
A. 6cm
B. 5cm
C. 4cm
D. 3cm
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.点A(−3,4)所在象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式，小文对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)，则下列说法正确的是( )
A. 小文一共抽样调查了20人
B. 样本中当月使用“共享单车”40∼50次的人数最多
C. 样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有15人
D. 样本中当月使用次数不足30次的人数占36%
5.若一个多边形的内角和是900∘，则这个多边形的边数是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
6.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+m−1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为( )
A. −5B. 5C. −6D. 6
7.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB=14，S△ABD=14，则CD=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是( )
A. ∠BDE=∠BAC
B. ∠BAD=∠B
C. DE=DC
D. AE=AC
9.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60∘，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
10.如图1，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于( )
A. 25B. 20C. 12D. 8 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.点A(−2,6)关于y轴的对称点的坐标是______.
12.张老师对本班40名学生的血型作了统计，列表如下，则本班A型血的人数是______人.
13.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=10，点D是AB的中点，则CD=______.
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=______cm.
15.若一次函数y=(2m−3)x+1−2m的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是______.
16.如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则EC=______.
17.如图，在▱ABCD中，∠A=70∘，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=______.
18.如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB//CD，BC=3，DC=4，点E在BC上，且BE=1，F，G为边AB上的两个动点，且FG=1，则四边形DGFE的周长的最小值为______.
三、解答题：本题共9小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，DE⊥AB于E.CD=DE.
(1)求证：AD平分∠CAB.
(2)若AC=3，BC=4.求DE的长.
20.(本小题6分)
已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)求△ABC的面积.
(2)△ABC中任意一点P(x0,y0)经平移后对应点为P1(x0+4,y0−3)，将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，请直接写出A1、B1、C1的坐标.
21.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，BE⊥AD，DF⊥AB，BE=DF.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若BE= 3，∠C=60∘，求菱形ABCD的面积.
22.(本小题8分)
某校举办了首届“英语原创演讲比赛”，经选拔后有若干名学生参加决赛，根据测试成绩(成绩都不低于60分)绘制出如下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表提供的信息完成下列各题．
(1)参加决赛的学生有______名，请将图 b补充完整；
(2)表a中的m=______，n=______；
(3)如果测试成绩不低于80分为优秀，那么本次测试的优秀率是______.
23.(本小题9分)
某商品的单价为50元时，销售量为6000件，由此开始，销售单价每提高1元，销售量就减少300件.
(1)求出这种商品的需求量y(件)与单价x(元)之间的函数表达式，其中x≥50；
(2)当价格为60元时，这种商品的需求量是多少？
(3)当价格提高到多少元时，这种商品就卖不出去了？
24.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线l2：与x轴交于点B(1,0)，与l2相交于点C(m,4).
(1)求直线l2的解析式；
(2)求四边形OBCD的面积；
(3)若点M为x轴上一动点，过点M(t,0)作垂直于x轴的直线，与直线l2交于点Q.若S△AQC=2S△ABC，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标.
26.(本小题10分)
(1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点(1,2)处．则①OA的长为______；②点B的坐标为______.(直接写结果)
(2)感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点C(−1,0)，点A(0,4)，试求直线AB的函数表达式．
(3)拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B(4,3)，过点B作BA⊥y轴，垂足为点A，作BC⊥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y=2x−6上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt△APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．
27.(本小题8分)
如图，在△OAB中，∠OAB=90∘，∠AOB=30∘，OB=8.以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E
(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2)连接AC、BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH.
(3)在(2)的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN：
①M点的坐标为______；
②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积(图中阴影部分)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=60∘，AB=8cm，
∴∠A=30∘，
∴BC=12AB=4(cm).
故选：C.
先求出∠A=30∘，再根据含有30∘角的直角三角形性质可得BC的长．
此题主要考查了含有30∘角的直角三角形的性质，熟练掌握含有30∘角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C.
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查点的坐标，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).
应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点A所在的象限．
【解答】
解：因为点A(−3,4)的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，所以点A在第二象限．
故选B.
4.【答案】D
【解析】解：A.小文一共抽样调查的人数为4+8+15+20+16+12=75(人)，此选项错误；
B.样本中当月使用“共享单车”30∼40次的人数最多，此选项错误；
C.样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有15+8+4=27人，此选项错误；
D.样本中当月使用次数不足30次的人数所占百分比为2775×100%=36%，此选项正确；
故选：D.
