2023-2024学年广东省深圳中学初中部八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年广东省深圳中学初中部八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果不等式(a+1)x1，那么a的取值范围是( )
A. a<1B. a<−1C. a>1D. a>−1
2.下列各式中，不含因式a+1的是( )
A. 2a2+2aB. a2+2a+1C. a2−1D. a2+a+14
3.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AB，CD上，EF//AD，则图中的平行四边形共有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.若x=−1是关于x的方程x2+ax=0的一个根，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD交BE于点F，若BF=AC，则∠ABC等于( )
A. 45∘B. 48∘C. 50∘D. 60∘
6.已知分式2x−bx+a(a,b为常数)满足下列表格中的信息：
以下结论中错误的是( )
A. a=1B. b=2C. c=2D. d=3
7.下列四个图案中，可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是( )
A. B. C. D.
8.已知某四边形的两条对角线相交于点O.动点P从点A出发，沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C.设点P运动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是( )
A. B.
C. D.
9.对于任意实数m，n，定义一种新运算：m*n=mn−m−n+3，例如：2*6=2×6−2−6+3=7.请根据上述定义解决问题：若不等式a<4*x<8有2个整数解，则a的取值范围是( )
A. −110.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2−(n+2)x−2n2=0的两个根记作an，bn，则1(a1−2)(b1−2)+1(a2−2)(b2−2)+⋯+1(a2024−2)(b2024−2)的值是( )
A. −5052024B. 5052024C. −10122025D. 10122025
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：x2−2x−3=______.
12.在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有______个.
13.将分式2x+6x2−9化为最简分式，所得结果是______.
14.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120∘，AD=4，AB=2，H，G分别是边CD，BC上的动点，连结AH，HG，E为AH的中点，F为GH的中点，连结EF，则EF长的最小值为__________.
15.如图，动点P在正方形ABCD内，射线DP与边AB相交，连接AP，过点A作AP的垂线交射线DP于点E.若AE=AP=1,PB= 6，下列结论：①△ADP≌△ABE；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为 2；④S△APB=1+ 62；⑤S正方形ABCD=5+2 2.其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)解方程：x2−6x−1=0；
(2)解不等式组2x−5<01−x<2x.
17.(本小题8分)
(1)分解因式：m2(x−y)+4n2(y−x)；
(2)先化简，再求值，(3xx−1+xx+1)⋅x2−1x，其中x= 2−2.
18.(本小题6分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
求证：(1)∠DEF=∠DFE；(2)AD垂直平分EF.
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF的顶点的坐标都是整数，已知点B(2,3)，D(3,−3).
(1)将△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，其中点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应，请在图中画出△A1B1C1；
(2)将△DEF绕D点逆时针旋转90∘，得到△DE1F1，其中点E1，F1分别与点E，F对应，请在图中画出△DE1F1；
(3)△A1B1C1与△DE1F1关于平面内某一点成中心对称，则对称中心M的坐标为______.
20.(本小题6分)
如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点.
(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；
(2)当AP为何值时，四边形PMEN是菱形？并给出证明.
21.(本小题9分)
小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/台.厂商建议，台灯的标价应不低于25元/台，且不高于30元/台.
(1)小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为25元/台时，每天能售出80台；若台灯的价格每上涨1元，日销量会下降8台.求日销售量P(台)与x(元/台)之间的函数关系式；
(2)在(1)的条件下，小亮希望日销量不低于60台，则台灯的售价不能超过多少元/台？
(3)“618”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为450元.“618”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按30元/台标价，并打a折销售；当天销售量在80台的基础上增加了10a倍，日销售利润上升为“618”促销日之前的最高日销售利润的a5倍，求a的值.
22.(本小题9分)
如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点(与点A、C不重合)，连结PD、PB.
(1)求证：△PAD≌△PAB；
(2)将线段DP绕点P逆时针旋转，使得点D落在直线AB上的点Q处(与点B不重合)，当点P在线段AC上运动时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，当AQBQ=______时，射线 DP是∠ADC的三等分线.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：(a+1)x当a+1<0时x>1，
所以a+1<0，解得a<−1，
故选：B.
根据不等式的基本性质进行计算即可．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了公因式的有关知识，在解题时要能综合应用提公因式法和公式法进行因式分解是本题的关键．
本题需先对每个式子进行因式分解，即可得出不含因式a+1的式子．
【解答】
解：A、∵2a2+2a=2a(a+1)，故本选项错误；
B、a2+2a+1=(a+1)2，故本选项错误；
C、a2−1=(a+1)(a−1)，故本选项错误；
D、a2+a+14=(a+12)2，故本选项正确．
故选D.
