2023-2024学年河南省周口市川汇区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河南省周口市川汇区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子一定是二次根式的是( )
A. 35B. x+1C. −2D. x2+1
2.若函数y=(k+1)x+b−2是正比例函数，则( )
A. k≠−1，b=−2B. k≠1，b=−2
C. k=1，b=−2D. k≠−1，b=2
3.下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是( )
A. 两个等腰三角形B. 两个全等三角形C. 两个锐角三角形D. 两个直角三角形
4.如图，直线y=kx+b经过点A(2,1)，B(−1,−2)，则不等式kx+b>−2的解集是( )
A. x>−1
B. x<−1
C. x>2
D. x<2
5.为深入开展全民禁毒宣传教育，某校举行了禁毒知识竞赛，嘉嘉说：“我们班100分的同学最多，一半同学成绩在96分以上”，嘉嘉的描述所反映的统计量分别是( )
A. 众数和中位数B. 平均数和中位数C. 众数和方差D. 众数和平均数
6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形(如图2).设直角三角形较长
直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为( )
A. 3B. 4C. 2 2D. 3 2
7.已知点A(m,−3)和点B(n,3)都在直线y=−2x+b上，则m与n的大小关系为( )
A. m>nB. m8.为了解学生的体质健康水平，国家每年都会进行中小学生体质健康测试和抽测复核.在某次抽测复核中，某校八(1)班10名男生引体向上测试的成绩(单位：个)如下：7，11，10，6，11，14，11，10，11，9.这组数据的中位数是( )
A. 12.5B. 11C. 10.5D. 不存在
9.一根高18厘米的蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)(0≤t≤6)的关系如表，已知平均每小时蜡烛燃掉3厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)(0≤t≤6)之间的关系式是( )
A. h=18−tB. h=18+tC. h=18−3tD. h=18+3t
10.如图1，已知动点P在▱ABCD的边上沿B−C−D−A的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位．连结AP，记点P的运动时间为t秒，△ABP的面积为S.如图2是S关于t的函数图象，则下列说法中错误的是( )
A. 线段AB的长为3B. ▱ABCD的周长为16
C. 线段AP最小值为2.3D. ▱ABCD的面积为12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若 2x+8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
12.在平面直角坐标系中点A( 5,−2)到原点的距离是______.
13.如表，是某市2023年和2024年5月1日至5日每日最高气温(单位： ℃).则这五天的最高气温更稳定的是______年(填“2023”或“2024”).
14.直线y=x+1与直线y=ax+c相交于点P(3,b)，则关于x，y的方程组x−y=−1−ax+y=c的解是______.
15.在平面直角坐标系中，菱形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(−3,0)，点B的坐标为(3,0)，点D在y轴上，∠DAB=60∘.点P是对角线AC上一个动点，当OP+BP最短时，点P的坐标为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：( 3−1)2−( 7+ 5)( 7− 5)；
(2)已知a=1− 2，b=1+ 2，求a2+ab+b2的值.
17.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠ACB=90∘，AB=20，BC=16，AD=5，DC=13，求四边形ABCD的面积.
18.(本小题9分)
在同一平面内，将两个完全相同，含有30∘角的直角三角板，按如图位置摆放，其中∠CAB=30∘，∠EDF=30∘，点A，E，B，D依次在同一直线上，且E，B分别是AB与ED的中点，连接AF，CD.求证：四边形AFDC是菱形.
19.(本小题9分)
某校为了进一步倡导文明健康绿色环保生活方式，提高学生节能、绿色、环保、低碳意识，举办了“低碳生活，绿色出行”知识竞赛.每班选10名代表参加比赛，随机抽取2个班，记为甲班，乙班，现收集这两个班参赛学生的成绩如下：
【收集数据】
【分析数据】
【应用数据】
(1)根据以上信息，填空：a=______，b=______，c=______；
(2)参赛学生人数为300人，若规定竞赛成绩90分及以上为优秀，请你根据以上数据，估计参加这次知识竞赛成绩优秀的学生有多少人？
(3)结合以上数据，选择适当的统计量分析这两个班级中哪个班级成绩较好？
20.(本小题9分)
某校期末总评成绩是由完成作业，期中检测，期末考试三项成绩构成的，如果期末总评成绩达到80分或80分以上，则评为“优秀”.下表是小宇和小明两位同学的成绩记录：
(1)若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小宇的期末评价成绩；
(2)若将完成作业、期中检测、期末考试三项成绩按2：3：5的比例来确定期末评价成绩.小明的期末总评成绩刚好达到“优秀”，他在期末考试中的成绩是多少分？
21.(本小题10分)
春到人间，绿化争先.为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动.现要购买A、B两种树苗共100棵，已知A、B两种树苗的单价分别为30元/棵和20元/棵.若购买A树苗的数量为x棵，所需的总费用为y(元).