将各组人数相加可得总人数，据此判断A；样本中当月使用“共享单车”30∼40次的人数最多，据此可判断B；样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有15+8+4，据此可判断C；将样本中当月使用次数不足30次的人数除以样本容量，据此可判断D.
本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布直方图得出样本容量及各组具体人数．
5.【答案】C
【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
(n−2)⋅180∘=900∘，
解得n=7.
故选：C.
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180∘，列式求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：将一次函数y=2x+m−1的图象向左平移3个单位后，得到y=2(x+3)+m−1，
把(0,0)代入，得到：0=6+m−1，
解得m=−5.
故选：A.
根据平移的规律得到平移后直线的解析式为y=2(x+3)+m−1，然后把坐标原点的坐标代入求值即可．
本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90∘，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×14⋅DE=14，
解得DE=2，
∴CD=2.
故选：C.
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C=90∘，
∴DE=DC，∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90∘，
∴∠BDE=∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
AD=ADDE=DC，
∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，
∴AE=AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD=∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B.
由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD=∠B.
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30∘角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键.
由正方形的性质和平行线的性质得出∠A=90∘，∠EFD=∠BEF=60∘，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60∘，BE=B′E，从而得出∠AB′E=30∘，得出B′E=2AE，设BE=x，得出B′E=x，AE=3−x，从而得出2(3−x)=x，解方程求出x，即可得出答案.
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠A=90∘，
∴∠EFD=∠BEF=60∘，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB′=60∘，BE=B′E，
∴∠AEB′=180∘−∠BEF−∠FEB′=60∘，
∴∠AB′E=30∘，
∴B′E=2AE，
设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，
∴2(3−x)=x，
解得x=2，
∴BE=2.
故选D.
10.【答案】C
【解析】解：如图2，
x=5时，BC=5，
x=10时，BC+CD=10，则CD=5，
x=15时，CB+CD+BD=15，则BD=8，
如下图，过点C作CH⊥BD交于H，
在Rt△CDH中，
∵CD=BC，CH⊥BD，
∴DH=12BD=4，而CD=5，故CH=3，
当x=5时，点P与点C重合，即BP=5，
a=S△ABP=S△ABC=12×BD×CH=12×8×3=12，
故选：C.
x=5时，BC=5；x=10时，BC+CD=10，则CD=5；x=15时，CB+CD+BD=15，则BD=8，进而求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到图形的面积、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
11.【答案】(2,6)
【解析】解：点A(−2,6)关于y轴的对称点的坐标是(2,6).
故答案为：(2,6).
根据“关于y轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点的坐标，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12.【答案】16
【解析】解：本班A型血的人数为：40×0.4=16(人).
故答案为：16.
根据频数=频率×数据总数求解．
本题考查了频数(率)分布表，解答本题的关键是掌握频数=频率×数据总数．
13.【答案】5
【解析】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=α，∠B=2α，∠C=3α，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴α+2α+3α=180∘，
解得：α=30∘，
∴∠A=30，∠B=60，∠C=90，
∵AB=10，点D是AB的中点，
∴CD=12AB=5.
故答案为：5.
首先根据∠A：∠B：∠C=1：2：3，及三角形的内角和定理求出∠A=30，∠B=60，∠C=90，然后再根据直角三角形的中线等于斜边的一半即可得出答案．
此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形斜边上中线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形斜边上中线的性质是解决问题的关键．
14.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．
先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
【解答】
解：在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2=10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF=12OD=14BD=14AC=52cm，AF=12AD=12BC=4cm，AE=12AO=14AC=52cm，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm.
故答案为9.
15.【答案】12【解析】解：∵一次函数y=(2m−3)x+1−2m的图象经过第二、三、四象限，
∴2m−3<01−2m<0，
解得：12故答案为：12函数的图象经过二、三、四象限，则2m−3<0、1−2m<0；最后解两个不等式确定m的范围．
熟练掌握一次函数y=kx+b的性质．当k>0，y随x的增大而增大，图象一定过第一、三象限；当k<0，y随x的增大而减小，图象一定过第二、四象限；当b>0，图象与y轴的交点在x轴上方；当b=0，图象过原点；当b<0，图象与y轴的交点在x轴下方．
16.【答案】2cm
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=3cm，
∴EC=BC−BE=5cm−3cm=2cm，
故答案为：2cm.
