2023-2024学年湖南省郴州市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖南省郴州市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式能运用平方差公式计算的是( )
A. (a−2b)(2a+b)B. (−a+5)(−a−5)
C. (2x−1)(−1+2x)D. (−2x−y)(2x+y)
3.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a4=a7B. (3a)2=6a2
C. a2+a3=a5D. (a+b)(b−a)=a2−b2
4.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. 6a2b3=2ab⋅3ab2B. x2+4x+1=x(x+4)+1
C. (a+3)(a−3)=a2−9D. x2−2xy=x(x−2y)
5.如图，直线AB，CD被直线EF所截，交点分别是点M，N，则∠AME与∠ENC是( )
A. 同位角
B. 同旁内角
C. 内错角
D. 对顶角
6.下列多项式能用提公因式法因式分解的是( )
A. a2−b2B. a2+3aC. a2+2ab+b2D. a2−1
7.下列说法不正确的是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 两条直线相交，只有一个交点
C. 两直线平行，同旁内角相等
D. 过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短
8.|3x−y−4|+(4x+y−3)2=0，那么x与y的值分别为( )
A. x=0y=0B. x=1y=1C. x=−1y=1D. x=1y=−1
9.春天气温在逐渐回暖，王华记录了学校所在地一周的最高气温，最高气温数据如下表所示，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 22℃，25℃B. 25℃，22℃C. 24℃，25℃D. 25℃，24℃
10.如图，AB//DC，ED//BC，AE//BD，图中和△EBD面积相等的三角形有以下哪些三角形：
①△EDA；
②△EDC；
③△ABE；
④△ABD；
⑤△ABC.( )
A. ①②③B. ②③④C. ②④⑤D. ③④⑤
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算：−12024×23=______.
12.将如图所示的图案绕其中心旋转，当此图案第一次与其自身重合时，其旋转角的大小为______度.
13.已知3y−x=5，用含y的代数式子表示x的结果为x=______.
14.分解因式：x3−4x2+4x=______.
15.已知a−1a=4，则a2+1a2=______.
16.把一副三角板(∠B=∠F=90∘,∠A=45∘,∠E=30∘)按如图所示的方式摆放，当∠1为______度时，AC//EF.
17.已知关于x，y的二元一次方程组3x+5y=k+22x+3y=k，则x+2y=______.
18.如图，将大小不等的两个等腰直角三角形用两种方法摆放，其中AB=18，A′B=5，则图中阴影部分的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
解下列方程组：
(1)y=x+33x+y=7；
(2){5x+4y=4①3x+2y=3②.
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(a−2b)(a+2b)−(a−b)2+5b2，其中a=−52，b=3.
21.(本小题8分)
在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题.
(1)画出三角形ABC(顶点均在格点上)关于直线MN对称的三角形A1B1C1；
(2)画出三角形A1B1C1向下平移4个单位的三角形A2B2C2.
22.(本小题8分)
某地开展“电动自行车以旧换新”活动期间，凡购买甲、乙两种品牌电动自行车的本地居民均可得到该电动自行车售价10%的财政补贴，小张购买了一台甲品牌电动自行车，小刘购买了一台乙品牌电动自行车，两人一共得到财政补贴480元，又知乙品牌电动自行车售价比甲品牌电动自行车售价多400元.
(1)甲、乙品牌电动自行车的售价各是多少元？
(2)小张和小刘购买电动自行车除财政补贴外实际各需付款多少元？
23.(本小题8分)
如图是一个汉字“互”的形状，其中EG的延长线与AB交于点M，HF的延长线与CD交于点N，GH//EF，∠EGH=∠EFH.试问∠E=∠H成立吗？请阅读以下证明过程，并补全所空内容.
解：成立，理由如下：
因为GH//EF，
所以∠EGH+∠E=180∘(①______)，
因为∠EGH=∠EFH，
所以∠E+∠EFH=180∘，
所以②______，(同旁内角互补，两直线平行)，
所以∠MGH=∠H，(两直线平行，内错角相等)，
因为GH//EF，
所以∠MGH=③______，(④______)，
所以∠E=∠H.