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∵EF//AD，
∴EF//BC，四边形AEFD为平行四边形，
由∵EB//CF，
∴四边形EBCF为平行四边形，
∴图中有平行四边形ABCD，平行四边形AEFD，平行四边形EBCF一共三个，
故选：C.
由四边形ABCD是平行四边形，可得出AB//CD，AD//BC，结合已知条件可得出EF//BC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形AEFD和四边形EBCF是平行四边形．
本题主要考查了利用平行四边形的判定以及性质证明，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4.【答案】A
【解析】解：∵x=−1是关于x的方程x2+ax=0的一个根，
∴(−1)2+a×(−1)=0，即1−a=0，
解得a=1，
故选：A.
将x=−1代入方程中得到关于a的方程并求解即可．
本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
根据垂直的定义得到∠ADB=∠BEC=90∘，得到∠FBD=∠CAD，证明△FDB≌△CDA，根据全等三角形的性质解答即可．
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠BEC=90∘.
∵∠FBD+∠C=∠CAD+∠C=90∘，
∴∠FBD=∠CAD.
在△FDB和△CDA中，
∠FBD=∠CAD,∠BDF=∠ADC,BF=AC,
∴△FDB≌△CDA(AAS)，
∴DB=DA，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45∘.
故选：A.
6.【答案】C
【解析】解：∵x的取值−1，分式的取值无意义，
∴x+a=0，即−1+a=0，解得a=1，则A正确，不符合题意；
∵x的取值1，分式的取值0，
∴2x−bx+a=0，即2×1−b=0，解得b=2，则B正确，不符合题意；
∵x的取值2，分式的取值c，
∴c=2×2−22+1=23，则C错误，符合题意；
∵x的取值d，分式的取值1，
∴2d−2d+1=1，解得d=3，则D正确，不符合题意；
故选：C.
根据分式方程无意义x的取值即可求得a，然后结合x的取值和分式的值逐项判断即可．
本题主要考查分式方程，解题的关键是掌握相关运算．
7.【答案】C
【解析】解：A、B、D三个选项中的图形不是平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形通过平移得到的，
故选：C.
根据平移的定义逐项分析即可．
本题主要考查平移的定义，掌握平移和旋转的特征是解题的关键．在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题动点问题的函数图象，考查学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断．解答关键是注意动点到达临界前后的图象变化.
通过点P经过四边形各个顶点，观察图象的对称趋势问题可解.
【解答】
解：C、D选项A→B→C路线都关于对角线BD对称，因而函数图象应具有对称性，故C、D错误；
对于选项B点P从A到B过程中OP的长也存在对称性，则图象前半段也应该具有对称特征，故B错误；
所以只有A正确.
故选A.
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，得4※x=4x−4−x+3=3x−1.
∴a<3x−1<8，
解得a+13∵解集中有2个整数解，
∴0≤a+13<1，
解得−1≤a<2.
故选：B.
根据m※n=mn−m−n+3，用4替换m，x替换n.再利用不等式组的整数解为1，2，故0≤a+13<1.解不等式组即可．
本题是一道有关解一元一次不等式组、定义新运算的题目，理解新定义列出不等式组是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−(n+2)x−2n2=0的两个根记作an，bn，
∴an+bn=n+2，an⋅bn=−2n2，
∴(an−2)(bn−2)=anbn−2(an+bn)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，
∴1(an−2)(bn−2)=−12(1n−1n+1)，
∴1(a1−2)(b1−2)+1(a2−2)(b2−2)+⋯+1(a2024−2)(b2024−2)
=−12×[(11−12)+(12−13)+⋯+(12024−12025)]
=−12×(1−12025)
=−10122025.
故选：C.
由根与系数的关系得an+bn=n+2，an⋅bn=−2n2，则(an−2)(bn−2)=anbn−2(an+bn)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，得到1(an−2)(bn−2)=−12(1n−1n+1)，然后代入即可求解．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，正确理解并运用一元二次方程根与系数的关系得到1(an−2)(bn−2)=−12(1n−1n+1)是解题的关键．
11.【答案】(x−3)(x+1)
【解析】解：x2−2x−3=(x−3)(x+1).
故答案为：(x−3)(x+1).
原式利用十字相乘法分解即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：圆、正六边形、正八边形都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
所以属于中心对称图形的有3个．
故答案为：3.
根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
本题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
13.【答案】2x−3
【解析】解：2x+6x2−9=2(x+3)(x+3)(x−3)=2x−3.
故答案为：2x−3.
先把分子分母因式分解，然后约去公因式(x+3)即可．
本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
14.【答案】 32
【解析】解：如图，连接AG，作AN⊥BC于N.
