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第1章《一元二次方程》题型突破-2024-2025学年九年级上册数学单元综合突破训练（苏科版）
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2024-2025学年九年级上册数学单元综合突破训练第1章《一元二次方程》题型突破题型一一元二次方程的概念、基础考点【例1】下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+1x2-3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例2】一元二次方程x2-4x-5=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A．1，4，5 B．0，-4，-5 C．1，-4，5 D．1，-4，-5【例3】关于x的方程是一元二次方程，则（ ）A． B． C． D．【例4】已知是方程的根，代数式的值是．巩固训练：1、下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）A． B． C． D．2、下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型二 直接开平方法【例5】一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）A． B． C． D．【例6】用直接开平方法解方程，得方程的根是（） B． C．， D．【例7】按要求解方程：（1）直接开平方法：；（2）；（3）（直接开平方）【例8】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）A．x2－5＝5B．－3x2＝0C．x2＋4＝0D．（x＋1）2＝0巩固训练3、一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________．4、用开平方法解下列方程：（1）x2－81＝0. （2）4x2－7＝0．（3）3（1－x）2＝12. （4）（2x＋6）2－8＝0.5、下列解方程的结果正确的是（） A．x2=-11，解得x=±B．（x-1）2=4，解得x-1=2，所以x=3 C．x2=7，解得x=±D．25x2=1，解得25x=±1，所以x=±6、一元二次方程（x＋6）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（ ）A．x－6＝－4B．x－6＝4C．x＋6＝4D．x＋6＝－4题型三 配方法【例9】（1）（配方法）；（2）；【例10】用配方法解一元二次方程，则方程可变形为 ．【例11】若将方程x2＋6x＝7化为（x＋m）2＝16，则m＝________．【例12】若方程x2＋px＋q＝0可化为（x＋eq \f(1,2)）2＝eq \f(3,4)的形式，则pq＝________．巩固训练7、用配方法解下列方程：（1）x2－2x＝1； （2）x2－6x－6＝0；（3）x2＋9＝6x； （4）（x－1）（x－3）＝8.8、用配方法解方程x2－4x＋2＝0，下列配方正确的是（ ）A．（x－2）2＝2B．（x＋2）2＝2C．（x－2）2＝－2D．（x－2）2＝69、用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上4的是（ ）A．x2－2x＝5 B．x2－8x＝5 C．x2＋4x＝5 D．x2＋2x＝5题型四 公式法【例13】（1）（公式法）（2）公式法：；【例14】一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是（ ）A．1＋eq \r(5)B.eq \f(1＋\r(5),2)C.eq \f(1－\r(5),2)D.eq \f(－1＋\r(5),2)【例15】用公式法解方程，则________；方程的解为________．巩固训练10、用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是（ ）A．16 B．24 C．8 D．411、一元二次方程x2＋2 eq \r(2)x－6＝0的根是（ ）A．x1＝x2＝eq \r(2) B．x1＝0，x2＝－2 eq \r(2)C．x1＝eq \r(2)，x2＝－3 eq \r(2) D．x1＝－eq \r(2)，x2＝3 eq \r(2)12、用公式法解方程：（1）x2＋4x－1＝0； （2）（x＋1）（x－1）＝2 eq \r(2)x；（3）5x2－eq \r(5)x－6＝0; （4）（x－2）（1－3x）＝2.题型五 因式分解法【例16】下列方程能用因式分解法求解的有（）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例17】方程x2－3x＝0的解为（ ）A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3【例18】三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是巩固训练13、（1）方程x2＋x＝0的解是．（2）方程3（x－5）2＝2（x－5）的根是____________．14、若实数x满足（x－1）2－8（x－1）＋16＝0，则x＝________．15、已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程（x＋1）（x－2）＝0的两个根，则A，B两点间的距离是________．16、用因式分解法解下列方程：（1）x2＋16x＝0；（2）（3x＋2）2－4x2＝0；（3）2x（x＋3）－3（x＋3）＝0.17、当x为何值时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数？题型六 根的判别式【例19】关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k＞4 D.k=4【例20】关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【例21】若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（ ）A．﹣1 B．0 C.1 D.2巩固训练18．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定19．一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（）A． B． C． D．20．关于方程的两根的说法正确的是（）A． B. C． D.无实数根21．当k为何值时，关于x的方程x2-（2k-1）x＝-k2+2k+3，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根?题型七 求根与系数的关系【例22】若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16【例23】已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（ ）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【例24】已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0【例25】若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（ ）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【例26】已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．