2023-2024学年湖南省郴州市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖南省郴州市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图(如图)由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是( )
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 7，8，9D. 6，8，10
3.下列图象中，表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，下列点在第四象限是( )
A. (2,0)B. (−2,3)C. (−2,−3)D. (2,−3)
5.为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，在50名报名者中，青年组有20人，中年组17人，老年组13人，则中年组的频率是( )
A. 0.4B. 0.34C. 0.26D. 0.6
6.关于一次函数y=2x−3，下列说法不正确的是( )
A. 图象经过点(2,1)B. 图象与x轴交于点(−3,0)
C. 图象不经过第二象限D. 函数值y随x的增大而增大
7.若一个正多边形的一个外角是45∘，则这个正多边形的边数是( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
8.工人师傅在做矩形门窗时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，以确定门窗是否为矩形．这样做的依据是( )
A. 矩形的两组对边分别相等B. 矩形的两条对角线相等
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形D. 对角线相等的平行四边形是矩形
9.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘.以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M，AC于N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，连接MN.下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②AD⊥MN；③AD=BD；④S△ACD：S△ACB=1：3.其中正确的结论有( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
10.甲无人机从地面起飞，同时乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是( )
A. 5s时，两架无人机都上升了20m
B. 10s时，两架无人机的高度差为30m
C. 乙无人机上升的速度为4m/s
D. 8s时，甲无人机距离地面的高度是60m
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.函数y= x−2中，自变量x的取值范围是______.
12.△ABC中，∠C=90∘，∠A=35∘，则∠B=______.
13.一组数据的最大值是100，最小值是35，若选取组距为10，则这组数据可分成______组.
14.如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米.
15.如图是南通八佰伴商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150∘，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是______.
16.一次函数y=(2−k)x+3的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是______.
17.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为20，则OH的长等于______.
18.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG=______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
已知y是x的正比例函数，当x=2时，y=−4.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当−2≤x≤4时，求y的最大值.
20.(本小题6分)
如图，已知∠A=∠D=90∘，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF.
求证：∠B=∠C.
21.(本小题8分)
某校为了解本校八年级学生的视力情况，对八年级的学生进行了一次视力调查，并将调查数据进行统计整理，绘制出如下频数分布表和频数分布直方图的一部分.
(1)根据频率分布表分别求a，b的值；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)若视力在4.9以下均属不正常，求视力不正常的人数占被调查人数的百分比.
22.(本小题8分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4,4)，B(1,3)，C(5,1).
(1)作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
(2)将△ABC向下平移5个单位，作出△A2B2C2，并写出△A2B2C2的顶点坐标；
(3)请使用无刻度的直尺作出∠BAC的平分线，与BC交于点D(要求标注点D)，并求出线段AD的长度.
23.(本小题9分)
如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使得点C与A重合.
(1)连接CF，试问四边形AECF是否是特殊的四边形？请说明理由.
(2)若AB=5cm，AD=10cm，求四边形AECF的周长与面积.
24.(本小题9分)
2023年9月15日至17日第二届湖南旅游发展大会在郴州市举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，郴州某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需23元，购买5千克A种食材和2千克B种食材共需91元.
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共30千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.
25.(本小题10分)
如图，直线y=43x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点.若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线AM的表达式；
(3)平面直角坐标系内是否存在点P，使得以点A，M，B′为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
26.(本小题10分)
在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动：
【探究发现】
(1)如图1，点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90∘后得到△ABF，连接EF，请问△AEF是否为等腰直角三角形？并说明理由；
【联想拓展】
(2)如图2，若点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，将△ADE顺时针旋转90∘得到△ABF，连接EF.
求证：2AE2=BE2+DE2.
【迁移应用】
(3)如图3，若点E是菱形ABCD外部的一点，∠BAD=120∘，∠AED=60∘，请求出AE，BE，DE之间的数量关系.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形；
B.是中心对称图形；
C.不是中心对称图形；
D.不是中心对称图形；
故选：B.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A、22+32≠42，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、72+82≠92，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、82+62=102，故是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D.
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
3.【答案】A
【解析】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意；
B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；
C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；
D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意．
故选：A.
在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，由此逐项判断即可得出答案．
本题考查了函数的定义，掌握在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数是关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、(2,0)横坐标为正，纵坐标为0，该点在横轴上，该选项不符合题意；
B、(−2,3)横坐标为负，纵坐标为正，该点在第二象限，该选项不符合题意；
C、(−2,−3)横坐标为负，纵坐标为负，该点在第三象限，该选项不符合题意；
D、(2,−3)横坐标为正，纵坐标为负，该点在第四象限，该选项符合题意．
故选：D.
