2023-2024学年湖南省岳阳市临湘市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市临湘市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若点P(x,y)在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则x+y=( )
A. −1B. 1C. 5D. −5
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.已知一组数据的最大值为50，最小值为11，若选取组距为6，则这组数据可分成( )
A. 5组B. 6组C. 7组D. 8组
4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，CD的中点，连接OE、OF，若OE=2，OF=3，则▱ABCD 的周长为( )
A. 10
B. 14
C. 16
D. 20
5.如图，小亮设计了一个彩旗，图中∠DCB=90∘，∠D=15∘，BA交CD于点A，AD=AB=8cm，则AC的长为( )
A. 4cmB. 8 3cmC. 8cmD. 4 3cm
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心、大于12BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、BC于点E、F，则线段BE的长为( )
A. 1
B. 32
C. 2
D. 52
7.下列关于“平行四边形”的说法：
①平行四边形的对角线互相垂直平分；
②平行四边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形.
其中说法正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，一次函数y=x+2的图象与一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图象相交于点P(m,4)，则关于x，y的方程组y=x+2y=kx+b的解是( )
A. x=2y=0
B. x=0y=4
C. x=2y=4
D. x=4y=2
9.如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC=90∘，DE//AC.则结论：①FG//AD；②DE平分ADB；③∠B=∠ADE；④∠CFG+∠BDE=90∘.正确的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
10.若等腰三角形的周长是80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系式的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.一次函数y=−5x+b的图象经过(−52,y1)，(1,y2)，则y1，y2的大小关系是______.
12.已知点M(a−1,5)，现在将点M先向左平移3个单位长度，又向下平移4个单位长度得到点N(2,b−1)，则a−b=______.
13.若一个多边形的内角和与它的外角和的比为7：2，则这个多边形是______边形．
14.如图，△ABC中，∠C=90∘，E是AC上一点，连接BE，过点E作DE⊥AB，垂足为D，BD=BC，若AC=14cm，则AE+DE的值为______.
15.已知一个样本的容量为100，把样本中的数据分成5个组.若第一、二、三组的频数和为60，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为______.
16.当直线y=(2−2k)x+k−3经过第一、三、四象限时，则k的取值范围是______.
17.如图所示，平行四边形ABCD中，BE⊥AD，CE平分∠BCD，AB=10，BC=16，则BE=______.
18.如图，在△ACB和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90∘，CA=CB，CD=CE，分别连接AD，EB，延长EB，交AD于点F.
(1)∠ADC+∠DEF=__________ .
(2)若DFDE=13，则CFDF的值为__________.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90∘，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE=20∘，求∠ACF的度数.
20.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，已知点P(2a−7,3−a).
(1)若点P在x轴上，求点P的坐标
(2)若点P的纵坐标比横坐标大4，求点P的坐标；
(3)若点Q(5,4)，且PQ与坐标轴平行，求点P的坐标.
21.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE=DF，EF与对角线AC相交于点O.
(1)求证：OE=OF；
(2)连接CE，若点G为CE的中点，连接OG.若AE=6，求OG的长.
22.(本小题8分)
某学校为了解同学们对“垃圾分类知识”的知晓情况，某班数学兴趣小组随机调查了学校的部分同学，根据调查情况制作的统计图表的一部分如图所示：
“垃圾分类知识”知晓情况统计表
(1)本次调查取样的样本容量是______，表中 n的值是______.
(2)根据以上信息补全条形统计图.
(3)若基本了解和不太了解都属于“不达标”等级，根据调查结果，请估计该校1800名同学中“不达标”的学生有多少人？
23.(本小题8分)
4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测.如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得BD的距离是6km，∠ADB=30∘；当火箭到达C点时，测得∠ADC=45∘，求火箭从B点上升到C点的高度BC.(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 5≈2.236，结果精确到0.01)
24.(本小题8分)
今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
(2)如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．
25.(本小题10分)
如图，已知过点B(1,0)的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P(−1,a).且l1与y轴相交于C点，l2与x轴相交于A点．
(1)求直线l1的解析式；
(2)求四边形PAOC的面积；
(3)若点Q是x轴上一动点，连接PQ、CQ，当△QPC周长最小时，求点Q坐标．
26.(本小题12分)
探究与证明
[问题情境]
数学课上，老师让同学们按已知条件画图：已知：一个等腰直角△ABC，∠ACB=90∘，AC=BC，点P是AB边上的一动点，连接CP，以线段CP为腰作等腰直角△PCD，∠PCD=90∘.