（1）填空：x1+x2＝ ，x1•x2＝ ，1x1+1x2= ，x12x2+x1x22= ；（2）求x1﹣x2的值．巩固训练22、若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝ ．题型八 利用根与系数的关系求代数式的值【例27】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是 ．【例28】如果实数分别满足，，求的值巩固训练23、若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）A．12 B．10 C．4 D．﹣424、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）A．4 B．2 C．1 D．﹣2题型九 利用根与系数的关系求系数字母的值【例29】设、是方程的两个不同的实根，且，则的值是．【例30】已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝ ．巩固训练25、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为 ．26、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 ．题型十 解决实际问题之（传播、握手、球赛问题）【例31】某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260 C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2【例32】为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．巩固训练27、元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有 个同学．28．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（ ）个人A．11 B．12 C．13 D．1429．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．题型十一 解决实际问题之几何动点问题【例33】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，（1）的面积等于平方厘米？（2）五边形的面积最小？最小值是多少？【例34】在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？ 巩固训练30．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（ ）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒31．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是．32．如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：______，______（用含的代数式表示）（2）当为何值时，的长度等于？（3）是否存在，使得五边形的面积等于？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．题型十二 增长率（变化率）问题【例35】淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ）A．B．C．D．【例36】某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ）．A．B．C．D．【例37】据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座．（1）计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？（2）求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率．巩固训练33．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2018年的交易额为40万元，2020年的交易额为48.4万元，求2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率？34．某件服装厂促销一种服装，原来每件每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种服装每件售价为98元，则平均每次降价的百分率为．35．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程．36．某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件．若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为元/件．37．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为．（1）求月增长率r；（2）经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？题型十三 面积问题【例38】现有一块长80 cm、宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．【例39】如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（ ）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm【例40】现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是 m．【例41】如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．巩固训练38、在一块长，宽的长方形铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积是的无盖长方体盒子，设小正方形的边长为，则可列出的方程为（）A． B．C． D．39、如图，一块矩形铁皮的长是80cm，宽为50cm，在这个铁皮的四角各剪去一个边长相同的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积是2800cm2，四个角剪去的小正方形的边长为xcm，则根据题意，列出的方程是 ．40、五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2．题型十四 数字问题【例42】两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（ ）A．B．C．D．【例43】一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（ ）A．25 B．36 C．25或36 D．64【例44】两个连续整数之积为20，那么这两个数是．巩固训练41．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是42．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是．43．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是．题型十五 销售利润问题【例45】某商品进货价为每件50元，售价每件90元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若每天想盈利1000元，设每件降价x元，可列出方程为（ ）A．