2022-2023学年江西省赣州市大余县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省赣州市大余县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省赣州市大余县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是(    )
A. 8 B. 5 C. 13 D. a2
2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是(    )
A. 2，3，4 B. 1，1， 2 C. 4，5，6 D. 1，2，2
3. 《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：2，1，4，3，2，3，2.则这组数据的众数和中位数分别是(    )
A. 2，3 B. 2，2 C. 3，2 D. 3，3
4. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点F是CD的中点．若AD=10cm，则EF的长为(    )


A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
5. 如图，数轴上的点A表示的数是−1，点B表示的数是2，CB⊥AB于点B，且BC=2，以A点为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是(    )

A. 2.7 B. 13 C. 13−1 D. 13+1
6. 如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是(    )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 函数y= xx−2中自变量x的取值范围是______．
8. 若把一次函数y=2x+1，向下平移5个单位长度，得到图象解析式是______ ．
9. 已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是______．
10. 如图，小刚用七巧板拼了一个对角线长为4的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为        ．

11. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH=4，若菱形ABCD的面积为32 3，则AC的长为______ ．


12. 如图，已知线段AB=4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1=60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP=          ．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)计算： 80− 20+ 5；
(2)如图，正方形ABCD中，延长BC至点E，使得点C为BE的中点，连接AC，BD，DE.求证：AC//DE．

14. (本小题6.0分)
先化简，再求值；a2+2a+1a2−1−a+2a−1，其中a= 2+1．
15. (本小题6.0分)
如图所示，线段EF的两端点E，F分别是正方形ABCD的边BC，AD的中点，请仪无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)．

(1)在图(1)中，以EF为较长对角线画菱形EHFG：
(2)在图(2)中，以BD为较长对角线画菱形DNBM．
16. (本小题6.0分)
如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2,3)，B点坐标为(−2,0)，C点坐标为(0,−1)．
(1)求AC的长；
(2)求证：AC⊥BC．

17. (本小题6.0分)
已知：如图一次函数y1=kx−2与x轴相交于点B(−2,0)，y2=x+b与x轴相C(4,0)，这两个函数图象相交于点A．
(1)求出k，b的值；
(2)求△ABC的面积．

18. (本小题8.0分)
学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______．
(2)该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
(4)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

19. (本小题8.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．





20. (本小题8.0分)
冰墩墩(Bing Dwen Dwen)、雪容融(Shuey Rhon Rhon)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？

21. (本小题9.0分)
如图，正方形ABCD中，点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C)，连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．
(1)求证：EF=DF−BE．
(2)若△ADF的周长为6，AD=2，求EF的长，

22. (本小题9.0分)
阅读理解题
像( 5+2)( 5−2)=1， a× a=a(a≥0)，( b+1)( b−1)=b−1(b≥0)，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如： 5和 5，( 2+1)和( 2−1)，2( 3+3 5)和2( 3−3 5)等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：①23 2= ______ ；②1 7− 5= ______ ．
(2)计算：(1 2−1+1 3+ 2+1 4+ 3+...1 2021+ 2020)( 2021+1)
(3)已知a= 2020− 2019，b= 2021− 2020,c= 2022− 2021
试比较a，b，c的大小，直接写出结论．
23. (本小题12.0分)
已知点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上滑动(点P不与B、C重合)，且∠PAQ=∠B，
(1)如图1，若AP⊥BC，求证：AP=AQ；
(2)如图2.若AP与BC不垂直，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
(3)如图3，若AB=4，∠B=60°，请直接写出四边形APCQ的面积．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A． 8的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 5是最简二次根式，故本选项符合题意；
C. 13的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. a2的被开方数中含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．

2.【答案】B 
【解析】解：A、∵22+32≠42，∴不能够成直角三角形，不符合题意；
B、∵12+12≠( 2)2，∴能够成直角三角形，符合题意；
C、∵42+52≠62，∴不能够成直角三角形，不符合题意；
D、∵12+22≠22，∴不能够成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：将数据2，1，4，3，2，3，2按照从小到大排列是：1，2，2，2，3，3，4，
∴这组数据的众数是2，中位数是2，
故选：B．
先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的众数和中位数．
本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会求一组数据的众数和中位数．

4.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=EC，
∵点F是CD的中点，
∴DF=FC，
∴EF是△ADC的中位线，
∴2EF=AD=10cm，
∴EF=5cm，
故选：C．
根据平行四边形的性质得出AE=EC，进而利用三角形中位线定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分解答．

5.【答案】C 
【解析】解：由图可得，
AB=2−(−1)=2+1=3，BC=2，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2= 32+22= 13，
∵AC=AD，
∴AD= 13，
∴点D表示的数是 13−1，
故选：C．
根据图形和勾股定理可以得到AC的长，从而可以得到AD的长，然后再根据数轴，即可写出点D表示的数．
本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

