2023-2024学年湖南省衡阳市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有理数4的平方根是( )
A. 2B. ± 2C. 2D. ±2
2.有下列各数：0.5,3.1415,38, 5,13,π2,2.3030030003(相邻两个3之间0的个数逐次增加1)，其中无理数有( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
3.下列四组数中，为勾股数的是( )
A. 2，3，5B. 4，12，13C. 3，4，5D. 1，2，3
4.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (x2)3=x5C. (xy)3=x3yD. x6÷x2=x4
5.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x(2a+1)=2ax+xB. x2−2x+4=x(x−2)+4
C. x2−36+9x=(x+6)(x−6)+9xD. m2−n2=(m−n)(m+n)
6.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. (SAS)B. (SSS)C. (ASA)D. (AAS)
7.如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=3，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，则△BDC的周长为( )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
8.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )
A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间
9.判断命题“如果n<1，那么n2−1<0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为( )
A. −2B. −12C. 0D. 12
10.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90∘，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为( )
A. 40B. 44C. 84D. 88
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在整数20230520中，数字“0”出现的频率是______.
12.364的值为______.
13.比较大小：3______ 10(填“>”、“<”或“=”).
14.因式分解：x2−9=__________.
15.已知实数x，y满足|x−4|+ y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______.
16.下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60∘的三角形是等边三角形；③有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.其中不正确的是______(填序号)
17.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2cm，则PQ的最小值为______.
18.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算： 16−327+| 2−1|.
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(x−y)2−x(x−y)，其中x=1，y=2.
21.(本小题8分)
根据我市体育中考“3+1+1+1”模式，“跳绳”作为中考体育必考项目之一.我校为了了解今年九年级学生跳绳的水平，随机抽取部分九年级学生的测试成绩按A、B、C、D四个等级进行统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
请你根据所给信息，解答下列问题
(1)求随机抽取的总人数；
(2)求扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
(3)若我校九年级共有学生720人，请求出取得A等级的学生人数.
22.(本小题8分)
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BC=EF，求证AB//DE.
23.(本小题8分)
如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处(车尾到大厦墙面)，升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多少米？
24.(本小题8分)
老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+22−22+5=(x+2)2+1
∵(x+2)2≥0
∴(x+2)2+1≥1
当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出：(x−1)2−2的最小值为______.
(2)求出代数式x2−10x+33的最小值；
(3)若−x2+7x+y+12=0，求x+y的最小值.
25.(本小题10分)
如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90∘，∠BAC=∠D，BC=CE.
(1)求证：AC=CD；
(2)若AC=AE，求∠DEC的度数．
26.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=6cm，点D为AB的中点．
(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的哪一条边上相遇？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵(±2)2=4，
∴4的平方根是±2.
故选：D.
依据平方根的定义求解即可．
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵ 5,π2,2.3030030003(相邻两个3之间0的个数逐次增加1)，是无理数，共有3个，
故选：A.
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、22+32≠52，不符合题意；
B、42+122≠132，不符合题意；
C、32+42=52，符合题意；
D、12+22≠32，不符合题意；
故选：C.
根据勾股定理进行判断即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故此选项错误；
B、(x2)3=x6，故此选项错误；
C、(xy)3=x3y3，故此选项错误；
D、x6÷x2=x4，正确．
故选：D.
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、x(2a+1)=2ax+x，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2−2x+4=x(x−2)+4，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2−36+9x=(x+6)(x−6)+9x，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、m2−n2=(m−n)(m+n)，是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D.
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
6.【答案】B
【解析】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点D′；
③以D′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点C′；
④过点C′作射线O′B′.
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△O′C′D′和△OCD中
O′C′=OCO′D′=ODC′D′=CD，
∴△O′C′D′≌△OCD(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′，
显然运用的判定方法是SSS.
故选：B.
本题我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质．
7.【答案】C
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC，
∵BC=3，AC=6，
∴△BCD的周长=3+6=9.
故选：C.
由线段垂直平分线的性质推出AD=BD，得到△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+AC=3+6=9.
本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出AD=BD.
8.【答案】B
【解析】解：∵一个正方形的面积是15，
∴该正方形的边长为 15，
∵9<15<16，
∴3< 15<4.
故选B.
先根据正方形的面积是15计算出其边长，再估算出该数的大小即可。
本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出 15的取值范围是解答此题的关键。
9.【答案】A
【解析】解：当n=−2时，满足n<1，但n2−1=3>0，
所以判断命题“如果n<1，那么n2−1<0”是假命题，举出n=−2.
故选：A.
反例中的n满足n<1，使n2−1≥0，从而对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
10.【答案】C
【解析】【分析】
延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
【解答】
解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
∵∠CBF=∠CAB=∠FOB=90∘，
∴∠ABC+∠ACB=∠OBF+∠ABC=90∘，
∴∠ACB=∠OBF，同理可得∠ABC=∠BFO，
又∵BC=BF，
∴△ABC≌△OFB，∴AC=OB，
∴四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=6+8=14，
∴KL=6+14=20，LM=8+14=22，
∴矩形KLMJ的周长为2×(20+22)=84.
故选：C.
11.【答案】38
【解析】解：整数20230520中，一共有8个数字，0出现了3次，
∴数字“0”出现的频率是38，
故答案为：38.
根据公式计算即可．
本题考查了频率计算，解题的关键是掌握概率公式．
12.【答案】4
【解析】解：364=4，
故答案为：4.