（40﹣x）（20+x）＝1000 B．（40﹣x）（20+2x）＝1000C．（40﹣x）（20﹣x）＝1000 D．（40﹣x）（20+4x）＝1000【例46】某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每増加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆増加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20 C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20D．（x+3）（5+0.5x）＝20【例47】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ ）A．6B．8C．10D．12【例48】某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满．每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲．已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用．（1）若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为________元；（2）求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元．巩固训练44、某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．A．10 B．15 C．20 D．2545、一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（ ）A．12元B．10元C．8元D．5元46、超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．47、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。先为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 参考答案题型一一元二次方程的概念、基础考点【例1】A【解析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可。解：一元二次方程只有④，共1个，故选：A．【例2】D【解析】解：∵一元二次方程x2-4x-5=0，∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，-4，-5故选：D．【例3】A【解析】解：∵方程是一元二次方程，∴，解得：，故选A．【例4】9【解析】解：是方程的根，，，．故答案为：9．巩固训练：1．B【解析】解：A、时，不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元二次方程，故此选项正确；C、是二元二次方程，故此选项错误；D、是一元一次方程，故此选项错误．故选：B．2．B【解析】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②当时不是一元二次方程；③去括号化简后可得：，不是一元二次方程；④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；故选B．题型二 直接开平方法【例5】．C【解析】解：∵，∴或，故选C【例6】．C【解析】先移项、系数化1，则可变形为，然后利用数的开方解答，求出的值，进而求．移项得,两边同除3得,开方得,所以故选C．【例7】．见解析【解析】（1），，即或，所以；（2）解：直接开平方可得：，或∴原方程的解为：，；（3）解：，∴，∴；【例8】．C【解析】 A．由原方程得到x2＝10＞0，所以该方程有解．B.由原方程得到x2＝0，所以该方程有解．C.由原方程得到x2＝－4＜0，所以该方程无解．D.（x＋1）2＝0，所以该方程有解．故选C.巩固训练3．x1=-1，x2=5【解析】移项得：（4﹣2x）2=36，开方得：4﹣2x=±6，解得：x1=﹣1，x2=5．故答案为：x1=﹣1，x2=5．4．见解析【解析】（1）x2－81＝0，x2＝81，∴x＝±9.（2）4x2－7＝0，4x2＝7，x2＝eq \f(7,4)，∴x＝±eq \f(\r(7),2).（3）3（1－x）2＝12，（1－x）2＝4，1－x＝±2，∴x1＝－1，x2＝3.（4）（2x＋6）2－8＝0，（2x＋6）2＝8，2x＋6＝±2eq \r(,2)，∴x1＝－3＋eq \r(,2)，x2＝－3－eq \r(,2).5．C【解析】直接开平方法可得。6．D【解析】将方程（x＋6）2＝16两边直接开平方，得x＋6＝±4，则x＋6＝4或x＋6＝－4.故选D.题型三 配方法【例9】．见解析【解析】（2），移项，得：，配方，得：，即：，∴，∴；（2），，，，，解得；【例10】．见解析【解析】，，，，故答案为：．【例11】．3【解析】在方程x2＋6x＝7的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2＋6x＋32＝7＋32，整理，得（x＋3）2＝16，所以m＝3.【例12】．－eq \f(1,2)【解析】（x＋eq \f(1,2)）2＝x2＋x＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，即x2＋x－eq \f(1,2)＝0，即p＝1，q＝－eq \f(1,2)，则pq＝－eq \f(1,2).巩固训练7．见解析【解析】解：（1）配方，得x2－2x＋1＝1＋1，即（x－1）2＝2.两边开平方，得x－1＝±eq \r(2).所以x1＝1＋eq \r(2)，x2＝1－eq \r(2).（2）移项、配方，得（x－3）2＝15，即x－3＝±eq \r(15).所以x1＝3＋eq \r(15)，x2＝3－eq \r(15).（3）移项，得x2－6x＋9＝0，即（x－3）2＝0，解这个方程，得x1＝x2＝3.（4）（x－1）（x－3）＝8，x2－4x＋3＝8，x2－4x＝5，x2－4x＋4＝9，（x－2）2＝9，∴x－2＝±3，∴x1＝3＋2＝5，x2＝2－3＝－1.8．A【解析】 移项，得x2－4x＝－2.配方，得x2－4x＋4＝－2＋4，即（x－2）2＝2.故选A9．C【解析】A项，因为本方程的一次项系数是－2，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方1.故本选项错误．B项，因为本方程的一次项系数是－8，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方16.故本选项错误．C项，因为本方程的一次项系数是4，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方4.故本选项正确．D项，因为本方程的一次项系数是2，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方1.故本选项错误．故选C.题型四 公式法【例13】．见解析【解析】（1）∵∴，∴，∴，∴；（2），，∵，∴，∴，∴；【例14】．B【解析】 B ∵一元二次方程x2－x－1＝0中，a＝1，b＝－1，c＝－1，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(1±\r(5),2)，∴一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是eq \f(1＋\r(5),2).故选B.【例15】．5 【解析】∵a=1，b=3，c=1∴=5>0∴x=故答案为：5，巩固训练10．B【解析】∵a＝1，b＝－4，c＝－2，∴b2－4ac＝（－4）2－4×1×（－2）＝16＋8＝24.