2023-2024学年浙江省金华市浦江县八年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年浙江省金华市浦江县八年级（上）期末数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个运动图标中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知等腰△ABC一边长为3，另一边长是化简 10×8.1的结果，则该三角形的周长是( )
A. 15B. 21C. 15或21D. 15或12
3.点(5,−2)关于x轴的对称点是( )
A. (5,−2)B. (5,2)C. (−5,2)D. (−5.−2)
4.一个不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式为( )
A. 3−5x<3x−5B. 6x+4>−2
C. −7x+6≥7+3xD. −3x+4≥3−4x
5.下列说法正确的是( )
A. 平行四边形邻边相等 B. 平行四边形对边平行
C. 平行四边形对角互补 D. 平行四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形
6.科学课上，老师将一块铁块绑在细绳上，并挂在弹簧测力计上.现将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没.将过程中弹簧测力计的示数(纵坐标)记为F(N)，铁块离开原位的距离(横坐标)为S(cm).则下列F关于S的函数图象正确的一项是( )
A. B.
C. D.
7.在如图所示的平面直角坐标系中，有一四边相等平行四边形AOCD，O(0,0)，A(4,0)，且∠AOC=60°，则对角线交点B的坐标为( )
A. (3, 3)
B. (2, 3)
C. ( 3,3)
D. ( 3,2)
8.已知直线y1=kx+b(k>0)与x轴交于点(−3,0)，直线y2=mx+b(m<0)与x轴交于点(4,0).据此推断不等式kx+b>0>mx+n的解集为( )
A. −3B. x>−3
C. x<4
D. x>4
9.下列表格中，填入“◎”处正确的是( )
A. AASB. SSSC. ASAD. SAS
10.赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果.古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理.如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行.若AB的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是( )
A. 36+18 3B. 117+135 32C. 92+3 32D. 6+3 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.一次函数y=4x−6与x轴的交点坐标为______．
12.二次根式 3+2x中，x的取值范围是______．
13.在数轴上存在点M=3x、N=2−8x，且M、N不重合，M−N<0，
则x的取值范围是______．
14.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F分别是垂足.已知AB=2AC，则DE与DF的长度之比是______．
15.在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°.现将△ADC绕点A旋转90°后得到△AFB，连EF，有下面结论：
①△AED≌△AEF；
②∠FAD=90°；
③BE+CD=DE；
④BE2+CD2=DE2．
其中正确的结论是______．
16.已知直线y=13x+2与函数y=x+1(x≥−1)−x−1(x<−1)的图象相交于A，B两点(点A在点B左侧)．
(1)点B的坐标是______．
(2)若坐标原点为点O，将两个函数图象向右平移m个单位，点A，B平移后分别对应点C，D，连接OC，OD，当|OC−OD|最小时，m的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
化简或计算：
(1)− 24+7 6−6 6；
(2)(2− 2)( 2+2)．
18.(本小题6分)
解不等式或不等式组：
(1)4x−3≤3x；
(2)−2x+1>25x−3<1−3x．
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，以A，B，C为顶点的△ABC三点坐标分别为(0,−3)、(1,−4)、(3,0)．
(1)如图，连接OB，得到△ABO.将△ABO沿着x轴翻折后连接A′C，B′C求△ABC的面积与△A′B′C的面积的差．
(2)在△ABC上有一点D(m,n).若对△ABC作平移运动，且平移后点C的对应点坐标为(−2,5)，画出平移后的三角形，平移后点D的坐标是______．
(3)将△ABC沿着y轴折叠，点B的对应点是D.若在x轴上存在一点E，使DE+BE最小，求点E的坐标．
20.(本小题8分)
