2023-2024学年浙江省金华市浦江县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年浙江省金华市浦江县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式是最简二次根式的是( )
A. 16B. 13C. 8D. 10
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. x+2y=1B. x2−2xy=0C. x2+12x=3D. x2−2x+3=0
3.将函数y=x2的图象向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( )
A. y=(x−1)2B. y=x2−1C. y=(x+1)2D. y=x2+1
4.剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x−(单位：环)及方差S2(单位：环 2)如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.用配方法解一元二次方程x2−4x−6=0时，配方后的方程是( )
A. (x+2)2=2B. (x−2)2=2C. (x+2)2=10D. (x−2)2=10
7.小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系.以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线垂直
C. 对角线与一边夹角45∘D. 对角线相等
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC=8，BD=6，则PE+PF的值为( )
A. 65
B. 125
C. 245
D. 485
9.点A(−4,y1)，B(−2,y2)，C(1,y3)，D(4,y4)是二次函数y=−2x2−4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是( )
A. 若y1y2>0，则y3y4>0B. 若y1y4>0，则y2y3>0
C. 若y3y4<0，则y1y2<0D. 若y2y3<0，则y1y4>0
10.如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点H在边CD上，若已知三角形DGH的周长，则可以求出下列哪个数据( )
A. 三角形HFC的周长
B. 三角形IEG的周长
C. 三角形DGH的面积
D. 正方形ABCD的面积
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次根式 2x+1有意义的条件是______.
12.一个多边形的内角和是720∘，这个多边形的边数是______.
13.如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是5，则另一组数据x1+5，x2+5，…，xn+5的方差是______.
14.已知二次函数y=x2+2x+4a−7的图象与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是______.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，BE=DF，过点D作DG垂直AE交FC于点P，连接BP，若直线DG恰好经过AB的中点，则BP=______.
16.点A是反比例函数y=6x(x>0)图象上一点，过点A作x轴、y轴的平行线，交反比例函数y=kx(k<0)的图象于B，C两点，连接BC，若S△BOC=83，则k=______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1) 8− 2；
(2) 48÷ 3+(2+ 3)×(2− 3).
18.(本小题6分)
解方程：
(1)(x−2)2=16；
(2)x2−2x−8=0.
19.(本小题8分)
为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长(单位：小时)进行统计：
七年级：7，6，8，7，4，7，6，10，7，8.
八年级：6，8，8，5，5，8，8，8，7，7.
整理如下：
(1)填空：a=______，b=______，c=______；
(2)甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
(3)结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由.
20.(本小题8分)
在四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过C作CE⊥AC，交AD延长线于点E.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若EC=6，AC=8，求四边形ABCD的面积.
21.(本小题10分)
如图，已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx的图象在第一、三象限分别交于A(6,1)，B(a,−3)两点，连接OA，OB.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出y1>y2时，x的取值范围.
22.(本小题10分)
问题背景：某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.
(1)设售价降低x元，请用含x的代数式表示月销售量y(台)与每月所获得的利润w(元).
(2)当售价定为多少元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w(元)最大，最大利润是多少？
23.(本小题12分)
(1)如图1，直线l1//l2，点A，B在直线l2上，点C，D在直线l1上，直接写出△ABC和△ABD的面积关系.
(2)把图2的四边形ABCD改成一个以AB为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹.
(3)如图3，在△ABC中，E、F分别是AC、BC上任意一点，连接AF、BE，M、N分别是AF、BE的中点，求证：S△CMN=S酒边形EMNF.
24.(本小题12分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=6 3，AC与BD相交于点O，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且线段EF经过点O.
(1)如图1，求证：AE=CF.
(2)如图2，将矩形ABCD沿EF折叠，点A′，B′分别是点A与点B的对应点.
①若FB′⊥BC，求BF的长度.
②连接BA′，BB′，直接写出△BA′B′面积的最大值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 16=4，故A不符合题意；
B、 13= 33，故B不符合题意；
C、 8=2 2，故C不符合题意；
D、 10是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D.
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、方程x+2y=1，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不合题意；
B、方程x2−2xy=0，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
C、方程x2+12x=3，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
D、方程x2−2x+3=0，是一元二次方程，符合题意．
故选：D.