24.(本小题8分)
某外贸公司人事部拟招聘一位负责外贸销售的公关人员，对应聘者进行英语听、说、读、写四个方面的考核，成绩优秀者入选.下面是甲、乙两位应聘人员的考核成绩：
(1)人事部最初拟定通过比较甲乙两人四项的平均分确定录用者，请你通过计算说明此方案可行吗？
(2)为了招聘到更适合岗位需求的人才，董事会改进了选聘方案，将听、说、读、写成绩依次按0.3、0.3、0.2、0.2的权数记入总分，并以此为依据确定录用者，请问，谁将被录用？
25.(本小题10分)
如图1是一个宽为a，长为4b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).
(1)观察图2，请你用等式表示(a+b)2，(a−b)2，ab之间的数量关系：______；
(2)根据(1)中的结论.如果x+y=8，xy=10，求代数式(x−y)2的值；
(3)如果x+1x=3，求(1+x−1x)(1−x+1x)的值.
26.(本小题12分)
如图，有一副直角三角板如图1放置(其中∠D=45∘，∠C=30∘)，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转.
(1)在图1中，∠DPC=______；
(2)①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为α(0∘<α<180∘)，当α等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直；
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3∘/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2∘/秒，当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD=∠BPM时，求旋转的时间是多少？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、不符合平方差公式的特征，故不符合题意；
B、符合平方差公式的特征，故符合题意；
C、不符合平方差公式的特征，故不符合题意；
D、不符合平方差公式的特征，故不符合题意；
故选：B.
运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、a3⋅a4=a7，正确，符合题意；
B、(3a)2=9a2，原计算错误，不符合题意；
C、a2、a3，不是同类项不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、(a+b)(b−a)=b2−a2，原计算错误，不符合题意；
故选：A.
根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，平方差公式的运算法则进行计算判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，平方差公式的计算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、6a2b3=2ab⋅3ab2不是把多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
B、x2+4x+1=x(x+4)+1，不是把多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C、(a+3)(a−3)=a2−9是多项式乘以多项式，不是因式分解，不符合题意；
D、x2−2xy=x(x−2y)是因式分解，符合题意；
故选：D.
根据因式分解的定义：把一个多项式变成几个整式的乘积的形式叫做因式分解，据此判断即可．
本题主要考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由图可知：∠AME与∠ENC是同位角，
故选：A.
根据内错角，同位角，同旁内角，邻补角的定义解答即可．
本题考查了同位角、同旁内角、内错角、对顶角的识别，熟记相关定义即可求解．
6.【答案】B
【解析】解：A、a2−b2无公因式，故此选项不符合题意；
B、a2+3a=a(a+3)，只能用提公因式法分解因式，故此选项符合题意；
C、a2+2ab+b2无公因式，故此选项不符合题意；
D、a2−1无公因式，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据提公因式法作出判断即可．
本题考查了提公因式法分解因式，能否用提公因式法进行因式分解关键看是否能找到公因式．
7.【答案】C
【解析】解：A、两点之间，线段最短，正确，故本选项不符合题意；
B、两条直线相交，只有一个交点，正确，故本选项不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，故本选项符合题意；
D、过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短，正确，故本选项不符合题意；
故选：C.
根据线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识一一判断即可．
本题考查线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8.【答案】D
【解析】解：∵|3x−y−4|+(4x+y−3)2=0，
∴|3x−y−4|=0，|4x+y−3|=0，
即得：3x−y−4=04x+y−3=0，
解得：x=1y=−1.
故选：D.
首先根据非负数的性质得出二元一次方程组，再解二元一次方程组即得出x与y的值．
此题考查的知识点是解二元一次方程组，关键是根据非负数的性质得出关于x、y的二元一次方程组．
9.【答案】C
【解析】解：把这组数据从小到大排列22，23，24，24，25，25，25，
∴中位数位于中间位置的是第4个数是24，即中位数是24℃，
这组数据中22出现1次，23出现1次，24出现2次，25出现3次，则众数是25℃，
故选：C.
中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．
本题考查求中位数，求众数，熟练掌握这些知识点是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵ED//BC，平行线之间距离相等，
∴△EDC与△EBD同底等高，
∴△EDC与△EBD面积相等，
∵AE//BD，平行线之间距离相等，
∴△ABD与△EBD同底等高，
∴△ABD与△EBD面积相等，
∵AB//CD，平行线之间距离相等，
∴△ABD与△ABC同底等高，
∴△ABD与△ABC面积相等，
∴S△ABC=S△EBD，
∴与△EBD面积相等的三角形为：△EDC、△ABD、△ABC，
故选：C.