有一段关于古代藏宝图的记载(如图)：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转90°前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中.”若赤石标记为点“A”，杉树标记为点“B”，洞穴标记为点“C”．
(1)根据这段记载，应用数学知识描述点C与线段AB之间的关系．
(2)若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点A、B的坐标分别为(4,2)、(4,10)，点C到线段AB之间的距离为5(单位长度)，求出洞穴到赤石的距离．
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．
22.(本小题10分)
本学期我们已经学习过了“将军饮马”类型的轴对称问题(如图)，在解决该问题的过程中，“化折为直”是数学上求最值问题时常用的思想方法.请据此回答下面问题：

(1)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，一点P在线段AD上运动，连AP，BP．
①当点P位于何处时，AP+BP取到最小值？在原图中标出，并说明理由．
②若△ABC的面积为10，AD=8，Q为边AB上一个动点，连PQ，求PB+PQ的最小值．
补充说明：在任意三角形内部(不包括边)某一点到三遍的长度之和最小时，我们称该点是该三角形的“费马点.”关于“费马点”的更多知识，将在高中阶段学习.在解决这一类问题时，同样运用到“化折为直”的思想，并融入旋转特殊角度的方法和“手拉手模型”在内．
(2)如图，△DEF中存在一点任意P，连接DP、EP、FP，已知DE=5，DF=7，EF=8，当DP+EP+FP的值最小时，求出DP+EP+FP的最小值．
23.(本小题10分)
浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益.根据提供的材料解决问题．
24.(本小题12分)
本学期，我们已经学习过平面直角坐标系的概念，其中x轴与y轴互相垂直.现定义：将任意坐标轴绕原点O逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线(直线正方向与原坐标轴一致)，由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系.”而过某一点(a,b)在新坐标轴上作铅垂线、水平线(如图)，与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点(a,b)在“动感坐标系”中的“动感坐标.”而一次函数的图象仍然保持原状．
【初步探究】
(1)已知在原平面直角坐标系xOy中有一点A( 3,3)，将y轴绕原点O顺时针旋转30°，x轴绕点O顺时针旋转30°得到“动感坐标系”.则点A的动感坐标为______．
(2)在原平面直角坐标系中，设有一点C(m,m+4)，将x轴绕原点O逆时针旋转135°得到z轴，y轴绕原点O顺时针旋转45°得到p轴.在z轴上有一点B(−6,6)，在p轴上有一点D与B在同一条水平线上.当点C到点D之间的距离最小时，求点C的动感坐标．
【类比猜想】
根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质．
【深入探索】
在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=− 33x+3与直线y=kx−3相交于点C，与y轴分别交于A、B，且两条直线关于x轴成轴对称.设△ABC三角平分线与对边的交点为E、F、G.将x轴绕点C逆时针旋转60°，得到w轴，y轴绕原点O逆时针旋转m°后刚好经过点G.求点G的动感坐标以及m的值(点G不与原点O重合)．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.B
5.B
6.C
7.A
8.D
9.D
10.D
11.(32,0)
12.x≥−32
13.x<211
14.1：2
15.①②④
16.(32,52) 6
17.解：(1)− 24+7 6−6 6
=−2 6+7 6− 6
=4 6；
(2)(2− 2)( 2+2)
=(2+ 2)(2− 2)
=4−2
=2．
18.解：(1)∵4x−3≤3x，
∴4x−3x≤3，
解得：x≤3；
(2)−2x+1>2①5x−3<1−3x②，
由①得：−2x>1，
解得：x<−12，
由②得：5x+3x<3+1，
∴8x<4，
解得：x<12，
∴不等式组的解集为：x<−12．
19.(1)如图，
∵A，A′；B，B′关于x轴对称，C关于x轴对称的点为C，
∴△ABC与△A′B′C关于x轴对称，
∴S△ABC=S△A′B′C，
∴△ABC的面积与△A′B′C的面积的差等于0．
(2)如图，△KQT即为所求作的三角形；
∵C(3,0)平移到T(−2,5)，
∴平移方式为：向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；
∵D(m,n)，
∴平移后D的坐标为(m−5,n+5)．
(3)如图，△ADC′与△ABC关于y轴对称，
∵B，B′关于x轴对称，
∴连接DB′与x轴交于点E，则DE+BE=DE+B′E=DB′，此时最小，
∴E(0,0)．
20.解：(1)由题意可知，点C在线段AB的垂直平分线上；