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，即可判断求解．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：将函数y=x2的图象向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y=(x−1)2.
故选：A.
根据函数图象平移的法则解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A.是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A.
根据轴对称与中心对称图形的概念求解即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，中心对称图形关键是对称中心
5.【答案】D
【解析】解：由表知甲、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙、丙的平均数，
∴从甲、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴丁发挥稳定，
∴选择丁参加比赛．
故选：D.
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6.【答案】D
【解析】解：x2−4x−6=0，
x2−4x=6，
x2−4x+4=6+4，
(x−2)2=10，
故选：D.
利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：对角线互相平分的平行四边形不一定是矩形，故A错误，符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B正确，不符合题意；
如图，矩形ABCD中，∠BAC=45∘，
∵∠B=90∘，
∴∠BCA=∠BAC=45∘，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，故C选项正确，不符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，故D选项正确，不符合题意，
故选：A.
对角线相等的平行四边形不一定是矩形，可判断A符合题意；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断B不符合题意；设矩形ABCD中，∠BAC=45∘，则∠BCA=∠BAC=45∘，所以AB=BC，则四边形ABCD是正方形，可判断C不符合题意；由对角线相等的菱形是正方形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形及特殊的平行四边形的定义和判定定理，正确理解平行四边形与特殊的平行四边形之间的联系与区别是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：过P作PM⊥CD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD//AB，AC⊥BD，OA=12AC，OB=12BD，AC平分∠BCD，
∵PF⊥BC于F，
∴PF=PM，
∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD//AB，
∴P、E、M共线，
∴PE+PF=PE+PM=ME，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=12×8=4，OB=12×6=3，
∴AB= OA2+OB2=5，
∵菱形ABCD的面积=AB⋅EM=12AC⋅BD，
∴5EM=12×6×8，
∴EM=245.
∴PE+PF的值为245.
故选：C.
过P作PM⊥CD于M，由菱形的性质推出CD//AB，AC⊥BD，OA=12AC，OB=12BD，AC平分∠BCD，由角平分线的性质推出PF=PM，由PE⊥AB于，PM⊥CD，CD//AB，得到P、E、M共线，因此PE+PF=ME，由勾股定理求出AB= OA2+OB2=5，由菱形的面积公式得到AB⋅EM=12AC⋅BD，即可求出EM=245，得到PE+PF的值．
本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过P作PM⊥CD于M，证明PE+PF=ME，由菱形的面积公式求出EM的长．
9.【答案】D
【解析】解：∵y=−2x2−4x+c+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−42×(−2)=−1，
∴A(−4,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，B(−2,y2)关于对称轴的对称点为B(0,y2)，
∵0<1<2<4，且当x>1时，y随x的增大而减小，
∴y2>y3>y1>y4，
A.若y1y2>0，
则y1，y2，y3同号，
则y4可能与它们同号，也可能异号
则y3y4>0或y3y4<0，故本选项不符合题意；
B.若y1y4>0，
则y2y3同号或者y2y3异号，
故本选项不符合题意；
C.若y3y4<0，
则y4<0，y3>0，
则y2>0，y1>0或y1<0，
故本选项不符合题意；
D.若y2y3<0，
则y2>0，y3<0，
则y1<0，y4<0，
则y1y4>0.
故本选项符合题意．
故选：D.
根据函数的表达式可得抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−42×(−2)=−1，再根据函数的单调性得知，y2>y3>y1>y4，接着判断每个选项即可得出答案．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过点B作BN⊥GH于N，连接BG，
∴∠BNH=∠BNG=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90∘，BC=AB=AD=CD，
由折叠知：BF=HF，∠FHG=∠ABC=90∘，
∴∠FBH=∠FHB，
∵∠FBH+∠BHC=∠FHB+∠BHN=90∘，
∴∠BHN=∠BHC，
∵BNH=∠BCH=90∘，BH=BH，
∴△BNH≌△BHC(AAS)，
∴BN=BC，NH=HC，
∴AB=BN，
∵BG=BG，
∴Rt△ABG≌Rt△NBG(HL)，
∴AG=GN，
∴GH=GN+NH=AG+CH，
∴△DGH的周长=DG+GH+DH=DG+AG+CH+DH=AD+CD=2AD，
当△DGH的周长已知时，
则可求出正方形边长，
因此可求正方形ABCD的面积，
因为有折叠不能得出E，F的位置，从而也无法确定G，H的位置，所以没有办法求出三角形IEG的周长、三角形HFC的周长、三角形DGH的面积，所以A，B，C错误，
故选：D.