根据第四象限点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得出答案．
本题考查了判断点所在的象限，掌握象限的特征是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：17÷50=0.34，
故选：B.
根据频率=频数总数进行计算即可．
本题考查频数与频率，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A.当x=2时，y=2×2−3=1，
∴一次函数y=2x−3的图象过点(2,1)，选项A正确，不符合题意；
B.当y=0时，2x−3=0，解得：x=32，
∴一次函数y=2x−3的图象与x轴交于点(32,0)，选项B不正确，符合题意；
C.∵k=2>0，b=−3<0，
∴一次函数y=2x−3的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项C正确，不符合题意；
D.∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意．
故选：B.
根据一次函数的性质一一判断即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：360÷45=8(条)，
故选：B.
根据多边形的外角和等于360∘计算即可．
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360∘，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，
故选：D.
先判定四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形解答即可．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由作图可得：AD是∠BAC的平分线，AN=AM，故①正确；
由等腰三角形的三线合一的性质可得：AD⊥MN，故②正确；
∵在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，
∴∠BAC=90∘−∠B=60∘，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30∘，
∴∠BAD=∠B=30∘，
∴AD=BD，故③正确；
∵∠CAD=30∘，
∴CD=12AD=12BD，
∴CD=13BC，
∵S△ACD=12CD⋅AC，S△ACB=12BC⋅AC，
∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④，
故选：D.
由作图可得AD是∠BAC的平分线，AN=AM，即可判断①；由等腰三角形的判定与性质即可判断②③；由三角形面积公式分别表示出面积即可判断④．
本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由图象可得，
5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了40−20=20(m)，故选项A错误，不符合题意；
甲无人机的速度为：40÷5=8(m/s)，乙无人机的速度为：(40−20)÷5=4(m/s)，故选项C正确，符合题意；
∴10s时，两架无人机的高度差为：8×10−(20+4×10)=20(m)，故选项B错误，不符合题意；
8s时，甲无人机距离地面的高度是8×8=64(m)，故选项D错误，不符合题意；
故选：C.
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键．
11.【答案】x≥2
【解析】解：已知y= x−2，
则x−2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2.
根据二次根式有意义的条件计算即可．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】55∘
【解析】解：∵∠C=90∘，∠A=35∘，
∴∠B=180∘−90∘−35∘=55∘.
故答案为：55∘.
直接根据三角形的内角和是180∘即可得出结论．
本题考查的是三角形的内角和，熟知三角形的内角和是180∘是解答此题的关键．
13.【答案】7
【解析】解：∵一组数据的最大值是100，最小值是35，
∴它们的差为100−35=65，
∵选取组距为10，
∴65÷10=6.5，
∴这组数据可分成7组，
故答案为：7.
根据组数=(最大值-最小值)÷组距，计算即可得出答案，注意小数部分要进位．
本题考查了频数分布表，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的分组数．
14.【答案】10
【解析】解：如图所示，AB，CD为树，且AB=15米，CD=9米，BD为两树距离8米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE=BD=8米，AE=AB−CD=6米，
在直角三角形AEC中，
AC= AE2+EC2= 62+82=10(米)，
答：小鸟至少要飞10米．
故答案为：10.
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．
15.【答案】5m
【解析】解：过C作CM⊥AB于M，
∵∠ABC=150∘，
∴∠CBM=180∘−150∘=30∘，
在Rt△CBM中，
∵BC=10m，∠CBM=30∘，
∴CMBC=sin∠CBM=sin30∘=12，
∴CM=12BC=5m，
即从点B到点C上升的高度h是5m.
故答案为：5m.
过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30∘，根据BC=10m，利用三角函数的知识解直角三角形即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角建立直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
16.【答案】k>2
【解析】解：∵一次函数y=(2−k)x+3的图象经过第一、二、四象限，
∴2−k<0，
解得：k>2，
故答案为：k>2.
根据一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，图象与y轴的交点坐标为(0,b)，由题意得出2−k<0，计算即可得出答案．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
17.【答案】2.5
【解析】解：已知菱形 ABCD 的周长为 20，
∴AB=BC=CD=AD=5，
菱形 ABCD 中，AC⊥BD交于点O.
在Rt△AOD中，OH=12AD=2.5.
故答案为：2.5.