(2)如图，设线段AB的垂直平分线与线段AB相交于点D，连接AC，

则DC=5，
∵点A、B的坐标分别为(4,2)、(4,10)，
∴AB=10−2=8，
∴DA=DB=12AB=12×8=4，∠ADC=90°，
∴AC= DA2+DC2= 42+52= 41，
答：洞穴到赤石的距离为 41．
21.证明：如图，连接AC，

在△ACE和△ACF中，
AE=AFCE=CFAC=AC，
∴△ACE≌△ACF(SSS)，
∴∠EAC=∠FAC，
在△ACB和△ACD中，
∠BAC=∠DAC∠B=∠D=90°AC=AC，
∴△ACB≌△ACD(AAS)，
∴CB=CD．
22.(1)①当P与A重合时，AP+BP最小．

∵AP+PB>AB，
故当AP=0时，
∴AP+PB=PB=AB最小．
②如图1，作PQ关于AD的对称线段PQ′．
则PB+PQ=PB+PQ′．
如图2，当B、P、Q′三点共线，且和AC垂直时，
根据垂线段最短，得到此时BQ′最短．
故过B作BQ′⊥AC．

∵△ABC面积=12BC×AD=10，
∴BC=52．
∴BD=DC=12BC=54，
∴AB=AC= AD2+BD2= 10494．
∵△ABC面积=12AC×BQ′=10，
∴12× 10494BQ′=10，
∴BQ′=80 10491049．
故PB+PQ的最小值为80 10491049．
(2)△FPD绕F旋转60°至△FP′D′，连DD′，PP′，
∴P′D′=PD，
∴△FPP′为等边三角形，
∴PF=PP′，
故当E、P、P′、D′四点共线时，
DP+EP+FP=D′P′+EP+P′P′=ED′最小．
过D作DN⊥EF，DM⊥PP′．

∵ED2−EN2=DN2=DF2−2NF2，
∴52−EN2=72−(8−EN)2，
∴EN=52，
∵DE=5，
∴EN=12DE，
∵∠DNE=90°，
∴∠DEN=60°．
∵等边△FPP′，
∴∠PP′F=∠FPP′=60°，
∴∠FP′D′=120°，
∴∠FPD=120°，
∴∠DPP′=120°−60°=60°，
∴∠EPD=120°，
∴∠DEP+∠EDP=60°，
∵∠DEP+∠PEF=60°，
∴∠EDP=∠PEF，
∵∠EPF=360°−∠EPD−∠DPF=120°，
∴∠EPF=∠DPE，
∴△DPE～△EPF，
∴DPEP=DEEF=58，
∴设DP=5x，EP=8x，
∴PM=12DP=52x，
∴DM= 3PM=5 32x，
∵DM2+EM2=ED2，
∴(5 32x)2+(8x+52x)2=52，
∴x=5 129129，
∴DP=25 129129，EP=40 129129，
∴D′M= D′D2−DM2= 72−(5 32×5 129129)2=153 129258，
∴DP+EP+FP的最小值=ED′=EP+PM+MD′=40 129129+52×5 129129+153 129258= 129．
23.解：任务一：当0≤x≤3且x为整数，设此时函数解析式为y=kx，
∴把(3,12)代入可得：3k=12，
解得：k=4，
此时解析式为y=4x，
当x>3且为整数时，设此时函数解析式为y=mx+n，
把(3,12)，(5,15)代入可得：
3m+n=125m+n=15，
解得：m=1.5n=7.5，
∴此时函数解析式为：y=1.5x+7.5；
任务二：∵某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗．
选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，2份，付12元，满足题意，
选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，1份，付6元，
再购买3个肉包，1份豆浆，付6+12+2=20元，满足题意，
选套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，1份，再买4个肉包，付7+1.5×4+7.5=20.5元，符合题意，
∴他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗．
任务三：∵计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，在买包子的钱最少的前提下，
∴肉包买20个，菜包买0个，
设购买豆浆x碗，
选择方案一：0.9×(1.5×20+7.5+2x)+4+(14−3)×1≤100，
解得：x≤281736，
∴x的最大值为：28，
选择方案二：购买20个肉包，赠送了8个菜包，
∴1.5×20+7.5+2x+4+(14−3)×1≤100，
解得：x≤23.75，
∴x的最大值为：23，
选择方案三：选择A套餐10份，则肉包有20个，
∴10×6+2x+4+1×(14−3)≤100，
解得：x≤12.5，
此时购买豆浆的最大数量为12+10=22(碗)，
选择B套餐10份，则肉包有20个，
∴10×7+2x+4+1×(14−3)≤100，
解得：x≤7.5，
此时购买豆浆的最大数量为7+20=27(碗)，
同理可得：选择A，B套餐共10份，购买豆浆的数量不会超过27碗，
综上：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，28碗豆浆即可．