故选B.11．C【解析】∵a＝1，b＝2 eq \r(2)，c＝－6，b2－4ac＝8－4×1×（－6）＝32，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－2 \r(2)±\r(32),2)，∴x1＝eq \r(2)，x2＝－3 eq \r(2).故选C.12．见解析【解析】解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝－1，b2－4ac＝42－4×1×（－1）＝20>0，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－4±\r(20),2)，∴x＝－2±eq \r(5)，即x1＝－2＋eq \r(5)，x2＝－2－eq \r(5).（2）∵（x＋1）（x－1）＝2 eq \r(2)x，∴x2－2 eq \r(2)x－1＝0，则a＝1，b＝－2 eq \r(2)，c＝－1，b2－4ac＝（－2 eq \r(2)）2－4×1×（－1）＝12＞0，∴x＝eq \f(2 \r(2)±2 \r(3),2)＝eq \r(2)±eq \r(3)，∴x1＝eq \r(2)＋eq \r(3)，x2＝eq \r(2)－eq \r(3).（3）∵a＝5，b＝－eq \r(5)，c＝－6，b2－4ac＝5－4×5×（－6）＝125>0，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(\r(5)±5 \r(5),10)，即x1＝eq \f(3 \r(5),5)，x2＝－eq \f(2 \r(5),5).（4）整理，得3x2－7x＋4＝0，∵a＝3，b＝－7，c＝4，b2－4ac＝（－7）2－4×3×4＝1>0，∴x＝eq \f(7±\r(1),2×3)，∴x1＝eq \f(4,3)，x2＝1.题型五 因式分解法【例16】．C【解析】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解；方程可变形为，故②能用分解因式法求解；方程不能用因式分解法求解；方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解．综上，能用因式分解法求解的方程有3个，故选：C．【例17】．D【解析】∵x2－3x＝0，∴x（x－3）＝0，∴x＝0或x－3＝0，∴x1＝0，x2＝3.故选D.【例18】．10【解析】x2﹣6x+8=0（x—2）（x—4）=0解得：x=2或4∴三角形三边长为：2，2，4或4，4，2又∵三角形两边之和大于第三边所以2，2，4这种情况要舍去∴三角形的周长为4+4+2=10巩固训练13．见解析【解析】（1）x1＝0，x2＝－1 （2）x1＝5，x2＝eq \f(17,3)（1） x（x＋1）＝0，x＝0或x＋1＝0，∴x1＝0，x2＝－1.（2）移项，得3（x－5）2－2（x－5）＝0，分解因式，得（x－5）[3（x－5）－2]＝0，可得x－5＝0或3x－17＝0，14、若实数x满足（x－1）2－8（x－1）＋16＝0，则x＝________．【答案】x1＝5，x2＝eq \f(17,3).【解析】（x－1）2－8（x－1）＋16＝0，（x－1－4）2＝0，（x－5）2＝0，x1＝x2＝5.解得x1＝5，x2＝eq \f(17,3).15、已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程（x＋1）（x－2）＝0的两个根，则A，B两点间的距离是________．【答案】3【解析】因为（x＋1）（x－2）＝0，所以x＋1＝0或x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以A，B两点间的距离是|2－（－1）|＝3.故答案是3.16、用因式分解法解下列方程：（1）x2＋16x＝0； （2）（3x＋2）2－4x2＝0；（3）2x（x＋3）－3（x＋3）＝0.【答案】见解析【解析】（1）用提公因式法因式分解求出方程的根；（2）用平方差公式因式分解求出方程的根；（3）提取公因式（x＋3），即可得解．解：（1）原方程可变形为x（x＋16）＝0，∴x＝0或x＋16＝0，∴x1＝0，x2＝－16.（2）原方程可变形为（3x＋2－2x）（3x＋2＋2x）＝0，即（x＋2）（5x＋2）＝0，∴x＋2＝0或5x＋2＝0，∴x1＝－2，x2＝－eq \f(2,5).（3）根据题意，原方程可化为（x＋3）（2x－3）＝0，∴原方程的解为x1＝－3，x2＝eq \f(3,2).17、当x为何值时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数？【答案】-1【解析】解：由题意，得x2－2x－3＝－（4x＋4）．整理，得x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1.即当x为－1时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数．题型六 根的判别式【例19】关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k＞4 D.k=4【答案】B；【解析】∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，解得：k≤4，故选B．【例20】关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【答案】A【解析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．【例21】若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（ ）A．﹣1 B．0 C.1 D.2【答案】B；【解析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，∴a≤且a≠1，∴整数a的最大值为0．故选：B．巩固训练18．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【答案】B.【解析】在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．19．一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（）A． B． C． D．【答案】B；【解析】（a≠0）有两个不相等实数根．20．关于方程的两根的说法正确的是（）A． B. C． D.无实数根【答案】D；【解析】求得Δ=b2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D.21．当k为何值时，关于x的方程x2-（2k-1）x＝-k2+2k+3，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根?【答案】见解析【解析】解：化为一般形式为：，∴，，．∴．（1）若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即．∴．（2）若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即，∴．（3）若方程没有实数根，则△＜0，即，∴．答：当时，方程有两个不相等的实数根；当k＝时，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．题型七 求根与系数的关系【例22】若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16【答案】A【解析】解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，∴x1+x2=﹣10．故选：A．