统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练7二次函数与幂函数理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练7二次函数与幂函数理，共5页。


[基础强化]
一、选择题
1．[2023·广西高三大联考] 若f (x)是幂函数，且满足 eq \f(f（4）,f（2）)＝3，则f( eq \f(1,2))等于( )
A．3 B．－3
C． eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,3)
2．[2023·江西科技学院附属中学高三月考]函数f(x)＝|4－x|·(x－1)在( )上单调递增．
A．( eq \f(5,2)，4) B．(1，4)
C．(－∞，4) D．(－∞， eq \f(5,2))，(4，＋∞)
3．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或m＝2 D．m≠ eq \f(1±\r(5),2)
4．如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a满足的条件是( )
A．a≥8 B．a≤8
C．a≥4 D．a≥－4
5．[2023·北京昌平二模]已知函数f(x)＝ax2－4ax＋2(a<0)，则关于x的不等式f(x)>lg2x的解集是( )
A．(－∞，4) B．(0，1)
C．(0，4) D．(4，＋∞)
6．[2023·重庆联考模拟]已知二次函数y＝x2－4x＋a的两个零点都在区间(1，＋∞)内，则a的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(3，＋∞)
C．(3，4) D．(－∞，3)
7．已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，则 eq \f(9,a)＋ eq \f(1,c)的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
8．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－ eq \r(2))
B．(－ eq \r(2)，0)
C．(－∞，0)∪( eq \r(2)，＋∞)
D．(－∞，－ eq \r(2))∪( eq \r(2)，＋∞)
二、填空题
10．已知a∈{－2，－1，－ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________.
11．已知幂函数f(x)＝ (k∈N*)满足f(2)12．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.
[能力提升]
13．[2023·辽宁三模]函数f(x)＝4tan (π－x)－ eq \f(1,cs2x)的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
14．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
15．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，则f(x)的解析式为f(x)＝________.
16．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围是________.
专练7 二次函数与幂函数
1．C 设f (x)＝xα，则 eq \f(4α,2α)＝2α＝3，
∴f( eq \f(1,2))＝( eq \f(1,2))α＝ eq \f(1,3).
2．D 依题意，f(x)＝|4－x|·(x－1)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（4－x）（x－1），x<4,（x－4）（x－1），x≥4))，
作出函数f(x)的大致图像如图所示；
观察可知，函数f(x)在(－∞， eq \f(5,2))，(4，＋∞)上单调递增，在( eq \f(5,2)，4)上单调递减．
3．A 因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是在(0，＋∞)上的减函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1，,－5m－3<0，))解得m＝2.
4．A 函数图像的对称轴为x＝ eq \f(a,2)，由题意得 eq \f(a,2)≥4，解得a≥8.故选A.
5．C 由题设，f(x)对称轴为x＝2且图像开口向下，则f(x)在(0，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，
由f(x)＝ax2－4ax＋2＝ax(x－4)＋2，即f(x)恒过(4，2)且f(0)＝2，
所以在(0，4)上f(x)>2，(4，＋∞)上f(x)<2，
而y＝lg2x在(0，＋∞)上递增，且在(0，4)上y<2，在(4，＋∞)上y>2，
所以f(x)>lg2x的解集为(0，4).
6．C 二次函数y＝x2－4x＋a，对称轴为x＝2，开口向上，
在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
要使二次函数f(x)＝x2－4x＋a的两个零点都在区间(1，＋∞)内，
需 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（1）＝1－4＋a>0,f（2）＝4－8＋a<0))，解得3故实数a的取值范围是(3，4).
7．B 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4－4ac＝0，))
∴ac＝1，又a>0，∴c>0.
∴ eq \f(9,a)＋ eq \f(1,c)≥2 eq \r(\f(9,ac))＝6(当且仅当 eq \f(9,a)＝ eq \f(1,c)，即a＝3，c＝ eq \f(1,3)时等号成立).
8．A ∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故选A.
9．A 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，
∴f(x)＝x3(x∈R)，
易知f(x)在R上是增函数，
结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，
知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝16－8m2<0))⇒m∈(－∞，－ eq \r(2))，故选A.
10．－1
11．f(x)＝x2
解析：幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)0，∴－112. eq \f(36,5)
解析：设g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由题意知g(x)≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g(x)＝0的一个根，即g(5)＝0，可以解得k＝ eq \f(36,5)(经检验满足题意).
13．B f(x)＝－4tan x－ eq \f(sin2x＋cs2x,cs2x)＝－tan2x－4tanx－1＝－(tan x＋2)2＋3，
当tan x＝－2时，f(x)取得最大值，且最大值为3.
14．B 因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，
即b2>4ac，①正确．
对称轴为x＝－1，即－ eq \f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，②错误．
结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a15．－4x2＋4x＋7
解析：设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，
∴f(x)的对称轴为x＝ eq \f(2－1,2)＝ eq \f(1,2)，∴m＝ eq \f(1,2).
又f(x)max＝8，∴n＝8，又f(2)＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋8＝－1，
得a＝－4，∴f(x)＝－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.
16. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析：由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1，4)，得a>－ eq \f(2,x2)＋ eq \f(2,x)在(1，4)上恒成立．令g(x)＝－ eq \f(2,x2)＋ eq \f(2,x)＝－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1,2)，因为 eq \f(1,x)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，所以g(x)max＝g(2)＝ eq \f(1,2)，所以要使f(x)>0在(1，4)上恒成立，只要a> eq \f(1,2)即可，故实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).