根据平行四边形性质求出BC长，AD//BC，根据角平分线定义推出∠BAE=∠AEB，得到BE=AB，求出EC即可．
本题综合考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出AB=BE，题目比较典型，难度不大．
17.【答案】40∘
【解析】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，
∴BC=BC1，
∴∠BCC1=∠C1，
∵∠A=70∘，
∴∠BCD=∠C1=70∘，
∴∠CBC1=180∘−2×70∘=40∘，
∴∠ABA1=40∘，
故答案为：40∘.
由旋转的性质可知：▱ABCD全等于▱A1BC1D1，所以BC=BC1，所以∠BCC1=∠C1，又因为旋转角∠ABA1=∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．
本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形．
18.【答案】2 5+6
【解析】解：∵∠ABC=90∘，AB//CD，
∴∠ABC+∠C=180∘，
∴∠C=90∘，
∵BE=1，BC=3，
∴CE=BC−BE=3−1=2，
在Rt△DCE中，DC=4，CE=2，
∴DE= DC2+CE2= 42+22=2 5，
∵FG=1，
∴四边形DEFG的周长为=DG+EF+2 5+1，
要使四边形DEFG的周长最小，只要DG+EF最小即可，
过点F作FP//DC交DC于点P，则四边形DGFP是平行四边形，
∴FP=DG，DP=FG=1，
∵DC=4，
∴CP=DC−DP=4−1=3
延长CB到点Q，使BQ=BE=1，连接QF，则QF=EF，
∴CQ=BC+BQ=3+1=4，
∴DG+EF=PF+QF，
当Q，F，P三点共线时，QF+PF的值最小，为QP，
∴DG+EF的最小值为QP，
在Rt△PCQ中，QP= PC2+QC2= 32+42=5，
∴四边形DEFG的周长为=5+2 5+1=2 5+6，
故答案为：2 5+6.
先确定DE和FG的长为确定的值，得到四边形DEFG的周长最小时，即为DG+EF最小时，过点F作FP//DG得平行四边形DGFP，知FP=DG，DP=FG=1，作点E关于AB对称点Q，连接QF，则QF=EF，连接QP，当Q，F，P三点共线时，QF+PF的值最小，为QP，得到DG+EF最小为QP，在Rt△PCQ中由勾股定理可得QP，从而可求出结论．
本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，能将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵∠C=90∘，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90∘，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
CD=DEAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴∠DAC=∠DAE，
∴AD平分∠CAB；
(2)解：∵AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 9+15=5，
∵△ACD≌△AED，
∴AC=AE=3，CD=DE，
∴BE=2，
在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2，
∴(4−DE)2=DE2+22，
∴DE=32.
【解析】(1)由“HL”可证△ACD≌△AED，即可证得结果；
(2)由全等三角形的性质可得AC=AE=3，CD=DE，由勾股定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解(1)S△ABC=5×7−12×3×5−12×1×4−12×4×7=11.5；
(2)∵△ABC中任意一点P(x0,y0)经平移后对应点为P1(x0+4,y0−3)，
∴P点象右平移4个单位，又向下平移3个单位，
∴将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，A1、B1、C1的坐标分别为：(2,0)，(−2,−1)，(−5,4).
【解析】(1)根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可；
(2)根据点P(x0,y0)经平移后对应点为P1(x0+4,y0−3)，得出平移变换的规律即可得出△ABC的三个顶点的对应点．
此题主要考查了平移的性质以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键．
21.【答案】(1)证明：∵BE⊥AD，DF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFD=90∘，
在△AEB与△AFD中，
∠AED=∠AFD∠A=∠ABE=DF，
∴△AEB≌△AFD(AAS)，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵BE⊥AD，∠C=60∘，
∴∠ABE=30∘，
∴AB=2AE，
∵AB2=AE2+BE2，
∴AB2=(12AB)2+( 3)2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的面积=BC⋅BE=2× 3=2 3.