∵E为AH的中点，F为GH的中点，
∴EF为△AHG的中位线，
∴EF=12AG，
∴要使EF的长最小，则AG最小，
∴当AG⊥BC时，AG最小，最小值等于AN的长度，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120∘，
∴∠B=60∘，∠BAN=30∘，
∵AB=2，
∴BN=1，AN= 3，
∴AG的最小值为 3，
∴EF的最小值为：12AG= 32，
故答案为： 32.
如图，连接AG，作AN⊥BC于N.根据三角形中位线定理推出EF=12AG，得出当AG⊥BC时，AG最小，最小值等于AN的长度，再在Rt△ABN中求出AN，即可得出答案.
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、直角三角形30度角的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是添加辅助线构造三角形中位线.
15.【答案】①②③⑤
【解析】解：过B作BF⊥AE于F，如图，
∵四边形ABCD正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90∘，
∵过点A作AP的垂线交射线DP于点E，
∴∠PAE=90∘，
∵∠DAP+∠PAB=∠PAB+∠BAE，
∴∠DAP=∠BAE，
∵AE=AP，
∴△AEB≌△APD(SAS)，则①正确；
∵△AEP为等腰直角三角形，
∴∠AEB=∠APD=135∘，
则∠BEP=∠AEB−∠AEP=135∘−45∘=90∘，
∴EB⊥ED，则②正确；
在Rt△AEP中，PE= AE2+AP2= 2，
在Rt△BEP中，BE= BP2−PE2=2，
∵∠BEF=180∘−∠AEB=45∘，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF=BE 2= 2，可判断③正确；
∵S四边形AEBP=S△AEP+S△BEP=12AE⋅AP+12EP⋅BE=12+ 2，
S△AEB=12AE⋅FB=12×1× 2= 22，
∴S△APB=S四边形AEBP−S△AEB=12+ 2− 22=1+ 22，则④不正确；
∵Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2，得AB2=(1+ 2)2+( 2)2=5+2 2，
∴S正方形ABCD=5+2 2，则⑤正确．
综上，正确结论的序号是①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
过B作BF⊥AE于F，根据题意可证得△AEB≌△APD(SAS)，则①正确；即可得∠AEB=∠APD，则∠BEP=∠AEB−∠AEP=90∘，则②正确；利用勾股定理求得PE= AE2+AP2，BE= BP2−PE2，继而判定△BEF是等腰直角三角形，求得BF=BF=BE 2= 2，可判断③正确；结合S四边形AEBP=S△AEP+S△BEP，S△AEB=12AE⋅FB，则S△APB=S四边形AEBP−S△AEB，则④不正确；AB2=AF2+BF2，得AB2=(1+ 2)2+( 2)2=5+2 2，则S正方形ABCD=5+2 2，则⑤正确．
本题考查正方形性质等，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
16.【答案】解：(1)x2−6x−1=0
∵a=1，b=−6，c=−1，
∴Δ=36−4×1×(−1)=40>0，
∴x=6± 402=6±2 102=3± 10；
(2){2x−5<0①1−x<2x②，
解不等式①得x<52，
解不等式②得x>13，
所以不等式组的解集是：13【解析】(1)用公式法解一元二次方程即可．
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题主要考查了解一元二次方程以及解一元一次不等式方程组．熟练掌握公式法解一元二次方程是关键．
17.【答案】解：(1)m2(x−y)+4n2(y−x)
=(x−y)(m2−4n2)
=(x−y)(m+2n)(m−2n)；
(2)(3xx−1+xx+1)⋅x2−1x
=3xx−1⋅(x−1)(x+1)x+xx+1⋅(x−1)(x+1)x
=3(x+1)+x−1
=4x+2，
当x= 2−2时，
原式=4( 2−2)+2=4 2−6.
【解析】(1)综合运用提公因式法以及公式法分解因式即可．
(2)先计算分式乘法，然后去括号合并同类项，最后代入数值计算即可．
本题主要考查了运用公式法分解因式以及分式的化简求值，掌握相应的运算法则是关键．
18.【答案】证明：(1)∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE；
(2)在Rt△AED和Rt△AFD中
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，
而DE=DF，
∴AD垂直平分EF.
【解析】(1)先利用角平分线的性质得DE=DF，则根据等腰三角形的性质得∠DEF=∠DFE；
(2)先利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定方法和线段垂直平分线的判定．
19.【答案】(1,0)
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△DE1F1即为所求；
(3)∵△A1B1C1与△DE1F1关于平面内一点M成中心对称，A1(−1,3)，D(3,−3)，
∴M(−1+32,3−32)，即M(1,0).
故答案为：M(1,0).