过点B作BN⊥GH于N，连接BG，根据翻折的性质证明△BNH≌△BHC(AAS)，得BN=BC，NH=HC，再证明Rt△ABG≌Rt△NBG(HL)，得AG=GN，所以△DGH的周长=DG+GH+DH=DG+AG+CH+DH=AD+CD=2AD，当△DGH的周长已知时，则可求出正方形边长，因此可求正方形ABCD的面积，进而可以解决问题．
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的周长，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
11.【答案】x≥−12
【解析】解：根据二次根式有意义，得：2x+1≥0，
解得：x≥−12.
故答案为x≥−12.
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义，则被开方数不小于0，此题比较简单．
12.【答案】六
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和定理即n边形的内角和为(n−2)⋅180∘，难度较易．根据n边形的内角和(n−2)⋅180∘即可求得．
【解答】
解：∵n边形的内角和为(n−2)⋅180∘，
∴(n−2)×180∘=720∘，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是六．
故答案为六．
13.【答案】5
【解析】解：∵数据x1，x2，…，xn的方差是5，
∴x1+5，x2+5，…，xn+5的方差不变，还是5；
故答案为：5.
因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了5，所以波动不会变，方差不变．
此题考查了方差，当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变．
14.【答案】a<2
【解析】解：∵二次函数y=x2+2x+4a−7的图象与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=22−4(4a−7)=4−16a+28>0，
解得a<2.
故答案为：a<2.
由二次函数与x轴交点情况，可知Δ>0.
本题考查抛物线与x轴的交点，明二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90∘，
延长DG交AB于点H，
∵直线DG恰好经过AB的中点，
∴H为AB中点，
∴AH=BH=12AB=32，
∵∠BAE+∠DAG=90∘，∠DAG+∠ADG=90∘，
∴∠BAE=∠ADG.即∠BAG=∠ADH，
∵∠ABE=∠DAH，
∴△ABE∽△DAH，
∴ABDA=BEAH，
∴34=BE32，
∴BE=98，
从而DF=98，
∴AF=AD−DF=238，
以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B(0,0)，C(4,0)，H(0,32)，D(4,3)，A(0,3)，F(238,3).
设直线DH的解析式为y=k1x+b1(k1≠0)，
将D(4,3)H(0,32)代入上式，
解得：k1=38，b1=32，
∴直线DH的解析式为y=38x+32，
设直线CF的解析式为y=k2x+b2(k2≠0)，
将C(4,0)，F(238,3)代入上式，
解得：k2=−83，b2=323，
∴直线CF的解析式为y=−83x+323，
联立方程组y=38x+32y=−83x+323，
消去y得：38x+32=−83x+323，
∴7324x=556，
解得：x=22073，
从而y=38×22073+32=19273，
∴P(22073,19273)，
过点P做PM⊥BC于点M，
则BM=22073，PM=19273，
∴BP= BM2+PM2= 852645329= 16=4，
故答案为：4.
延长DG交AB于点H，证明△ABE∽△DAH，求出AF，以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出直线DH和CF的解析式，联立方程组求P坐标，过点P做PM⊥BC于点M，进而求解．
本题考查了矩形的性质和全等三角形的判断，解题关键在于读懂题意，作图求解．
16.【答案】−2或−2 17
【解析】解：如图1所示：①当丨k丨<6时，
设点B的坐标为(m,km)，则A(m,6m)，C(mk6,6m)，
∴S△ABC=12×AC⋅AB=12×(m−mk6)⋅(6m−km)=(6−k)212，
∵点BC在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，
∴S四边形ABOC=−k+6，
∵S△COB=83=S四边形ABOC−S△ABC=−k+6−(6−k)212，
整理得：(6−k)2−12(6−k)+32=0
解得：6−k=4或6−k=8，
k=2(舍去)或k=−2.