先求菱形的边长，再根据直角三角形中底边的中线等于底边的一半的性质求解．
此题重点考查学生对菱形性质的理解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18.【答案】485
【解析】解：如图，连接OE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90∘，BC=AD=16，AO=CO=BO=DO，
∵AB=12，
∴AC= AB2+BC2=20，
∴OB=OB=10，
∴S△BOC=12S△ABC=12×12AB⋅BC=12×12×12×16=48，
∵EF⊥AC，EG⊥BD，
∴S△BOC=S△BOE+S△COE=12OB×GE+12OC⋅EF=12×10×GE+12×10×EF=5(GE+EF)，
∴5(GE+EF)=48，
∴GE+EF=485，
故答案为：485.
连接OE，由矩形的性质得出∠ABC=90∘，BC=AD=16，AO=CO=BO=DO，由勾股定理得出AC=20，推出OB=OB=10，再结合S△BOC=S△BOE+S△COE=12OB×GE+12OC⋅EF，计算即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式，解题的关键是学会应用面积法解决问题．
19.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx，
∵当x=2时，y=−4，
∴2k=−4，
解得：k=−2，
∴y与x之间的函数关系式为y=−2x；
(2)由(1)可得k=−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∵−2≤x≤4，
∴当x=−2时，y取得最大值，为−2×(−2)=4，
∴当−2≤x≤4时，y的最大值为4.
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)根据正比例函数的性质计算即可得出答案．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
20.【答案】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
AB=DCBF=CE，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，
∴∠B=∠C.
【解析】由BE=CF，得BF=CE，即可用HL证明Rt△ABF≌Rt△DCE，即得∠B=∠C.
本题考查三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
21.【答案】解：(1)总人数=20÷0.1=200.
∴a=200×0.3=60，b=1−0.1−0.2−0.35−0.3=0.05，
故答案为：60，0.05.
(2)频数分布直方图如图所示，
(3)视力正常的人数占被调查人数的百分比是70200×100%=35%.
【解析】(1)根据百分比=所占人数总人数，频率之和为1即可解决问题；
(2)根据a=60，画出条形图即可解决问题；
(3)根据百分比=所占人数总人数，求出力正常的人数即可解决问题；
本题考查频数分布表、频数分布直方图等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于基础题，中考常考题型．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所作，
(2)如图，△A2B2C2即为所作，
A2(4,−1)，B2(1,−2)，C2(5,−4)；
(3)如图，取BC的中点D，连接AD，AD即为所求，
由勾股定理可得：AB=AC= 12+32= 10，
∴△ABC为等腰三角形，
∵D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC，
由勾股定理可得：AD= 12+22= 5.
【解析】(1)根据轴对称的性质作出点A1、B1、C1，再顺次连接即可得出答案；
(2)根据平移的性质作出点A2、B2、C2，再顺次连接即可得出答案，写出坐标即可；
(3)取BC的中点D，连接AD，AD即为所求，由勾股定理得出AB=AC，再由等腰三角形的性质即可得出AD平分∠BAC，最后由勾股定理计算即可得出答案．
本题考查了作图-轴对称变换、平移变换，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)四边形AECF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFE=∠CEF，
由折叠的性质可得：∠AEF=∠CEF，CE=AE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=10cm，∠B=90∘，
由折叠的性质可得：CE=AE，
设CE=AE=xcm，则BE=BC−CE=(10−x)cm，
由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，
∴52+(10−x)2=x2，
解得：x=254，
∴CE=AE=254cm，
∴四边形AECF的周长=4CE=4×254=25cm，
四边形AECF的面积=AB⋅CE=5×254=1254cm2.