(1)根据所给平移方式结合“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点A1、B1、C1的坐标，然后描出A1、B1、C1，最后顺次连接A1、B1、C1即可；
(2)根据所给平移方式结合网格的特点找到E、F对应点E1、F1的位置，再顺次连接D、E1、F1即可；
(3)根据中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心进行求解即可．
本题主要考查了作图-平移变换，中心对称，作图-旋转变换，解答本题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20.【答案】(1)证明：∵M，E分别为PD，CD的中点，
∴ME//PC，
同理可证：ME//PD，
∴四边形PMEN为平行四边形；
(2)解：当PA=5时，四边形PMEN为菱形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90∘，AD=BC，
∵AP=5，AB=CD=10，
∴AP=BP，
在△APD和△BPC中，
AP=BP，∠A=∠B，AD=BC，
∴△APD≌△BPC(SAS)，
∴PD=PC，
∵M，N，E分别是PD，PC，CD的中点，
∴EN=PM=12PD，PN=EM=12PC，
∴PM=EM=EN=PN，
∴四边形PMEN是菱形．
【解析】(1)用三角形的中位线定理证明四边形PMEN的两组对边分别平行；
(2)由(1)得四边形PMEN是平行四边形，只需证PM=PN，即PC=PD，故要证△APD≌△BPC.
本题考查了平行四边形，菱形的判定和矩形的性质，三角形的中位定理反应了两条线段之间的数量关系与位置关系，所以，当题中有多个中点时，常常考虑用三角形的中位线来解题．
21.【答案】解：(1)根据题意可得：日销售量p(盏)与时间x(天)之间的函数关系式为：p=80−8(x−25)=−8x+280
(2)p=−8x+280≥60，
解得x≤27.5，
所以台灯的售价不能超过27.5元；
(3)根据题意列方程：(30⋅a10−20)⋅80⋅(1+10a)=450⋅a5，
整理得：15a2+80a−1600=0.
解得a=8或−403(舍去).
【解析】(1)根据题意列出日销售量P与x之间的函数关系式即可．
(2)根据(1)的一次函数关系式列出关于x的一元一次不等式求解即可．
(3)根据题意列出关于a的二元一次方程求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
22.【答案】3− 36或 3−12
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC=45∘，
在△PAD和△PAB中，
AD=AB∠DAC=∠BACAP=AP，
∴△PAD≌△PAB(SAS)；
(2)解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=90∘；
过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45∘，∠DAB=90∘，
∴PM=PN，
∴四边形AMPN是正方形，
∴∠MPN=90∘，
∵PD=PQ，PM=PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，
∴∠DPN=∠QPM，
∵∠QPN+∠QPM=90∘，
∴∠QPN+∠DPN=90∘，
即∠DPQ=90∘；
(3)解：∵射线DP是∠ADC的三等分线，
∴∠CDP=60∘或30∘，
当∠CDP=60∘时，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，如图2，
则∠DEP=∠PFQ=90∘，四边形DEFA为矩形，
∴∠DPE+∠PDE=90∘，DE=AF，AD=EF，
∵∠DPQ=90∘，
∴∠DPE+∠QPF=90∘，
∴∠QPF=∠PDE，
∵DP=QP，
∴△QPF≌△PDE(AAS)，
∴EP=QF，
设DE=x，
∵∠CDP=60∘，
∴DP=2x，EP= 3x，
∴AQ=QF−AF= 3x−x，QB=AB+QA=AD+AQ=EP+PF+AQ= 3x+x+ 3x−x=2 3x，
则AQBQ= 3x−x2 3x=3− 36；
当∠CDP=30∘，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，如图3，
设DE=x，同理可得AQ=QF−AF= 3x−x，QB=AB−QA=AD−AQ=EP+PF−AQ= 3x+x−( 3x−x)=2x，
则AQBQ= 3−12.
故当AQBQ=3− 36或 3−12时，射线DP是∠ADC的三等分线，
故答案为：3− 36或 3−12.
(1)根据题意得AD=AB，∠DAC=∠BAC=45∘，即可证明△PAD≌△PAB；
(2)过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，即可证得四边形AMPN是正方形，继而得到Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，有∠DPN=∠QPM，即可判定∠QPN+∠DPN=90∘，则∠DPQ=90∘；
(3)根据题意得∠CDP=60∘或30∘，当∠CDP=60∘时，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，则∠DEP=∠PFQ=90∘，四边形DEFA为矩形，证明△QPF≌△PDE(AAS)，有EP=QF，设DE=x，则DP=2x，EP= 3x，求得AQ=QF−AF和QB=AB+QA=AD+AQ=EP+PF+AQ，即可得到AQBQ；当∠CDP=30∘，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，设DE=x，同理可得AQ=QF−AFQB=AB−QA=AD−AQ，即可求得AQBQ.
本题主要考查正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是找到全等三角形，x的取值
−1
1
2
d
分式的取值
无意义
0
c
1