②如图2，丨k丨>6时，
∵S△BOC=83，
∴S四边形ABOC+S△BOC=S△ABC，即−k+6+83=(6−k)212，
解得：k=±2 17，
∵k<0，
∴k=−2 17，
综上分析，k=−2或−2 17.
故答案为：−2或−2 17.
设点B的坐标为(m,km)，则A(m,6m)，C(mk6,6m)，可得S△ABC=(6−k)212，分两种情况讨论①当丨k丨<6时，利用k值几何意义可得S四边形ABOC=−k+6，由此建立方程=−k+6−(6−k)212=83，整理解得到k值．②如图2，丨k丨>6时，利用S四边形ABOC+S△BOC=S△ABC，即−k+6+83=(6−k)212，求出k值即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数的图象、反比例函数图象上点的坐标特征，利用面积建立关于k的方程是关键．
17.【答案】解：(1)原式=2 2− 2
= 2；
(2)原式= 16+22−( 3)2
=4+4−3
=5.
【解析】(1)先化简二次根式，再计算减法即可；
(2)先计算二次根式的除法、利用平方差公式边形，再进一步计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的性质．
18.【答案】解：(1)(x−2)2=16，
∴x−2=±4，
∴x1=−2，x2=6；
(2)x2−2x−8=0，
(x+2)(x−4)=0，
∴x+2=0或x−4=0，
∴x1=−2，x2=4.
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
19.【答案】7.581.4
【解析】解：(1)把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，8，
所以中位数为a=7+82=7.5，众数b=8，
方差c=110×[2×(5−7)2+(6−7)2+2×(7−7)2+5×(8−7)2]=1.4；
故答案为：7.5，8，1.4；
(2)甲的说法不对，
理由：八年级的中位数7.5大于7.2，所以甲位于年级中下水平；
(3)八年级的阅读情况较好，
理由：因为七、八年级的平均数相等，但是八年级的中位数、众数都大于七年级的，方差小于七年级的方差，所以八年级的阅读情况较好．
(1)根据中位数、众数和方差的定义即可求出答案；
(2)根据中位数的定义即可求出答案；
(3)两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：由(1)可知，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵CE⊥AC，
∴CE//BD，
∵AD//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BD=EC=6，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×8×6=24.
【解析】(1)证明四边形ABCD是平行四边形，∠ADB=∠CBD，再证明∠ADB=∠ABD，得AD=AB，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得AC⊥BD，再证明四边形BCED是平行四边形，则BD=EC=6，然后由菱形面积公式列式计算即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)把A(6,1)代入y2=mx中，
解得：m=6，
故反比例函数的解析式为y2=6x；
把B(a,−3)代入y2=6x，解得a=−2，
故B(−2,−3)，
把A(6,1)，B(−2,−3)代入y1=kx+b，
得6k+b=1−2k+b=−3，解得：k=12b=−2，
故一次函数解析式为y1=12x−2；
(2)如图，设一次函数y1=12x−2与x轴交于点C，
令y=0，得x=4.
∴点C的坐标是(4,0)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×4×1+12×4×3=8.
故答案为：8；
(3)由图象可知，当−2≤x<0或x≥6时，y1≥y2，
所以y1>y2时x的取值范围是−26.
【解析】(1)首先把A(6,1)代入反比例函数解析式中确定m，然后把B(a,−3)代入反比例函数的解析式确定a，然后根据A，B两点坐标利用待定系数法确定一次函数的解析式；
(2)求得一次函数与x轴的交点，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求解；
(3)根据图象，求出自变量的取值范围即可．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想．
22.【答案】解：(1)根据题意得：y=5x+200，
∴w=(400−x−200)(5x+200)，
整理得：w=−5x2+800x+40000；
(2)由题意得：400−x≥3305x+200≥450，
解得：50≤x≤70，
∵w=−5x2+800x+40000=−5(x−80)2+72000，a=−5<0，
∴w为开口向下的抛物线，且对称轴为直线x=80，在对称轴x=80的左侧，w随x的增大而增大，
∴当x=70时，Wmax=71500，
则售价为330元时，利润最大为71500元．
【解析】(1)根据售价每降低1元，就可多售出5台，由题意表示出y与x的关系式，再由每台的利润=(售价-降价-进价)表示出每台的利润，由每台的利润×数量即可表示出总利润w；
(2)根据这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务列出不等式组，求出不等式组的解集确定出x的范围，由w与x的二次函数，且开口向下，在对称轴的左侧w随x的增大而增大，可得出当x最大时，w最大，求出w的最大值即可．
此题考查了二次函数的应用，解一元一次不等式组，二次函数的图象与性质，弄清题意是解本题的关键．
23.【答案】(1)解：∵l1//l2，它们AB边上的高线长都等于l1与l2之间的距离，
∴S△ABC=S△ABD；
(2)解：如图，ABE即为所求(作法不唯一).