【解析】(1)根据垂直的定义得到∠AEB=∠AFD=90∘，根据全等三角形的性质得到AB=AD，根据菱形的判定定理得到结论；
(2)根据直角三角形的性质得到AB=2AE，根据勾股定理得到AB=2，根据菱形的面积公式得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】401047.5%37.5%
【解析】解：(1)6÷15%=40(人)，
故答案为：40，补全统计图如图所示；
(2)m=40×25%=10(人)，
n=19÷40×100%=47.5%，
故答案为：10，47.5%；
(3)25%+12.5%=37.5%，
故答案为：37.5%.
(1)根据频率=频数总数进行计算即可；
(2)根据频率=频数总数，各组频率之和为1进行计算即可；
(3)最后两组的频率之和即可
本题考查频数分布表，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)∵销售单价每提高1元，销售量就减少300件，
∴y=6000−300(x−50)，
∴y=−300x+21000(x≥50)；
(2)当x=60元时，y=−300×60+21000=3000，
∴价格为60元时，商品的需求量是3000件；
(3)在y=−300x+21000中，令y=0得−300x+21000=0，
解得x=70，
∴当价格提高到70元时，这种商品就卖不出去了．
【解析】(1)由销售单价每提高1元，销售量就减少300件，可得y=6000−300(x−50)；
(2)当x=60元时，y=−300×60+21000=3000；
(3)在y=−300x+21000中，令y=0得x=70，即知当价格提高到70元时，这种商品就卖不出去了．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
24.【答案】(1)证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠MAE，
∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE=180∘，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90∘，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90∘，
∴四边形ADCE为矩形．
(2)解：答案不唯一，如：当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形．
证明：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45∘，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45∘，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
故当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形．
【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠BAD=∠DAC.证出∠ADC=∠CEA=90∘，由矩形的判定可得出结论；
(2)当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形．证出DC=AD，由正方形的判定可得出结论．
本题考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
25.【答案】解：(1)∵直线l1：y=x+2与l2相交于点C(m,4)，
∴4=m+2，解得m=2，
∴C(2,4)，
设直线l2的表达式为y=kx+b(k≠0)，
把点B(1,0)，C(2,4)代入得：
∴0=k+b4=2k+b，解得k=4b=−4，
∴直线l2的解析式为y=4x−4.
(2)当x=0时，y=2，
∴直线l1与y轴的交点D的坐标为(0,2)，
∴OD=2，
当y=0时，0=x+2，
∴x=−2，
∴直线l1与x轴的交点A的坐标为(−2,0)，
∴OA=2，
∵B(1,0)，
∴AB=3，
∴S四边形OBCD=S△ABC−S△AOD=12×3×4−12×2×2=4.
(3)∵过点M(t,0)作垂直于x轴的直线，与直线l2交于点Q，
∴点Q的坐标为(t,4t−4)，
∵S△ABC=12×3×4=6，
∴S△AQC=2S△ABC=12，
当点Q在点C的上方时，如图所示：
S△AQC=S△ABQ−S△ABC=12×3×(4t−4)−6=12，
解得：t=4，
∴此时点Q的坐标为(4,12)；
当点Q在点C的下方时，如图所示：
S△AQC=12×3×(4−4t+4)=12，
解得：t=0，
∴此时点Q的坐标为(0,−4)；
综上分析可知，点Q的坐标为(0,−4)或(4,12).
【解析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法．
(1)先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)先求出点A、B的坐标，得出AB=3，然后根据S四边形OBCD=S△ABC−S△AOD求出结果即可；
(3)先求出点Q的坐标为(t,4t−4)，利用S△ABC=12×3×4=6，求出S△AQC=2S△ABC=12，分两种情况，当点Q在点C的上方时，当点Q在点C的下方时，分别求出点Q的坐标即可．
26.【答案】(1) 5;(−2,1)
(2)如图2，过点B作BH⊥x轴．
∵∠ACB=90∘，AC=CB
∴△BHC≌△COA，
∴HC=OA=4，BH=CO=1，
OH=HC+CO=4+1=5
∴B(−5,1).
设直线AB的表达式为y=kx+b
将A(0,4)和B(−5,1)代入，得
b=4−5k+b=1，
解得k=35b=4，
∴直线AB的函数表达式y=35x+4.
(3)如图3，设Q(t,2t−6)，分两种情况：
①当点Q在x轴下方时，Q1M//x轴，与BP的延长线交于点Q1.