(1)求所需总费用y与x之间的函数关系式；
(2)若要求购买B树苗的棵数不多于A树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元？
22.(本小题10分)
水在标准气压下的沸点温度是100℃，食用油的沸点温度远高于水的沸点温度.在老师指导下，小明计划用量程为−30℃∼150℃的温度计，估算出某种食用油沸点的温度，他进行了如下探究活动：
活动主题：食用油沸点探究.
活动过程：在老师的指导下，在烧杯中倒入100克食用油均匀加热，每隔15s测量一次烧杯中油温，共进行了5次测量(5次测量后撤去温度计，继续加热)，得到的数据记录如下表：
根据他的探究情况，请你完成下列任务.
(1)任务一：在直角坐标系中描出表中数据对应的点.在这种食用油达到沸点前，若烧杯中油的温度y(单位： ℃)与加热的时间t(单位：s)符合我们学习过的某种函数关系，根据表中数据和坐标系中描出的点的分布规律猜测这个关系可能是______函数关系.
(2)任务二：请你根据以上判断，求出这种食用油达到沸点前y关于t的函数关系式.
(3)任务三：当加热到第140s时，油沸腾了，请估算这种食用油沸点的温度.
23.(本小题10分)
如图，已知▱ABCD，AB//x轴，AB=4，点A的坐标为(1,−3)，点D的坐标为(−2,3)，点B在第四象限.
(1)点B的坐标为______；点 C的坐标为______；
(2)点E是AD与y轴的交点，直线l：y=13x+b经过点E，求直线l的解析式；
(3)点P是BC边上的一个动点.若点P关于坐标轴的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.35，为三次根式，不符合二次根式的定义，本选项不符合题意；
B. x+1缺少条件x+1≥0，不一定是二次根式，本选项不符合题意；
C. −2，被开方数−2<0，不符合二次根式的定义，本选项不符合题意；
D. x2+1，被开方数x2+1≥0，是二次函数，符合题意，
故选：D.
根据二次根式的定义解答即可．
本题考查了二次根式的定义，掌握形如 a(a≥0)的式子是二次根式逐项判断即可．
2.【答案】D
【解析】解：∵y=(k+1)x+b−2是正比例函数，
∴k+1≠0，b−2=0.
解得k≠−1，b=2.
故选：D.
根据正比例函数的定义可知k+1≠0，b−2=0，从而可求得k、b的值．
本题主要考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义得到k+1≠0，b−2=0是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，
∴只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．
故选：B.
因在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．据此解答．
此题主要考查了平行四边形的判定，本题的关键是明确平行四边形的特征：两组对边平行且相等．
4.【答案】A
【解析】解：∵直线y=kx+b经过点A(2,1)，B(−1,−2)，
∴代入得：1=2k+b−2=−k+b，
解得：k=1，b=−1，
∴直线的解析式是y=x−1，
即x−1>−2，
x>−1，
则不等式kx+b>−2的解集是x>−1，
故选：A.
把A、B的坐标代入直线的解析式，求出直线的解析式，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和解不等式的应用，关键是能根据题意求出关于x的不等式．
5.【答案】A
【解析】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，中位数即位于中间位置的数，
故选：A.
根据众数和中位数数的定义回答即可．
本题考查了统计量的选择，属于统计基础知识，难度较小．
6.【答案】D
【解析】解：由图形2可知，中间四边形的边长为(a−b)的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴AB2=25，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴ab2×4+(a−b)2=25，
∴(a−b)2+2ab=25，
∴(a−b)2+2×8=25，
∴(a−b)=3(负值已舍)，
即图2中小正方形的边长为3，
∴EF= 32+32=3 2，
故选：D.