24.【初步探究】(1)如图1，根据题意，过点A作作铅垂线、水平线，交y轴于点A，交旋转后的x′轴于点C，
∵A( 3,3)，
可得AB= 3,BO=3，
根据勾股定理可得OA= AB2+OB2=2 3，
∴∠AOB=30°，
∵y轴绕原点O顺时针旋转30°，
∴点A在旋转后的y′轴上，
∵BO//AC，
∴∠BOA=∠OAC=30°，
∵将y轴绕原点O顺时针旋转30°，x轴绕点O顺时针旋转30°，
∴∠AOC仍为90°，
设OC=a，则AC=2a，
根据勾股定理可得AO2+OC2=AC2，
可得方程(2 3)2+a2=(2a)2，
解得a=±2，舍去负值，
∴OC=2，AC=4，
∴A点的动感坐标为(0,4)，
(2)∵将x轴绕原点O逆时针旋转135°得到z轴，y轴绕原点O顺时针旋转45°得到p轴，
∴z轴与x轴的夹角为45°，p轴与y轴的夹角为45°，
∴z轴与p轴的夹角为90°，
∴当CD⊥p轴时，点C到点D之间的距离最小
如图，CD⊥p轴，过点C作水平线，铅垂线，交z，p轴于点E，F，BD交y轴于点A，
可得F(m,m)，∠CFD=45°，
∵点D与B在同一条水平线，
∴∠OBD=∠BDO=45°，
∵B(−6,6)，
∴BA=AD=6，
∴D(6,6)，
∵C(m,m+4)，
∴CF=4，∠CFD=45°，CD⊥DF，
∴DC=DF，
又∵BD⊥CF，
∴BD平分∠CDF，
∴∠CDB=45°，
∴EB//CD，
∵EC//BD，
∴四边形EBDC是平行四边形，
∴EC=BD=12，
∵CF=4，
∴点C的动感坐标为(12,4)；
；
【类比猜想】根据原坐标系中的点的坐标，通过勾股定理或点到直线的距离，可以求得“动感坐标”；
【深入探索】如图3所示，当G在AC上时，
∵直线y=− 33x+3与直线y=kx−3两条直线关于x轴成轴对称，
∴k= 33，CA=CB，
∴AB=6，
令y=0，则x=3 3，
∴C(3 3,0)，
∴AC= AE2+EC2=6，
∴AB=BC=CA=6，
∴△ABC是等边三角形，则∠BAC=60°，
设△ABC三角平分线与对边的交点为E、F、G．
则AG=GC=AE=EB=BF=FC=3，
又∠EAG=∠BAC=60°，
∴△AEG是等边三角形，则∠AEG=60°，
∴m=60，
过点G作y轴的平行线交w轴于点H，
∵将x轴绕点C逆时针旋转60°，得到w轴，
∴∠ECH=60°，
又∵∠AEC=30°，
∴∠GCH=90°，
又∵GH//y轴，
∵∠CGH=∠CAB=60°，则∠GHC=30°，
在Rt△CHG中，GH=2CG=6，
∴G的动感坐标为(0,6)；
当点G在BC上时，如图3所示，
则∠BEG=60°，
∴∠AEG=120°，
∴m=120，
同理可得FG=GH=3，
∴G的动感坐标为(0,3)，
综上所述，m=60时，G的动感坐标为(0,6)；m=120时，G的动感坐标为(0,3)．
已知：AB⊥BE，DE⊥BE，且BF=CE，AB=DE．
求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B=∠E=90°，
又∵BF=CE，AB=DE，
∴BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(◎)．
项目
内容
材料一
“沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配.菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y(单位：元)随购买个数x(单位：个)之间的关系如图所示，坐标(3,12)，(5,15)均经过该分段函数．
材料二
经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下：
套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元
现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗．
材料三
为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖(运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元)，并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下：
方案一：全场九折(不包括运费)
方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包
②每买3个菜包赠送1碗豆浆
方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个
任务一
求购买肉包的总价y(单位：元)与购买肉包个数x(单位：个)之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围．
任务二
在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数．
任务三
家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆.若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案．