2025届高考数学一轮复习专练20 导数的函数零点问题（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练20 导数的函数零点问题（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了已知函数f=13x3-a等内容，欢迎下载使用。

1.(10分)(2023·陇南联考)已知函数f(x)=x+1ex-a(a∈R),讨论f(x)的零点个数.
【解题指南】令f(x)=0,可得a=x+1ex,令g(x)=x+1ex,利用导数的方法研究其单调性及最值,从而讨论a的取值范围,进而得到函数零点的个数.
【解析】令f(x)=x+1ex-a=0,得a=x+1ex.
设g(x)=x+1ex,则g'(x)=ex-(x+1)ex(ex)2=-xex,
当x>0时,g'(x)<0,当x<0时,g'(x)>0,
所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(0)=1,
而当x>-1时,g(x)>0;当x<-1时,g(x)<0.当x→-∞时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)→0,
所以g(x)的大致图象如图所示.
①当a>1时,方程g(x)=a无解,即f(x)没有零点;
②当a=1时,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零点;
③当0④当a≤0时,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零点.
综上,当a>1时,f(x)没有零点;当a=1或a≤0时,f(x)有唯一的零点;
当0【加练备选】
已知函数f(x)=cs x+xsin x.
(1)讨论f(x)在[-2π,2π]上的单调性;
(2)求函数g(x)=f(x)-14x2-1零点的个数.
【解析】(1)因为f(-x)=cs(-x)-xsin(-x)=cs x+xsin x=f(x),x∈R,所以f(x)是R上的偶函数,也是[-2π,2π]上的偶函数.f'(x)=xcs x,当x∈[0,2π]时,令f'(x)>0,得0综上所述,f(x)在[-2π,-3π2], [-π2,0)和(π2,3π2)上单调递减,在(-3π2,-π2), [0,π2]和[3π2,2π]上单调递增.
(2)由(1)得g(-x)=f(-x)-14(-x)2-1=g(x),所以g(x)是R上的偶函数.g'(x)=x(cs x-12),
①当x∈[0,2π]时,令g'(x)>0,得0(0,π3)和(5π3,2π)上单调递增,在(π3,5π3)上单调递减.因为g(π3)>g(0)=0,g(5π3)=5π3×
(-32)-14×(5π3)2-12<0,g(2π)=-π2<0,所以∃x0∈(π3,5π3),使得g(x0)=0,所以g(x)在[0,2π]上有两个零点.
②当x∈(2π,+∞)时,g(x)=cs x+xsin x-14x2-12.(10分)已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1).
(1)若a=3,求f(x)的单调区间;
(2)证明:f(x)只有一个零点.
【解析】(1)当a=3时,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3.
令f'(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.
当x∈(-∞,3-23)∪(3+23,+∞)时,f'(x)>0;
当x∈(3-23,3+23)时,f'(x)<0.
故f(x)的单调递增区间为(-∞,3-23),(3+23,+∞),单调递减区间为(3-23,3+23).
(2)因为x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.
设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g'(x)= x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2≥0,
当且仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6(a-16)2-16<0,f(3a+1)=13>0,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
3.(10分)(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=xaax(x>0).
(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=2时,f(x)=x22x(x>0),
f'(x)=x(2-xln2)2x(x>0),
令f'(x)>0,得0令f'(x)<0,得x>2ln2,此时函数f(x)单调递减,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2ln2),单调递减区间为(2ln2,+∞).
(2)曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,可转化为方程xaax=1,即xa=ax(x>0)有两个不同的解,即方程lnxx=lnaa有两个不同的解.
设g(x)=lnxx(x>0),则g'(x)=1-lnxx2(x>0),令g'(x)=1-lnxx2=0,得x=e,
当00,函数g(x)单调递增,
当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,
故g(x)max=g(e)=1e,又g(1)=0,当x>e时,g(x)∈(0,1e),
所以0e,
即a的取值范围为(1,e)∪(e,+∞).
【加练备选】
函数f(x)=ax+xln x在x=1处取得极值.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若y=f(x)-m-1在定义域内有两个不同的零点,求实数m的取值范围.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a+ln x+1,
由f'(1)=a+1=0,解得a=-1,则f(x)=-x+xln x,
所以f'(x)=ln x,令f'(x)>0,解得x>1;令f'(x)<0,解得0所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
(2)y=f(x)-m-1在(0,+∞)内有两个不同的零点,
则函数y=f(x)与y=m+1的图象在(0,+∞)内有两个不同的交点.由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=-1,f(e)=0,作出f(x)图象如图.
由图可知,当-1因此实数m的取值范围是(-2,-1).
4.(10分)(2023·南通模拟)已知函数f(x)=xex,g(x)=lnxx.
(1)求f(x)和g(x)的极值;
(2)证明:存在直线y=a,其与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【解析】(1)f'(x)=1-xex,当x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以当x=1时,f(x)取得极大值1e,无极小值.g'(x)=1-lnxx2,当00,当x>e时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以当x=e时,g(x)取得极大值1e,无极小值.
(2)当直线y=a过两个函数图象的交点时,满足题意,设交点为A(x2,a),
直线y=a与f(x)在A的左边交点为P(x1,a),与g(x)在A的右边交点为Q(x3,a),
由(1)知0所以f(x1)=f(ln x2),又x1<1,ln x2所以x1=ln x2,所以x2x1=x2ln x2=1a.又a=x2ex2=ln x3x3=ln x3eln x3,所以f(x2)=f(ln x3),
又x2>1,ln x3>ln e=1,且f(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以x2=ln x3,则x3x2=x3ln x3=1a,所以x3x2=x2x1=1a,即x1,x2,x3成等比数列.