由图形2可知，中间四边形的边长为(a−b)的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出ab2×4+(a−b)2=25，再结合ab=8即可得出(a−b)的值，再根据勾股定理即可求出EF的长．
本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，正确得出大正方形的面积表示方法是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=−2x+b图象上的点y随着x的增大而减小，
又∵点A(m,−3)和点B(n,3)都在直线y=−2x+b上，且−3<3，
∴m>n，
故选：A.
根据一次函数y=−2x+b图象的增减性，结合点A和点B纵坐标的大小关系，即可得到答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：按从小到大排列：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14，最中间两个数分别是10与11，其平均数为：10+112=10.5；
故选：C.
根据中位数的概念求解即可．
本题考查了求一组数据的中位数，把一组数据按大小排列，最中间一个或两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9.【答案】C
【解析】解：∵蜡烛点燃后平均每小时燃掉3厘米，
∴t小时燃掉3t厘米，
由题意知：h=18−3t
故选：C.
蜡烛点燃后平均每小时燃掉3厘米，则t小时燃掉3t厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度．
本题考查的是函数关系式，与根据实际问题列方程解应用题具有共性，即都需要确定等量关系，不同点是函数关系是两个变量，而方程一般是一个未知数．
10.【答案】C
【解析】解：∵P在BC上时，△ABP的面积为S随t的增大而增大，
∴根据点(5,6)可以得到BC=5，S=6，
∴A到BC的距离为125，
当P在CD上时，S不变，
∴CD=8−5=3，
∴a=5+3+5=13，▱ABCD的周长为2×(5+3)=16，▱ABCD的面积，5×125=12，
故A，B，D都不符合题意；
当AP⊥BC时，AP最短，即AP的最小值为125=2.4，故C符合题意．
故选：C.
根据图象上点的坐标和图象的特点，利用平行四边形的性质可以判断出答案．
本题考查了动点问题的函数图象、平行四边形的性质，解决本题的关键是读懂图1与图2的对应关系．
11.【答案】x≥−4
【解析】解：∵ 2x+8在实数范围内有意义，
∵2x+8≥0，
∴x≥−4，
故答案为：x≥−4.
根据二次根式有意义的条件即可求出x的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：由勾股定理得：点A( 5,−2)到原点的距离是 ( 5)2+22=3；
故答案为：3.
根据勾股定理求解即可．
本题考查了坐标与图形性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是关键．
13.【答案】2023
【解析】解：2023年和2024年5月1日至5日每日最高气温的平均数分别为：15(22×2+24×2+25)=23.4(分)，15(27+26+30+31+33)=29.4(分)，
2023年和2024年5月1日至5日每日最高气温的方差分别为：15[2×(22−23.4)2+2×(24−23.4)2+(25−23.4)2]=1.24，
15[(27−29.4)2+(26−29.4)2+(31−29.4)2+(33−29.4)2+(30−29.4)2]=6.64，
而1.24<6.64，
所以2023年5月1日到5日五天的最高气温更稳定；
故答案为：2023.
分别计算出两组数据的方差，根据方差越小数据越稳定即可判断．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14.【答案】x=3y=4
【解析】解：∵点P(3,b)在直线y=x+1上，
∴b=3+1=4，
∴点P坐标为(3,4)，
∵x−y=−1可变形为y=x+1，−ax+y=c可变形为y=ax+c，
∴关于x、y的方程组x−y=−1−ax+y=c的解是x=3y=4.
故答案为：x=3y=4.
将点P(3,b)代入y=x+1，得到点P坐标为(3,4)，根据“两函数图象的交点坐标即为两函数组成的方程组的解”即可求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握“两一次函数图象的交点坐标即为两函数组成的方程组的解”是解题关键．
15.【答案】(0, 3)
【解析】解：∵点A的坐标为(−3,0)，点B的坐标为(3,0)，
∴OA=3
∵四边形ABCD是菱形，
∴B，D关于直线AC对称．
设OD交AC于P′，连接BP′，则BP′=DP′，

∵P′O+P′B=P′D+P′O≥OD，即P′O+P′B=P′D+P′O≤OP+PB.