【例23】已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（ ）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【答案】A【解析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．【例24】已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0【答案】A【解析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故选：A．【例25】若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（ ）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【答案】B【解析】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m，∵+＝＝＝﹣，∴m＝﹣3；故选：B．【例26】已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．（1）填空：x1+x2＝ ，x1•x2＝ ，1x1+1x2= ，x12x2+x1x22= ；（2）求x1﹣x2的值．【答案】见解析【解析】（1）利用根与系数的关系得到x1+x2和x1•x2的值，利用通分得1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2，利用因式分解得到x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算；（2）利用完全平方公式得到x1﹣x2＝±（x1+x2）2-4x1x2，然后利用整体代入的方法计算．解：（1）x1+x2＝4，x1•x2＝2，1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=42=2；x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；故答案为4，2，2，8；（2）x1﹣x2＝±（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=±42-4×2=±22．巩固训练22、若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝ ．【答案】5【解析】利用根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝2，将其代入α+αβ+β中即可求出结论．∵方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，∴α+β＝3，αβ＝2，∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．故答案为：5．题型八 利用根与系数的关系求代数式的值【例27】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是 ．【答案】8【解析】由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1， a2＝1-a，∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+＝3﹣2a+1+＝4﹣2a+＝4+＝4+＝4+4＝8，故答案为：8．【例28】如果实数分别满足，，求的值【答案】当时，；当时，当时，，当时，【解析】由题意知：为方程的两个根，且，解方程得：，⑴当时，有，，；⑵当时，方程的根为，．当时，；当时，．巩固训练23、若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）A．12 B．10 C．4 D．﹣4【答案】A【解析】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．24、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）A．4 B．2 C．1 D．﹣2【答案】A【解析】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．故选：A．题型九 利用根与系数的关系求系数字母的值【例29】设、是方程的两个不同的实根，且，则的值是．【答案】【解析】由根与系数的关系得，．且有，即．所以．从而，解之得或．又，所以．【例30】已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝ ．【答案】3﹣【解析】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案为：a＝3﹣．巩固训练25、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为 ．【答案】—2【解析】解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，x12+x22﹣x1x2＝13＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，故答案为：﹣2．26、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 ．【答案】3＜m≤5【解析】解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．题型十 解决实际问题之（传播、握手、球赛问题）【例31】某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260 C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2【答案】C【解析】解：依题意，得：x（x﹣1）＝1260．故选：C．【例32】为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．【答案】 x（x﹣1）=21【解析】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为：x（x﹣1）=21．巩固训练27、元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有 个同学．【答案】40【解析】设该班有x个同学，则每个同学需交换（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．设该班有x个同学，则每个同学需交换（x﹣1）件小礼物，依题意，得：x（x﹣1）＝1560，解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．故答案为：40．28．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（ ）个人A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得，即，解方程得（舍去），即每轮传染中平均每人传染了个人，故选：B29．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．【答案】11【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，根据题意可得方程，解得，（舍去），故每轮传染中平均一个人传染11人，故答案为：11．题型十一 解决实际问题之几何动点问题【例33】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，（1）的面积等于平方厘米？（2）五边形的面积最小？最小值是多少？