6.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b经过两点(0,b)、(−bk,0).注意：使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．
对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求．
【解答】
解：A、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a>0，b>0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以A选项错误；
B、若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a<0，b>0，所以直线y=bx+a经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a>0，b<0，所以直线y=bx+a经过第一、二、四象限，所以C选项正确；
D、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a>0，b>0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以D选项错误；
故选：C．

  
7.【答案】x≥0且x≠2 
【解析】解：由题意得，x≥0且x−2≠0，
解得x≥0且x≠2．
故答案为：x≥0且x≠2．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

8.【答案】y=2x−4 
【解析】解：一次函数y=2x+1，向下平移5个单位长度得到的函数解析式为y=2x+1−5=2x−4．
故答案为：y=2x−4．
根据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x+1向下平移5个单位得到的函数解析式为y=2x+1−5．
本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m．

9.【答案】5.5 
【解析】解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴16(4+x+5+y+7+9)=6，
∴x+y=11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是12(5+6)=5.5，
故答案为：5.5．
先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．
本题考查了众数、平均数和中位数的知识，解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．

10.【答案】2 5 
【解析】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为4，
长方形的宽是正方形对角线的一半为2，
则长方形的对角线长= 22+42=2 5．
故答案为：2 5．
根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为4，长方形的宽是正方形对角线的一半为2，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．

11.【答案】8 3 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=4，
∴BD=8，
∵菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12⋅AC×8=32 3，
∴AC=8 3，
故答案为：8 3．
由菱形的性质得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，再求出BD=8，然后由菱形面积求出AC=8 3，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

12.【答案】2或2 3或2 7 
【解析】解：∵AO=OB=2，
∴当BP=2时，∠APB=90°，
或当AP=2时，∠APB=90°，此时BP=2 3；
当∠PAB=90°时，
∵∠AOP=60°，
∴AP= 3OA=2 3，
∴BP= AB2+AP2=2 7；
当∠PBA=90°时，
∵∠POB=60°，
∴BP= 3OB=2 3；
故答案为：2或2 3或2 7．
分∠APB=90°、∠PAB=90°、∠PBA=90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可，注意∠APB=90°又分两种情况．
本题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

13.【答案】(1)原式= 16×5− 4×5+ 5
=4 5−2 5+ 5
=3 5；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形．∴AD=BC，AD//BC，即AD//CE，
∵点C为BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC//DE． 
【解析】(1)首先化简，再依据二次根式的运算法则计算；
(2)首先证明AD//CE，AD=CE，得到四边形ACED是平行四边形，进而得证．
本题考查了二次根式的加减法、正方形的性质、平行四边形的判定与性质等，在解以正方形为背景的几何题时，一定要注意题目中的隐含条件，如相等的边，相等的角，90°的角等．

14.【答案】解：a2+2a+1a2−1−a+2a−1
=(a+1)2(a+1)(a−1)−a+2a−1
=a+1a−1−a+2a−1
=a+1−a−2a−1
=11−a，
当a= 2+1时，原式=11− 2−1=− 22． 
【解析】先对分子分母分解因式，然后约分，再算减法，最后将a的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

15.【答案】解：(1)如图(1)中：菱形EHFG即为所求；
(2)如图(2)中：菱形DNBM即为所求．
 
【解析】(1)根据矩形的性质及菱形的判定定理作图；
(2)根据平行四边形的性质及菱形的判定定理作图．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及菱形的判定定理是解题的关键．

16.【答案】解：(1)根据勾股定理，得
AC= 22+42=2 5．

(2)同理BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，
AC2=20，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
∴AC⊥BC． 
【解析】(1)利用勾股定理解决问题即可．
(2)利用勾股定理的逆定理证明即可．
本题考查勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

17.【答案】解：(1)把B(−2,0)代入y1=kx−2得，0=−2k−2，
解得k=−1；
把C(4,0)代入y2=x+b得，0=4+b，
解得b=−4；
(2)联立方程组得y=−x−2y=x−4，解得x=1y=−3，
∴A点坐标为(1,−3)，
∵B(−2,0)，C(4,0)，
∴BC=6，
∴S△ABC=12×6×3=9． 
【解析】(1)根据待定系数法即可求得k、b的值；
(2)解析式联立，解方程组即可求得A的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．
本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．