∵CE//BD，
∴S△BDC=S△BDE，
∴S△ABE=S四边形ABCD.
(3)证明：如图，取EF的中点D，连接CD，DM，DN.
∵N是BF的中点，M是AE的中点，
∴DN//BF，DM//AE，
∴S△CDN=S△FDN，S△CDM=SEDM，
∴S△CMN=S四边形EMNF.
【解析】(1)利用等高模型解决问题；
(2)连接BD，过点C作CE//BD交ADA的延长线于点E，△ABE即为所求；
(2)如图，取EF的中点D，连接CD，DM，DN.利用三角形中位线定理以及等高模型解决问题．
本题考查作图-应用与设计作图，平行线之间的距离，三角形中位线定理，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握等高模型解决面积问题．
24.【答案】(1)证明：∵矩形ABCD，AC，BD为对角线，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴AE=CF；
(2)解：①当A′B′在AD上方和A′B′在AD下方两种情况讨论，
如图，当A′B′在AD上方时，作OG⊥BC交BC于点G，
∵矩形ABCD，AB=6，BC=6 3，
由勾股定理可得BD=AC=12，
∴OA=OB=6=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60∘
∴∠OBC=30∘
∴OG=3,BG=3 3
∵B′F⊥BF，
∴∠BFB′=90∘
由折叠可知∠BFO=45∘，
∴OG=FG=3，
∴BF=3 3+3，
当A′B′在B′C′下方时，如图，
同理可得BF=3 3−3，
故BF=3 3±3时，BF′⊥BC；
②18+9 3，
理由：如图，连接OB，过点O作OQ⊥A′B′于点Q，过点B作BP⊥A′B′于点P，
由折叠可知，A′B′=AB=6，
∴BP最大时，△BA′B′的面积最大，
∵在点E、F运动过程中，OB不变，OQ不变，
由图可知，BP≤OB+OQ，
由①可知，OB=6，△A′OB′为等边三角形，
∴OQ=3 3，
∴BP≤OB+OQ=6+3 3，
∴当P与Q重合时，BP=6+3 3，
∴△BA′B′面积的最大值为：12×6×(6+3 3)=18+9 3.
【解析】(1)根据矩形ABCD，AC，BD为对角线，可得OA=OC，AD//BC，可证△AEO≌△CFO(AAS)，问题得证；
(2)①分A′B′在AD上方和A′B′在B′C′下方两种情况讨论，当A′B′在AD上方时，作OG⊥BC交BC于点G，根据矩形ABCD，AB=6，BC=6 3，可得△AOB是等边三角形，则∠ABO=60∘，∠OBC=30∘，可得OG=3,BG=3 3，再根据B′F⊥BF，可得∠BFO=45∘，则OG=FG=3，可得BF=3 3+3；当A′B′在B′C′下方时，同理可得BF=3 3−3.
②连接OB，过点O作OQ⊥A′B′于点Q，过点B作BP⊥A′B′于点P，由折叠可知，A′B′=AB=6，故BP最大时，△BA′B′的面积最大，在点E、F运动过程中，OB不变，OQ不变，BP≤OB+OQ，当P与Q重合时，BP=6+3 3，则可算出△BA′B′面积的最大值．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活掌握以上知识是解题的关键．甲
乙
丙
丁
x−
9
8
8
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
7
7
7
2.2
八年级
7
a
b
c