2025年高考数学一轮复习-3.7.1-函数的零点与方程的解、二分法【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-3.7.1-函数的零点与方程的解、二分法【课件】，共53页。PPT课件主要包含了命题说明，必备知识·逐点夯实，fx0，fafb0，fc0，一分为二，核心考点·分类突破等内容，欢迎下载使用。

【课标解读】【课程标准】1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解.【核心素养】数学抽象、逻辑推理、直观想象.
知识梳理·归纳1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y=f(x),我们把使_______的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有______⇔函数y=f(x)的图象与_____有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有__________,那么,函数y=f(x)在区间_____内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得_______,这个c也就是方程f(x)=0的解.
微点拨 函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且__________的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间__________,使所得区间的两个端点逐步逼近______,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
常用结论 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点.
基础诊断·自测1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)=2x的零点为0.(　 　)(2)函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点.(　 　)(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　 　)(4)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(　 　)
2.(必修一P144T2·变形式)函数f(x)=lg2x+x-2的零点所在的区间为(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)=0在(0,+∞)上只有一个根,且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2).
考点一函数零点所在区间的判定1.函数f(x)=ex+2x-6的零点所在的区间是(　　)A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)【解析】选C.函数f(x)=ex+2x-6是R上的连续增函数,因为f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,可得f(1)f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).
2.方程ln x=4-2x的根所在的区间是(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.令f(x)=ln x+2x-4,显然f(x)=ln x+2x-4在(0,+∞)上单调递增,又因为f(1)=2-4=-2<0,f(2)=ln 2+4-4=ln 2>0,由零点存在定理可知f(x)=ln x+2x-4的零点所在的区间为(1,2),所以ln x=4-2x的根所在的区间为(1,2).
4.(2023·太原模拟)利用二分法求方程lg3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选C.设f(x)=lg3x-3+x,易知f(x)是(0,+∞)上的连续增函数,当x→0+时,f(x)→-∞,f(1)=-2,又f(2)=lg32-1<0,f(3)=lg33-3+3=1>0,故f(2)f(3)<0,故方程lg3x=3-x在区间(2,3)上有解,即利用二分法求方程lg3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是(2,3).
5.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为　　　　(精确度为0.01). 【解析】注意到f(1.556 2)≈-0.029和f(1.562 5)≈0.003,显然f(1.556 2)f(1.562 5)<0,又|1.556 2-1.562 5|=0.006 3<0.01,所以近似解可取1.56.
解题技法确定函数零点所在区间的常用方法(1)定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
考点二函数零点个数的判定[例1](1)(一题多法)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)A.0B.1C.2D.3【解析】选B.方法一:因为f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.方法二:设y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
(3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 024x+lg2 024x,则函数f(x)的零点个数是(　　)A.1B.2C.3D.4【解析】选C.作出函数y=2 024x和y=-lg2 024x的图象如图所示,可知函数f(x)=2 024x+lg2 024x在x∈(0,+∞)上只有一个零点,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在x∈(-∞,0)上只有一个零点,又f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数是3.
解题技法函数零点个数的判断方法(1)直接求零点:令f(x)=0,有几个解就有几个零点.(2)函数零点存在定理:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.(3)利用图象交点个数:作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.
考点三函数零点的应用考情提示函数的零点问题充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰富的数形结合思想,因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点,且形式逐渐多样化,各种题型均可考查.
(-1,0)∪[1,4)
解题技法　已知函数零点(方程根)的个数,求参数取值范围的常用的方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.一是转化为两个函数y=g(x),y=h(x)的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为y=a,y=g(x)的图象的交点个数问题.
解题技法　利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法(1)利用零点存在定理构建不等式(组)求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题,从而构建不等式(组)求解.
重难突破 复合函数的零点、方程的根的综合【本质】复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和化归转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点.【常见方法】先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.
由图象可知,直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点.综上,函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5.
解题技法　求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t被几个x对应,将x的个数汇总后即为y=f(g(x))的根的个数,即“从外到内”.
解题技法已知复合函数y=f(g(x))零点的个数,求参数的取值范围的问题的方法(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由零点个数结合t=g(x)与y=f(t)的图象特点,从而确定t的取值范围,进而决定参数的范围,即“从内到外”.此法称为双图象法(换元法+数形结合).