当点P和点P′重合时，OP+PB=OP+PD=OD的值最小．
在Rt△AOP′中，
∵∠P′AO=12∠DAB=30∘，
∴OP′=12AP′，
则OP′2+AO2=AP′2，即OP′2+32=2OP′2，
∴OP= 3，
∴P(0, 3)，
故答案为：(0, 3).
先求出OA=3，点B，D关于直线AC对称．设OD交AC于P′，连接BP′，则BP′=DP′，P′O+P′B=P′D+P′O≥OD，即P′O+P′B=P′D+P′O≤OP+PB.则当点P和点P′重合时，OP+PB=OP+PD=OD的值最小．在Rt△AOP中，∠P′AO=12∠DAB=30∘，则OP′=12AP′，则OP′2+AO2=AP′2，求出OP，即可得到点P的坐标．
此题考查了勾股定理、含30∘角的直角三角形的性质、菱形的性质、轴对称的性质、点的坐标等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
16.【答案】解：(1)( 3−1)2−( 7+ 5)( 7− 5)
=( 3)2−2 3+1−(7−5)
=3−2 3+1−2
=2−2 3；
(2)∵a=1− 2，b=1+ 2，
∴a+b=2，ab=12−( 2)2=−1
∴a2+ab+b2
=(a+b)2−ab
=22−(−1)
=4+1
=5.
【解析】(1)原式根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可；
(2)原式先计算a+b=2，ab=−1，再把a2+ab+b2变形为(a+b)2−ab，然后整体代入计算即可
本题主要考查二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】解：∵在△ABC中，∠ACB=90∘，
∴AC2+BC2=AB2，
又∵AB=20，BC=16，
∴AC2=202−162=144，即AC=12.
∵在△ADC中AD=5，DC=13，AC=12，
∴AC2+AD2=169=CD2.
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90∘.
∴四边形ABCD的面积为S△ADC+S△ABC=12×AC×AD+12×AC×BC=126.
【解析】由勾股定理求出AC的长，再由勾股定理逆定理判定△ADC是直角三角形，则由S△ADC+S△ABC即可求得四边形ABCD的面积．
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是关键．
18.【答案】证明：∵Rt△ABC与Rt△DEF完全相同，
∴AC=DF，∠BAC=∠EDF，
∴AC//DF
∴四边形ACDF是平行四边形．
∵Rt△ABC中，∠BAC=30∘，
∴BC=12AB.
∵AB=DE，E、B分别是AB与ED的中点，
∴BD=12ED=12AB，
∴BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD.
∵∠ABC=60∘，
∴∠CDB=∠CAB=30∘.
∴AC=CD.
∴▱ACDF是菱形．
【解析】由Rt△ABC与Rt△DEF完全相同，易得AC=DF，AC//DF，从而得四边形AFDC是平行四边形；由含30度角直角三角形性质及已知可得BC=BD，从而得∠BDC=∠CAD=30∘，则可得AC=CD，即得四边形AFDC是菱形．
本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，含30度角直角三角形性质，掌握菱形判定是关键．
19.【答案】9091.592
【解析】解：(1)∵甲班中90出现3次，出现的次数最多，
∴甲班10名学生测试成绩的众数是90，即a=90，
把甲班10名学生测试成绩从小到大排列，第5个数和第6个数分别是90，93，
故甲班10名学生测试成绩的中位数是90+932=91.5，即b=91.5，
根据乙班10名学生的数据得出乙班10名学生的平均数87+89+92+95+92+92+85+92+96+10010=92，即c=92，
故答案为：90，91.5，92；
(2)300×1520=225(人)，
答：估计参加知识竞赛的300名学生中成绩为优秀的学生共有225人．
(3)乙班成绩较好，理由如下：
乙班的平均数高于甲班的平均数，说明乙班成绩平均水平高，
乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班成绩比较稳定，
∴乙班成绩较好．
(1)根据众数、中位数、平均数的概念解答；
(2)根据样本估计总体，得到答案；
(3)根据平均数和方差的性质说明理由．
本题考查统计量的选择，用样本估计总体，中位数，众数，方差，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念和性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)13×(90+76+80)=82(分)，
∴小宇的期末评价成绩82分；
(2)设小明在期末考试的成绩为x.
由题意，81×2+71×3+5x2+3+5=80，
解得x=85.