[实践探究]
(1)如图，小强画好图形，他发现∠PBD=90∘.请你帮他完成证明.
[独立思考]
(2)老师给出条件：AP= 2，AC=4，请求出CP的长.请解决老师提出的问题.
[深入探究]
(3)小强继续探究，他发现当△PCD的面积最小时，线段CP与线段AB之间存在一定的位置关系和数量关系，请你写出它们的位置关系和数量关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由P(x、y)在第二象限且|x|=2，|y|=3，得
x=−2，y=3.
x+y=−2+3=1，
故选：B.
根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得x、y的值，根据有理数的加法，可得答案．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).
2.【答案】A
【解析】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判定．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．(1)如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．(2)如果一个图形绕某一点旋转180∘后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得：50−11=39，
组数：39÷6=6.5，
∴这组数据可分成7组，
故选：C.
先求出最大值和最小值的差，后除以组距即可．
本题考查频率分布表中组数的确定，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距即可得到本题答案．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB//CD，AD//BC，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴AB=2OE=4，BC=2OF=6，
∴▱ABCD 的周长=2(AB+BC)=20.
故选：D.
根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵AD=AB=8cm，
∴∠ABD=∠D=15∘，
∴∠BAC=∠D+∠ABD=30∘，
∵∠DCB=90∘，
∴BC=12AB=4cm，
∴AC= AB2−BC2=4 3cm；
故选：D.
利用等边对等角和外角的性质，求出∠BAC=30∘，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
本题考查等边对等角，三角形的外角和定理，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
6.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10.
∵以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD=AC=6，BD=AB−AD=4，
∵分别以B、D为圆心、大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，
∴MN是线段BD的垂直平分线．
∴BE=DE=2.
故选：C.
先利用勾股定理求出及做法求出AB，BD，BE=DE，即可得的答案．
本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的做法是解决本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：①平行四边形的对角线互相平分，故①不符合题意；
②平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故②不符合题意；
③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，故③符合题意；
④一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故④不符合题意．
∴其中说法正确的个数是1个．
故选：A.
由平行四边形的判定和性质，中心对称图形，轴对称图形的定义即可判断．
本题考查平行四边形的判定和性质，中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握平行四边形的判定和性质．
8.【答案】C
【解析】解：将点P(m,4)代入一次函数y=x+2，
可得4=m+2，解得m=2，
∴P(2,4)，
结合图象可知，
关于x，y的方程组 y=x+2y=kx+b的解是x=2y=4.
故选：C.
由交点坐标P(m,4)，先求出m的值，结合图象确定方程组的解即可．
本题考查一次函数图象的交点与方程组的解的关系，解题的关键在于对知识的熟练掌握．
9.【答案】C
【解析】解：∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠FGD=∠ADB=90∘，
∴FG//AD，
故①正确；
∵DE//AC，∠BAC=90∘，
∴DE⊥AB，
不能证明DE为∠ADB的平分线，
故②错误；
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90∘，
∵DE⊥AB，
∴∠BAD+∠ADE=90∘，
∴∠B=∠ADE，
故③正确；
∵∠BAC=90∘，DE⊥AB，
∴∠CFG+∠C=90∘，∠BDE+∠B=90∘，∠C+∠B=90∘，
∴∠CFG+∠BDE=90∘，
故④正确，
综上所述，正确的选项①③④，
故选：C.