根据ED//BC，AE//BD，AB//DC平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高．
本题考查平行线之间距离，三角形面积，熟记平行线之间的距离相等，同底等高的三角形面积相等解题的关键．
11.【答案】−8
【解析】解：原式=−1×8
=−8，
故答案为：−8.
根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12.【答案】120
【解析】解：该图形被平分成六部分，旋转60∘的整数倍，就可以与自身重合，
故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为60∘.
故答案为：60.
该图形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60∘，并且圆具有旋转不变性，因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合．
本题考查利用旋转设计图案，旋转对称图形，解答本题的关键是熟练掌握旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
13.【答案】3y−5
【解析】解：方程3y−x=5，
解得：x=3y−5，
故答案为：3y−5.
根据等式的性质移项即可得到答案．
本题主要考查的是解二元一次方程，能根据等式的性质正确解方程是解此题的关键．
14.【答案】x(x−2)2
【解析】解：x3−4x2+4x
=x(x2−4x+4)
=x(x−2)2，
故答案为x(x−2)2.
首先提取公因式x，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
15.【答案】18
【解析】解：∵a−1a=4，
∴(a−1a)2=16，
∴a2−2+1a2=16，
∴a2+1a2=18，
故答案为：18.
根据完全平方公式进行计算即可求解．
本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
16.【答案】150
【解析】解：∵∠E=30∘，
∴当∠E+∠1=180∘时，AC//EF，
即当∠1=180∘−30∘=150∘时，AC//EF，
故答案为：150.
根据∠E=30∘，利用同旁内角互补，两直线平行直接求出结论．
本题主要考查平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：{3x+5y=k+2①2x+3y=k②，
①-②得：x+2y=2，
故答案为：2.
把第一个方程减去第二个方程即可求得x+2y=2.
此题考查了二元一次方程组的求解，把方程组的两个方程相减即可求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
18.【答案】45
【解析】解：在两个等腰直角三角形中，
∵AB=18，A′B=5，
∴AC=AC′=18−52=132
∴BC=18−132=232
∴S阴影=12×232×232−12×132×132=45.
根据两种摆法先求出AC=AC′=18−52=132，进而求出BC，利用阴影部分面积等于两三角形面积差求出答案即可．
本题考查等腰直角三角形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：(1){y=x+3①3x+y=7②，
把①代入②得：3x+x+3=7，
解得：x=1，
把x=1代入①得y=4，
∴方程组的解为：x=1y=4；
(2){5x+4y=4①3x+2y=3②，
②×2得：6x+4y③，
③-①得：x=2，
把x=2代入②得：3×2+2y=3，解得：y=−32，
∴方程组的解为：x=2y=−32.
【解析】(1)方程组利用代入消元法求出解即可；
(2)方程组利用加减消元法求出解即可．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键．
20.【答案】解：原式=a2−4b2−(a2+b2−2ab)+5b2
=a2−4b2−a2−b2+2ab+5b2
=2ab，
当a=−52，b=3时，原式=2×(−52)×3=−15.
【解析】根据整式的运算法则化简后代入求值即可．
本题考查了整式的混合运算，熟记乘法公式是解题关键．
21.【答案】解：(1)如图，
∴三角形A1B1C1即为所求；
(2)如图，
∴三角形A2B2C2即为所求．
【解析】(1)利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用平移变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图——轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质．
22.【答案】解：(1)设甲品牌电动自行车的售价为x元，乙品牌电动自行车的售价为y元，
根据题意，得10%(x+y)=480y−x=400，
解得x=2200y=2600，
所以甲、乙品牌电动自行车的售价分别为2200元和2600元；
(2)2200−2200×10%=1980(元)，
2600−2600×10%=2340(元)，
所以小张购买甲品牌电动自行车除财政补贴外实际付款1980元，小刘购买乙品牌电动自行车除财政补贴外实际付款2340元．
【解析】(1)可根据：两人一共得到财政补贴480元；又知乙品牌电动自行车售价比甲品牌电动自行车售价多400元来列出方程组求解．
(2)根据(1)得出甲、乙品牌电动自行车的售价根据补贴的规定来求出两人实际的付款额．
本题主要考查二元一次方程组的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23.【答案】两直线平行，同旁内角互补 ME//HN∠E两直线平行，同位角相等
【解析】解：成立，理由如下：
因为GH//EF，
所以∠EGH+∠E=180∘(两直线平行，同旁内角互补)，
因为∠EGH=∠EFH，
所以∠E+∠EFH=180∘，
所以ME//HN，(同旁内角互补，两直线平行)，
所以∠MGH=∠H，(两直线平行，内错角相等)，
因为GH//EF，
所以∠MGH=∠E，(两直线平行，同位角相等)，
所以∠E=∠H.