∵∠AP1Q1=90∘，
∴∠AP1B+∠Q1P1M=90∘，
∵∠AP1B+∠BAP1=90∘
∴∠BAP1=Q1P1M
在△AP1B与△P1Q1M中
∠Q1MP=∠P1BA∠BAP1=Q1P1MAP=PM
∴△AP1B≌△P1Q1M.
∴BP1=Q1M，P1M=AB=4
∵B(4,3)，Q(t,2t−6)，
∴MQ1=4−t
BP1=BM−P1M=[3−(2t−6)]−4=−2t+5
∴4−t=−2t+5，
解得t=1
∴BP1=−2t+5=3
此时点P与点C重合，
∴P1(4,0)；
②当点Q在x轴上方时，Q2N//x轴，与PB的延长线交于点Q2.
同理可证△ABP2≌△P2NQ2.
同理求得P2(4,43).
综上，P的坐标为：P1(4,0)，P2(4,43).
【解析】解：(1)如图1，作BE⊥x轴，AF⊥x轴．
∵A(1,2)，
∴OF=1，AF=2，OA= 12+22= 5
∵∠AOB=90∘，AO=OB
∴△BEO≌△OFA，
∴BE=OF=1，OE=AF=2，
∴B(−2,1).
故答案为 5，(−2,1)；
(2)见答案
(3)见答案
【分析】
(1)由A(1,2)可得，OF=1，AF=2，OA= 5，易证△BEO≌△OFA，BE=OF=1，OE=AF=2，因此B(−2,1)；
(2)同(1)可证△BHO≌△COA，HC=OA=4，BH=CO=1，OH=HC+CO=4+1=5，求得B(−5,1).最后代入求出一次函数解析式即可；
(3)分两种情况讨论①当点Q在x轴下方时，②当点Q在x轴上方时．根据等腰Rt△APQ构建一线三直角，从而求解．
本题考查了一次函数与三角形的全等，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等判定是解题的关键．
27.【答案】(2 3+4,2 3)
【解析】(1)证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴AD=12OB，OD=BD=12OB，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30∘，∠EOA=90∘，∴∠AEO=60∘，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60∘，∴BC//AE，
∵∠BAO=∠COA=90∘，∴CO//AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
(2)解：在Rt△AOB中，∠AOB=30∘，OB=8，
∴AB=4，
∴OA=4 3，
∵四边形ABCE是平行四边形，
∴PB=PE，PC=PA，
∴PB=2 3，
∴由勾股定理，AP=2 7，
∴12×AC×BH=12×AB×BE，即12×4 7×BH=12×4×4 3，
解得BH=4 217；
(3)①∵C(0,4)，
设直线AC的解析式为y=kx+4，
∵P(2 3,0)，
∴0=2 3k+4，
解得，k=−23 3，
∴y=−23 3x+4，
∵∠APM=90∘，
∴直线PM的解析式为y= 32x+m，
∵P(2 3,0)，
∴0= 32×2 3+m，
解得，m=−3，
∴直线PM的解析式为y= 32x−3，
设P(x, 32x−3)，
∵AP=2 7，
∴(x−2 3)2+( 32x−3)2=(2 7)2，
化简，x2−4 3x−4=0，
解得，x1=2 3+4，x2=2 3−4(不合题意舍去)，
当x=2 3+4时，y= 32×(2 3+4)−3=2 3，
∴M(2 3+4,2 3)，
故答案为(2 3+4,2 3)；
②易得直线BC的解析式为y=− 33x+4，
根据题意得：y=− 33x+4y= 32x−3，
解得，x=215y=65，
∴阴影部分的面积=12×2 3×4+12×2 3×65=265 3.
(1)利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA，推出∠AEO=60∘，进一步得出BC//AE，BC//AE，可得结论；
(2)先计算出OA=4 3，推出PB=2 3，利用勾股定理求出AP=2 7，再利用面积法计算即可；
(3)①求出直线PM的解析式为y= 32x−3，再利用两点间的距离公式计算即可；
②易得直线BC的解析式为y=− 33x+4，联立组成方程组，记得点G的坐标，再利用三角形面积公式计算．
本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，两点间的距离，正方形的性质，矩形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．血型
A型
B型
C型
O型
频率
0.4
0.35
0.1
0.15
分数段
60−70
70−80
80−90
90−100
频数
6
19
m
5
频率
15%
n
25%
12.5%