利用垂直的定义和平行线的判定定理可判断①，利用角平分线的定义可判断②，由垂直的性质，等量代换可判断③，利用垂直的定义和互余的定义可判断④．
本题主要考查了平行线的性质及判定定理，垂直的定义等，综合运用定理是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的应用，以及函数的图象，主要利用了三角形的周长公式，难点在于利用三角形的三边关系求出底边x的取值范围．
根据三角形的周长列式并整理得到y与x的函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列式求出x的取值范围，即可得解．
【解答】
解：根据题意，x+2y=80，
∴y=−12x+40，
根据三角形的三边关系，x>y−y=0，
x∴x+x<80，
解得：x<40，
∴y与x的函数关系式为y=−12x+40(0故腰长ycm与底边长xcm的函数关系式的图象是D选项中的图象．
故选D.
11.【答案】y1>y2
【解析】解：由一次函数y=−5x+b可知：k=−5<0，
∴y随x的增大而减小，
∵一次函数y=−5x+b的图象经过(−52,y1)，(1,y2)，且−52<1，
∴y1>y2；
故答案为y1>y2.
由题意易得该一次函数的y随x的增大而减小，然后问题可求解．
本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．.
12.【答案】4
【解析】解：∵现在将点M先向左平移3个单位长度，又向下平移4个单位长度得到点N(2,b−1)，
∴a−1−3=2，5−4=b−1，
解得a=6，b=2.
∴a−b=4.
故答案为：4.
根据将点M先向左平移3个单位长度，又向下平移4个单位长度得到点N(2,b−1)，可知a−1−3=2，5−4=b−1，由此得解．
本题考查了平面直角坐标系中点的平移，掌握点的平移与坐标的对应变化关系是解题的关键．
13.【答案】九
【解析】解：设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180∘：360∘=7：2，
整理得n−2=7，
解得n=9.
故答案为：九．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180∘，外角和等于360∘，列式求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理并列出比例式是解题的关键．
14.【答案】14cm
【解析】解：在Rt△BCE和Rt△BDE中，
BC=BDBE=BE，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE(HL)，
∴DE=CE，
∴AE+DE=AE+CE=AC=14cm.
故答案为：14cm.
由“HL”可证Rt△BCE≌Rt△BDE，可得DE=CE，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
15.【答案】15
【解析】解：第五组的频数为：100×0.25=25，
所以第四组的频数为：100−60−25=15，
故答案为：15.
先计算出第五组的频数，再计算第四组的频数．
本题考查了频数与频率，总体、个体、样本、样本容量，掌握频率=频数÷总数，各频数之和等于总数，各频率之和等于1是解决本题的关键．
16.【答案】k<1
【解析】解：∵y=(2−2k)x+k−3经过第一、三、四象限，
∴2−2k>0k−3<0.
解得k<1.
故答案为：k<1.
根据一次函数y=kx+b，k>0，b<0时图象经过第一、三、四象限，可得2−2k>0，k−3<0，即可求解．
本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y=kx+b，k与b对函数图象的影响是解题的关键．
17.【答案】8
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD//BC，AD=BC=16，AB=CD=10，
∴∠DEC=∠ECB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB=10，
∴AE=AD−DE=16−10=6，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90∘.
∴BE= AB2−AE2= 102−62=8.
故答案为：8.
根据平行四边形性质推出AB=CD=10，AD=BC=16，AD//BC，求出DE=CD=10，进而求得AE=AD−DE，然后由勾股定理求得BE的长度．
本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及角平分线的定义，能推知DE=CD是解此题的关键．
18.【答案】45∘
4− 22

【解析】解：(1)∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACB−∠BCD=∠DCE−∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
∵CA=CB，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠ADC=∠BEC.
∵∠CED=45∘，
∴∠ADC+∠DEF=∠BEC+∠DEF=45∘.
故答案为：45∘；
(2)如图，过点C作CG⊥CF，交BE于点G，
∴∠ECG=∠DCF，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CEG=∠CDF.
∵CE=CD，
∴△CEG≌△CDF(ASA)，
∴EG=DF，CG=CF，
∴FG= 2CF.
∵EF=EG+FG，
∴EF=DF+ 2CF.
由(1)知，∠CDF+∠DEF=45∘，
∴∠CDF+∠CDE+∠DEF=90∘，
∴∠DFE=90∘.
∵DFDE=13，
设DF=x，则DE=3x，EF= DE2−DF2= (3x)2−x2=2 2x，
∴x+ 2CF=2 2x，
∴CF=4− 22x，
∴CFDF=4− 22.