18.【答案】解：(1)17，20  ；
(2)2，2；
(3)扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%=72°；
(4)估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×350=120(人)，
答：估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为120人． 
【解析】解：(1)∵被调查的总人数为13÷26%=50(人)，
∴a=50−(7+13+10+3)=17，b%=1050×100%=20%，即b=20，
故答案为：17，20；
(2)由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2，
所以中位数为2，
出现次数最多的是2，
所以众数为2，
故答案为：2、2；
(3)见答案
(4)见答案．
(1)先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；
(2)根据中位数和众数的定义求解；
(3)用360°乘“3次”对应的百分比即可得；
(4)用总人数乘样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，
∵E是AD的中点，
∴AE=OE=12AD，
∴∠EAO=∠AOE，
∴∠AOE=∠BAO，
∴OE//FG，
∵OG//EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴四边形OEFG是矩形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中点，
∴OE=AE=12AD=5，
由(1)知，四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∵AE=5，EF=4，
∴AF= AE2−EF2=3，
∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2． 
【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12AD，推出OE//FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12AD=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF= AE2−EF2=3，于是得到结论．

20.【答案】解：(1)设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，
由题意可得：15x+5y=1400x+y=136，
解得x=72y=64，
答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；
(2)设冰墩墩购进a个，则雪容融购进(40−a)个，利润为w元，
由题意可得：w=28a+20(40−a)=8a+800，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，
∴a≤1.5(40−a)，
解得a≤24，
∴当a=24时，w取得最大值，此时w=992，40−a=16，
答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元． 
【解析】(1)根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．

21.【答案】(1)证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，
∴∠DAF=∠ABE，
在△ADF和△BAE中，
∠DAF=∠ABE∠DFA=∠AEBAD=AB，
∴△ADF≌△BAE(AAS)，
∴AF=BE，DF=AE，
∴EF=AE−AF=DF−BE；
(2)解：设DF=a，AF=b，EF=DF−AF=a−b>0，
∵△ADF的周长为6，AD=2，
∴DF+AF=4，
即a+b=4，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，
即a2+b2=4，
∴(a−b)2=2(a2+b2)−(a+b)2=16−8=8，
∴a−b=2 2，
即EF=2 2． 
【解析】(1)由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；
(2)设DF=a，AF=b，EF=DF−AF=a−b>0，由已知条件得出AD+AF=4，即a+b=4，由勾股定理得出a2+b2=4，再由完全平方公式得出a−b即可．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题(2)的关键．

22.【答案】 23  7+ 52 
【解析】解：(1)①23 2=2 23 2× 2= 23，
故答案为： 23；
②1 7− 5= 7+ 5( 7− 5)( 7+ 5)= 7+ 52，
故答案为： 7+ 52；
(2)原式=[ 2+1( 2−1)( 2+1)+ 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)+ 4− 3( 4− 3)( 4+ 3)+…+ 2021− 2020( 2021+ 2020)( 2021− 2020)]⋅( 2021+1)
=( 2++ 3− 2+ 4− 3+...+ 2021− 2020)⋅( 2021+1)
=( 2021+1)2
=2021+1+2 2021
=2022+2 2021；
(3)1a=1 2020− 2019= 2020+ 2019( 2020+ 2019)( 2020− 2019)= 2020+ 2019，
同理：1b=1 2021− 2020= 2021+ 2020，
1c=1 2022− 2021= 2022+ 2021，
∵1a<1b<1c，
∴a>b>c．
(1)①将二次根式分母有理化进行计算；
②先确定分母有理化因式，然后进行计算；
(2)利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解；
(3)通过比较a，b，c的倒数，然后进行a，b，c的大小比较．
本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，理解二次根式分母有理化的计算方法是解题关键．

23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，
∵∠PAQ=∠B，
∴∠PAQ+∠C=180°，
∴∠APC+∠AQC=180°，
∵AP⊥BC，
∴∠APC=90°
∴∠AQC=90°
在△APB和△AQD中，
∠B=∠D∠APB=∠AQD=90°AB=AD
∴△APB≌△AQD(AAS)
∴AP=AQ；
(2)如图，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．

由(1)可得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，
∴∠EAP=∠FAQ，
在△AEP和△AFQ中，
∠AEP=∠AF∠Q=90°AE=AF∠EAP=∠FAQ
∴△AEP≌△AFQ(ASA)，
∴AP=AQ；
(3)如图，连接AC、BD交于O，

∵∠ABC=60°，BA=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE⊥BC，
∴BE=EC，
同理，CF=FD，
∴四边形AECF的面积=12×四边形ABCD的面积，
由(2)得，四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积，
∵AB=4，∠B=60°
∴OA=12AB=2，OB= 32AB=2 3，
∴四边形ABCD的面积=12×2×2 3×4=8 3，
∴四边形APCQ的面积=4 3． 
【解析】(1)根据菱形的性质、结合已知得到AQ⊥CD，证明△APB≌△AQD，由全等三角形的性质可得AP=AQ；
(2)作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，由(1)的结论得到∠EAP=∠FAQ，证明△AEP≌△AFQ，根据全等三角形的性质证明；
(3)根据菱形的面积公式、结合(2)的结论解答．
本题四边形综合题，考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．