∴小明在期末考试中的成绩是85分．
【解析】(1)根据平均数的定义，将三个成绩之和除以3即可求解；
(2)设小明在期末考试的成绩为x.根据加权平均数的定义即可求解．
本题考查算术平均数与加权平均数，掌握平均数和加权平均数的求法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意可得y=30x+20(100−x)=10x+2000，
∴所需总费用y与x之间的函数关系式为y=10x+2000.
(2)由题意可得100−x≤3x，
解得x≥25.
∵y=10x+2000，10>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=25时，y最小=10×25+2000=2250，
∴购买这些树苗至少需要2250元．
【解析】(1)根据总费用A中树苗的费用加B种树苗的费用列出函数关系式即可；
(2)根据购买B树苗的棵数不多于A树苗的3倍求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解．
本题考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
22.【答案】一次
【解析】解：(1)任务一：在直角坐标系中描出表中数据对应的点如图所示；
根据表中数据和坐标系中描出的点的分布规律，猜测可能是一次函数；
故答案为：一次；
(2)设y=kt+b，选点(0,20)，(15,24.5)(不唯一).
把点(0,20)代入y=kt+b，得20=k×0+b.
解得b=20.
把点(15,24.5)代入y=kt+20，得42.5=k×15+20.
解得k=1.5.
所以y=1.5t+20.
(3)∵当t=140时，y=1.5×140+20=210+20=230.
∴估计这种食用油沸点的温度是230℃.
(1)直接描点即可；根据描出的点的分布规律即可作出猜测；
(2)设函数解析式，利用待定系数法即可求解；
(3)求出t=140时的函数值即可得．
本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一次函数解析式．
23.【答案】(5,−3)(2,3)
【解析】解：(1)在▱ABCD中，CD=AB=4，AB//CD；
∵AB//x轴，AB=4，点A的坐标为(1,−3)，
∴点B的横坐标为1+4=5，点B与点A的纵坐标相同，
∴B(5,−3)；
∵点D的坐标为(−2,3)，CD//x轴，CD=AB=4，
∴点C的横坐标为−2+4=2，纵坐标与点D相同，
∴C(2,3)；
故答案为：(5,−3)，(2,3).
(2)设直线AD的解析式为y=kx+n.
∵点A的坐标为(1,−3)，点D的坐标为(−2,3)，
∴k+n=−3−2k+n=3，
解得k=−2n=−1.
∴直线AD的解析式为y=−2x−1.
令x=0，则y=−1，
∴点E坐标为(0,−1).
∵直线l：y=13x+b经过点E.
∴直线l的解析式为y=13x−1.
(3)∵C(2,3)，B(5,−3).
设直线BC解析式为y=px+q(p≠0)，则：
2p+q=35p+q=−3，
解得：p=−2q=7，
∴直线BC的解析式为y=−2x+7.
设P(m,−2m+7).
①P点关于x轴对称点为(m,2m−7)，落在直线l：y=13x−1上，可得m=185.
此时P(185,−15).
②P点关于y轴对称点为(−m,−2m+7)，落在直线l：y=13x−1上，可得m=185.
此时P(245,−135).
综上，点P的坐标为P(185,−15)或P(245,−135).
(1)AB//x轴，AB=4，点A的坐标为(1,−3)，即可得点B的坐标；同理可得点C的坐标；
(2)求出直线AD的解析式，则可求得点E的坐标；把点E的坐标代入直线l：y=13x+b中，求得b的值即可；
(3)求出直线BC解析式y=−2x+7，设P(m,−2m+7).分点P关于x轴对称、关于y轴对称两种情况考虑即可．
本题考查了平行四边形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，关于坐标轴对称的点的坐标特征，直线上点的坐标特征等知识，涉及分类讨论思想．燃烧时间t(时)
0
1
2
3
4
剩余的高度h(厘米)
18
15
12
9
6
1日
2日
3日
4日
5日
2023年
22
22
24
24
25
2024年
27
26
31
33
30
甲班
80
85
90
96
97
90
90
100
99
93
乙班
87
89
92
95
92
92
85
92
96
100
班级
众数
中位数
平均数
方差
甲
a
b
92
36
乙
92
92
c
17.2
完成作业
期中检测
期末考试
小宇
90
76
80
小明
81
71
？
时间t/s
0
15
30
45
60
油温y/℃
20.0
42.5
65.0
87.5
110.0