故答案为：4− 22.
(1)证明△ACD≌△BCE(SAS)，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
(2)过点C作CG⊥CF，交BE于点G，证明△CEG≌△CDF，设DF=x，则DE=3x，EF=2 2x，CF=4− 22x，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
19.【答案】解：(1)∵∠ACF=90∘，
∴∠CBF=∠ABE=90∘，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE=CFAB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
(2)∵AB=CB，∠ABC=90∘，
∴∠CAB=∠ACB=45∘，
∵∠BAE=∠CAB−∠CAE=45∘−20∘=25∘，
由(1)可知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=25∘，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45∘+25∘=70∘.
【解析】根据题意，利用全等三角形的判定定理证得Rt△ABE≌Rt△CBF.在Rt△ABC中，根据题意可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可求得∠BAE的度数，又根据Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，所以∠ACF=∠BCF+∠ACB.
本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
20.【答案】解：(1)∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标为零，即3−a=0，解得a=3，
则2a−7=−1，
∴点P的坐标为(−1,0)，
故答案为：(−1,0)，
(2)∵(3−a)−(2a−7)=4，
∴a=2，
∴2a−7=−3，3−a=1，
∴点P的坐标为(−3,1)，
故答案为：(−3,1)，
(3)当PQ//y轴时，
∴点P和点Q的横坐标相等，即：2a−7=5，解得：a=6，
∴3−a=3−6=−3，
∴点P的坐标为(5,−3)，
当PQ//x轴时∴点P和点Q的纵坐标相等，即3−a=4，解得a=−1，
∴2a−7=2×(−1)−7=−9，
∴点P的坐标为(−9,4)，
故答案为：(5,−3)或(−9,4).
【解析】(1)由点P在x轴上，得到3−a=0，求解即可，
(2)由(3−a)−(2a−7)=4，得到a=2，代入2a−7，3−a，即可求解，
(3)当PQ//y轴时，得到2a−7=5，解得a得到点P的坐标，当PQ//x轴时，得到3−a=4，解得a得到点P的坐标(−9,4).
本题考查了平面内点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵BE=DF，
∴AE=CF，
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF；
(2)解：∵点G为CE的中点，OE=OF，AE=6，
∴OG=12AE=3.
【解析】(1)由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得OE=OF；
(2)由三角形中位线定理可求OG的长．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】2000.40
【解析】解：(1)本次调查取样的样本容量是：70÷0.35=200，n=80÷200=0.40，
故答案为：200，0.40；
(2)知晓情况为C的学生有：200−80−70−10=40(人)，
补全的条形统计图如右图所示；
(3)1800×(0.20+0.05)
=1800×0.25
=450(人)，
即估计该校1800名同学中“不达标”的学生有450人．
(1)根据知晓情况为B的频数和频率，可以计算出本次调查取样的样本容量，然后即可计算出n的值；
(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出知晓情况为C的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
(3)根据频数分布表中的数据，可以计算出该校1800名同学中“不达标”的学生有多少人．
本题考查条形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】解：在Rt△ABD中，∠BDA=30∘，
∴AB=12BD=12×6=3(km).
∴AD= BD2−AB2=3 3(km).
∵∠CAD=90∘，∠ADC=45∘，
∴∠C=45∘.
∴∠C=∠ADC.
∴AC=AD=3 3km.
∴BC=AC−AB=3 3−3≈3×1.732−3≈2.20(km)，
答：火箭从B点上升到C点的高度BC约为2.20km.