由立方根的含义可得答案．
本题考查的是求解一个数的立方根，掌握“立方根的含义”是解本题的关键．
13.【答案】<
【解析】解：32=9，( 10)2=10，
∴3< 10.
首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
14.【答案】(x+3)(x−3)
【解析】解：原式=(x+3)(x−3)，
故答案为：(x+3)(x−3).
【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式的特点是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
15.【答案】20
【解析】解：根据题意得，x−4=0，y−8=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20，
所以，三角形的周长为20.
故答案为：20.
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
16.【答案】④
【解析】解：①三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，不符合题意；
②有两个角等于60∘的三角形是等边三角形；正确，不符合题意；
③有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；正确，不符合题意；
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．不正确，符合题意；
故答案为：④．
根据等边三角形的判定即可解答．
本题考查了等边三角形的判定，熟练掌握判断是解题的关键．
17.【答案】2cm
【解析】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动，PA=2cm，
∵PQ⊥OM时，PQ最小，
∴PQ最小=PA=2cm.
故答案为：2cm.
直接根据角平分线的性质即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
18.【答案】12∘
【解析】解：设∠A=x，
∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，
∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，
∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，
∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，
…，
∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，
∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180∘，
即x+7x+7x=180∘，
解得x=12∘，
即∠A=12∘.
故答案为：12∘.
设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．
19.【答案】解： 16−327+| 2−1|
=4−3+ 2−1
= 2.
【解析】根据定义计算即可．
本题考查了实数的运算，关键是算术平方根，立方根，绝对值的化简．
20.【答案】解：(x−y)2−x(x−y)
=x2−2xy+y2−x2+xy
=y2−xy，
当x=1，y=2时，原式=22−1×2=2.
【解析】运用完全平方公式展开，单项式乘以多项式，计算即可，正确化简是解题的关键．
本题考查了整式的加减中的化简求值，正确化简是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意，得85÷42.5%=200(人)；
(2)扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为360∘×10200=18∘，
C等级人数为200−(40+85+10)=65(人)，
补全条形统计图如图：
(3)720×40200=144(人)，
答：全校有达到A等级的学生有144人．
【解析】(1)利用B等级的人数除以其所占的百分比即可得到结论；
(2)利用D等级人数除以样本容量乘以360∘即可得到结论，求出C等级的人数，补全条形统计图即可；
(3)利用A等级人数除以样本容量再乘以全校学生数即可得到结论．
此题考查了扇形统计图，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】证明：在△ABC和△DEF中，
AB=DE,AC=DF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠B=∠E，
∴AB//DE.
【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，平行线的判定的有关知识，属于基础题.
先利用SSS证出△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质得到∠B=∠E，进而得到AB//DE.
23.【答案】解：由题意可得：AC=8米，AB=17米，AE=2米，
则BC= AB2−AC2= 172−82=15(米)，
则BD=BC+CD=AE+BC=15+2=17(米).
答：发生火灾的住户窗口距离地面17米．
【解析】根据已知得出AC，AB，AE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练记忆勾股定理公式是解题关键．
24.【答案】−2
【解析】解：(1)当x=1时，(x−1)2−2有最小值，是−2，
故答案为：−2；
(2)x2−10x+33=(x−5)2+8，
则代数式x2−10x+33的最小值是8；
(2)∵−x2+7x+y+12=0，
∴y=x2−7x−12，
∴x+y=x2−6x−12=(x−3)2−21，
∴x+y的最小值是−21.
(1)根据偶次方的非负性解答即可；
(2)利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
(3)利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
本题考查的是代数式最值的确定，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：因为∠BCE=∠ACD=90∘，
所以∠3+∠4=∠4+∠5=90∘，
所以∠3=∠5，
在△ABC和△DEC中，
∠1=∠D∠3=∠5BC=EC，
所以△ABC≌△DEC(AAS)，
所以AC=CD；
(2)解：因为∠ACD=90∘，AC=CD，
所以∠2=∠D=45∘，
因为AE=AC，
所以∠4=∠6=67.5∘，
所以∠DEC=180∘−∠6=112.5∘.
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL.
(1)根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合已知条件∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论；
(2)根据∠ACD=90∘，AC=CD，得到∠2=∠D=45∘，根据等腰三角形的性质得到∠4=∠6=67.5∘，由平角的定义得到∠DEC=180∘−∠6=112.5∘.
26.【答案】解：(1)①△BPD与△CQP全等，理由：
∵点P的运动速度是1cm/s，
∴点Q的运动速度是1cm/s，
∴运动1s时，BP=CQ=1cm.
∵BC=6cm，
∴CP=5cm.
∵AB=10cm，D为AB的中点，
∴BD=5cm，
∴BD=CP.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
在△BPD和△CQP中，
BD=CP,∠B=∠C,BP=CQ,
∴△BPD≌△CQP(SAS)；
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，
若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，
此时，点P运动3cm，需3s，而点Q运动5cm，
∴点Q的运动速度是53cm/s；
(2)经过30 s后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇.
【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．解题时注意全等三角形的对应边相等．
(1)①根据SAS即可判断；
②利用全等三角形的性质，判断出对应边，根据时间、路程、速度之间的关系即可解决问题；
(2)求出Q的运动路程，与△ABC周长的整数倍进行比较，即可得出相遇点的位置．
解：(1)①②见答案；
(2)设经过t秒时，点P、Q第一次相遇，
∵P的速度是1cm/s，Q的速度是53cm/s，
∴10+10+t=53t，
解得：t=30，
此时点Q的路程=30×53=50(cm).
∵50<2×26，
∴此时点Q在BC上，
∴经过30 s后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．