故答案为：①两直线平行，同旁内角互补，②ME//HN，③∠E，④两直线平行，同位角相等．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
24.【答案】(1)解：此方案不可行，理由如下：
x−甲=14×(80+90+75+75)=80(分)，
x−乙=14×(80+75+85+80)=80(分)，
∴x−甲=x−乙，
∴两人平均分相同，无法做选择，故此方案不可行；
(2)甲的成绩为：80×0.3+90×0.3+75×0.2+75×0.2=81(分)，
乙的成绩为：80×0.3+75×0.3+85×0.2+80×0.2=79.5(分)，
∵甲的成绩高于乙的成绩，
∴甲会被录用．
【解析】(1)代入求平均数公式即可求出两人的平均成绩，根据结果即可解决；
(2)根据加权平均数定义算出甲、乙的得分即可得出结论．
此题考查算术平均数和加权平均数，掌握运算方法是解题关键．
25.【答案】(a+b)2=(a−b)2+4ab
【解析】解：(1)由图2可知，大正方形的边长为(a+b)，小正方形的边长为(a−b)，大正方形的面积可以表示为：(a+b)2或(a−b)2+4ab，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab；
(2)由(1)得：(x+y)2=(x−y)2+4xy，
∴82=(x−y)2+4×10，
∴(x−y)2=24；
(3)(1+x−1x)(1−x+1x)
=[1+(x−1x)][1−(x−1x)]，
=1−(x−1x)2，
∵x+1x=3，
∴(x+1x)2=9，
∴(x−1x)2=(x+1x)2−4=9−4=5，
∴1−(x−1x)2=1−5=−4.
(1)表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论；
(2)由(1)的结论得(x+y)2=(x−y)2+4xy，再整体代入即可；
(3)先由(1+x−1x)(1−x+1x)=[1+(x−1x)][1−(x−1x)]，再利用平方差公式得出=1−(x−1x)2，再根据(x−1x)2=(x+1x)2−4=9−4=5即可求解；
本题考查完全平方公式的几何背景和平方差公式，用不同的方法表示图形的面积，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法是解题的关键．
26.【答案】75∘
【解析】解：(1)∵∠BPD=∠D=45∘，∠APC=60∘，
∴∠DPC=180∘−45∘−60∘=75∘，
故答案为：75∘；
(2)①如图，此时，PC′⊥PD，
∴∠DPC=75∘，∠DPC′=90∘，
∴∠CPC′=75∘+90∘=165∘，
∴当α等于165度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t∘，∠BPM=2t∘，
当PC转到与PM重合时，t=180∘−60∘3∘=40(秒)，
分两种情况：
当PC转到与PD重合前，∠CPD=∠BPM时，
∴∠CPD=180∘−∠BPD−∠BPM−∠APN−∠APC=180∘−45∘−2t∘−3t∘−60∘=(75−5t)∘
当∠CPD=∠BPM，即2t=75−5t，
解得：t=757秒；
当PC转到与PD重合后，∠CPD=∠BPM时，
∴∠CPD=∠BPD+∠BPM+∠APN+∠APC−180∘=45∘+2t∘+3t∘+60∘−180∘=(5t−75)∘
当∠CPD=∠BPM，即2t=5t−75，
解得：t=25秒；
∴当∠CPD=∠BPM，旋转的时间是757或25秒．
(1)根据三角板的角度进行计算即可得到结论；
(2)①如图，根据PC′⊥PD，∠DPC=75∘，∠DPC′=90∘，求出结论即可；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t∘，∠BPM=2t∘，分两种情况：当PC转到与PD重合前和当PC转到与PD重合后，分别列方程即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．星期
一
二
三
四
五
六
日
温度(℃)
23
25
24
22
24
25
25
听
说
读
写
甲的成绩
80
90
75
75
乙的成绩
80
75
85
80