【解析】(1)由矩形的性质得出AD//BC，由折叠的性质可得：∠AEF=∠CEF，CE=AE，得到∠AEF=∠AFE，推出AE=AF，继而得出AF=CE，即可得出四边形AECF是平行四边形，从而得证；
(2)由矩形的性质得出BC=AD=10cm，∠B=90∘，由折叠的性质可得：CE=AE，设CE=AE=xcm，则BE=BC−CE=(10−x)cm，
由勾股定理计算得出CE=AE=254cm，再由菱形的周长和面积公式计算即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)设食材A单价为x元，食材B单价为y元，
由题可得：x+y=235x+2y=91，
解得：x=15y=8，
∴食材A单价为15元，食材B单价为8元；
(2)设A种食材购买m千克，B种食材(30−m)千克，总费用为w元，
由题可得：w=15m+8(30−m)=7m+240，
∵a≥2(30−m)，
∴20≤a<30，
∵k=7>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=20时，w有最小值为：7×20+240=380元，
∴A种食材购买20千克，B种食材10千克，总费用最少，为380元．
【解析】(1)根据题意得到有关二元一次方程组，求解即可；
(2)根据题意得到一次函数以及不等式，求得最值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
25.【答案】解：(1)在y=43x+8中，当x=0时，y=8，即B(0,8)，
当y=0时，43x+8=0，解得x=−6，即A(−6,0)；
(2)由(1)得：A(−6,0)，B(0,8)，
∴OA=6，OB=8，
∴AB= OA2+OB2=10，
由折叠的性质可得：AB=AB′=10，BM=B′M，
∴OB′=AB′−OA=10−6=4，
设OM=a，则BM=B′M=8−a，
由勾股定理得：OM2+OB′2=B′M2，即a2+42=(8−a)2，
解得：a=3，
∴M(0,3)，
设直线AM的表达式为y=kx+b，
将M(0,3)，A(−6,0)代入解析式得b=3−6k+b=0，
解得：k=12b=3，
∴直线AM的表达式为y=12x+3；
(3)由(2)可得：OB′=4，
∴B′(4,0)，
如图，当AB′为对角线时，四边形AP1B′M为平行四边形，
设P1(s,t)，则s+0=−6+43+t=0+0，
解得：s=−2t=−3，
∴P1(−2,−3)；
当AB′为边时，四边形AB′P2M、AB′MP3为平行四边形，
∴AB′=MP1=MP2，AB′//MP1，AB′//MP2，
∵AB′=4−(−6)=10，
∴AB′=MP3=MP2=10，
∴P2(10,3)，P3(−10,3)；
综上所述，存在，点P的坐标为P1(−2,−3)，P2(10,3)，P3(−10,3).
【解析】(1)当x=0时，y=8，即可得出B的坐标，当y=0时，43x+8=0，解得x=−6，即可得出A的坐标；
(2)由题意得OA=6，OB=8，则AB=10，由折叠的性质可得：AB=AB′=10，BM=B′M，推出OB′=4，设OM=a，则BM=B′M=8−a，由勾股定理求出a的值，从而得出M的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
(3)分来两种情况：当AB′为对角线时，当AB′为边时，分别利用平行四边形的性质求解即可．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、求一次函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
26.【答案】(1)解：△AEF为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90∘，即∠BAE+∠DAE=90∘，
由旋转的性质可得：AF=AE，∠BAF=∠DAE，
∴∠BAE+∠BAF=90∘，即∠EAF=90∘，
∴△AEF为等腰直角三角形；
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45∘，
由旋转的性质可得：∠ABF=∠ADB=45∘，AE=AF，DE=BF，∠EAF=90∘，
∴△AEF为等腰直角三角形，∠EBF=∠ABE+∠ABF=90∘，
∴AE2+AF2=EF2，BF2+BE2=EF2，
∴2AE2=DE2+BE2；
(3)解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转120∘得到△ABE′，连接EE′，
，
由旋转的性质可得：AE=AE′，∠EAE′=120∘，∠AE′B=∠AED=60∘，BE′=DE，
∴∠AEE′=∠AE′E=180∘−∠EAE′2=30∘，
∴∠BE′E=∠AE′B+∠AE′E=90∘，
作AF⊥EE′于F，则EE′=2EF，AF=12AE，
∴EF= AE2−AF2= 32AE，
∴EE′=2EF= 3AE，
由勾股定理得：BE′2+EE′2=BE2，
∴DE2+( 3AE)2=BE2，即3AE2+DE2=BE2.
【解析】(1)由正方形的性质得出∠BAD=90∘，即∠BAE+∠DAE=90∘，由旋转的性质可得：AF=AE，∠BAF=∠DAE，从而得出∠EAF=90∘，即可得证；
(2)∠ABD=∠ADB=45∘，由旋转的性质可得：∠ABF=∠ADB=45∘，AE=AF，DE=BF，∠EAF=90∘，从而得出△AEF为等腰直角三角形，∠EBF=90∘，再由勾股定理即可得出答案；
(3)将△ADE绕点A顺时针旋转120∘得到△ABE′，连接EE′，由旋转的性质可得：AE=AE′，∠EAE′=120∘，∠AE′B=∠AED=60∘，BE′=DE，由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠AEE′=∠AE′E=30∘，求出∠BE′E=90∘，作AF⊥EE′于F，则EE′=2EF，AF=12AE，由勾股定理得出EF= 32AE，得到EE′=2EF= 3AE，最后再由勾股定理即可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．视力
频数(人数)
频率
4.0≤x<4.3
20
0.1
4.3≤x<4.6
40
0.2
4.6≤x<4.9
70
b
4.9≤x<5.2
a
0.3
5.2≤x<5.5
10
0.05