【解析】先在Rt△ABD中，求出AB，AD的长，再在Rt△DAC中求出AC的长，利用AC−AB求出BC的长即可．
本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
24.【答案】解：(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意得：
6300.9x−6001.2x=10，
解得x=20，
经检验，x=20是原分式方程的解，并符合题意，
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；
(2)由(1)可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9=18(元)，B种树苗每棵的价格为：20×1.2=24(元)，
设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：
w=18t+24(5500−t)=−6t+132000，
∵w是t的一次函数，−6<0，
∴w随t的增大而减小，
∵t≤3500，
∴当t=3500棵时，w最小，
此时B种树苗有：5500−3500=2000(棵)，w=−6×3500+132000=111000，
答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解决问题的关键是根据题意列出相应的方程与函数关系式．
(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；
(2)分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
25.【答案】解：(1)∵点P(−1,a)在直线y=2x+4上，
∴2×(−1)+4=a，
∴a=2，
则P的坐标为(−1,2)，
设直线l1的解析式为：y=kx+b，
∴k+b=0−k+b=2，
解得：k=−1b=1，
∴直线l1的解析式为：y=−x+1；
(2)∵l1与y轴相交于C点，
∴C的坐标为(0,1)，
又∵直线l2与x轴相交于A点，
∴A点的坐标为(−2,0)，则AB=3，
而S四边形PAOC=S△PAB−S△BOC，
∴S四边形PAOC=12×3×2−12×1×1=52；
(3)作点C关于x轴对称点C′，连接PC′交x轴于Q，
则此时，△QPC周长最小，
∵P(−1,2)，C′(0,−1)，
∴直线C′P：y=−3x−1，
当 y=0时，x=−13，
∴点Q坐标为(−13,0)时△QPC周长最小．
【解析】(1)把点P(−1,a)代入y=2x+4，得到P的坐标为(−1,2)，设直线l1的解析式为：y=kx+b，解方程组即可得到结论；
(2)根据l1与y轴相交于C点，得到C的坐标为(0,1)，由直线l2与x轴相交于A点，得到A点的坐标为(−2,0)，根据三角形的面积公式即可得到结论；
(3)作点C关于x轴对称点C′，连接PC′交x轴于Q，则此时，△QPC周长最小，求得直线C′P：y=−3x−1，当 y=0时，x=−13，于是得到结论．
本题考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求得一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45∘.
∵DCP是等腰直角三角形，∠PCD=90∘，
∴CP=CD，∠CPD=∠CDP=45∘，
∵∠ACP+∠PCB=∠PCB+∠BCD=90∘，
∴∠ACP=∠BCD，
在△ACP与△BCD中，
AC=BC,∠ACP=∠BCD,CP=CD,
∴△ACP≌△BCD(SAS)，
∴AP=BD，∠A=∠CBD=45∘，
∴∠ABD=90∘，
∴△PBD是直角三角形；
(2)解：∵∠PCD=90∘，△DCP是等腰直角三角形，
∴CP=CD，
∴PD= CP2+CD2= 2CP.
∵∠ACB=90∘，AC=BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 2AC=4 2，
∵AP= 2，
∴BP=3 2，
由(1)知△ACP≌△BCD，△PBD是直角三角形，
∴BD=AP= 2，
∴PD= PB2+BD2=2 5，
∴ 2CP=2 5，
解得CP= 10；
(3)解：CP⊥AB，AB=2CP，理由如下：
当△PCD面积最小时，即CP最小时，
∴当CP⊥AB时，CP最小，
∵∠PCD=90∘，
∴CD//AB，
∴∠ACP=180∘−∠A−∠PCD=45∘，
∵∠A=45∘，
∴AP=PC=PB，
∴AB=2CP，
综上，当△PCD面积最小时，CP⊥AB，且AB=2CP.
【解析】(1)先证明△ACP≌△BCD(SAS)，可得AP=BD，∠A=∠CBD=45∘，可得∠ABD=90∘，可得△PBD是直角三角形；
(2)证明CP=CD，可得PD= CP2+CD2= 2CP.求解AB= AC2+BC2= 2AC=4 2，可得BP=3 2，由(1)知△ACP≌△BCD，△PBD是直角三角形，可得BD=AP= 2，可得PD= PB2+BD2=2 5，从而可得答案；
(3)当△PCD面积最小时，即CP最小时，则当CP⊥AB时，CP最小，证明∠ACP=180∘−∠A−∠PCD=45∘，可得AP=PC=PB，从而可得答案．
本题属于三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练的利用等腰直角三角形的性质解题是关键．知晓情况
频数
频率
A.非常了解
80
n
B.比较了解
70
0.35
C.基本了解
m
0.20
D.不太了解
10
0.05