【答案】（1）2秒或4秒（2）3秒时，五边形的面积最小，最小值是39平方厘米【解析】（1）设运动时间为，则，，再由面积公式建立方程求解即可；（2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，则此时五边形的面积最小，从而可得答案．（1）解：设运动时间为，则，，则，解得：或．∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，则此时五边形的面积最小，最小值为．【例34】在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？ 【答案】2秒【解析】解：设经过x秒钟后，的面积为，由题意得，，∴，∴．∵，即，∴舍去，即．答：经过2秒，的面积为．巩固训练30．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（ ）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【解析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．解：当运动时间为t秒时，，，根据题意得：，即，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去，∴．∴运动时间为1秒．故选：A．31．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是．【答案】【解析】解：，，，设，则，在中，，∵两个小球滚动的速度相等，设速度为，根据题意可知，一个小球从点出发，另一小球立即从点出发，恰好在点处截住，则运动时间相等，∴，则，∴，解得，，∴，故答案为：．32．如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：______，______（用含的代数式表示）（2）当为何值时，的长度等于？（3）是否存在，使得五边形的面积等于？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）当或时，的长度等于（3）不存在；理由见解析【解析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度；（2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可；（3）根据题意可得的面积为长方形的面积减去五边形的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．（1）解：∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，∴，∵，∴，∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，∴；故答案为：；．（2）解：由题意得：，解得：，；∴当或时，的长度等于；（3）解：不存在；理由如下：长方形的面积是：，使得五边形的面积等于，则的面积为，∴，整理得：，∵，∴此方程无解，∴不存在，使得五边形的面积等于．题型十二 增长率（变化率）问题【例35】淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意列方程为：，故选D．【例36】某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ）．A． B．C． D．【答案】A【解析】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得故选：A．【例37】据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座．（1）计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？（2）求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率．【答案】（1）计划到2023年底，全市5G基站的数量是6万座.（2）2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为【解析】（1）按照条件计算即可；（2）设出未知数，按题目要求列出算式，得出结果检验．（1）解：（万座），答：计划到2023年底，全市基站的数量是6万座.（2）解：设2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率为x，依题意，得，解得（不符合题意，舍去），答：2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为；巩固训练33．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2018年的交易额为40万元，2020年的交易额为48.4万元，求2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率？【答案】【解析】解：设2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为x，根据题意，得，解得，（不符合实际，舍去）．答：2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为．34．某件服装厂促销一种服装，原来每件每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种服装每件售价为98元，则平均每次降价的百分率为．【答案】【解析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后为，第二次降价后为，然后根据每件的价格由原来的200元降为现在的98元即可列出方程，解方程即可．设平均每次降价的百分率为x，依题意得，∴，∴，解得，（舍去）．即：平均每次降价的百分率为．故答案是：．35．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程．【答案】【解析】根据题意，可得：，故答案为：．36．某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件．若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为元/件．【答案】【解析】解：设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为，由题意可得：解得：或（舍去）2021年此类服装的出厂价为（元）故答案为：37．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为．（1）求月增长率r；（2）经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】（1）（2）50【解析】（1）解：由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），答：月增长率为．（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，则月销售量为（个），由题意得：，解得或，要尽可能让顾客得到实惠，，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．题型十三 面积问题【例38】现有一块长80 cm、宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．【答案】x2-70x+825=0【解析】由题意得80-2x60-2x=1500．整理得x2-70x+825=0．【例39】如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（ ）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm【答案】 D【解析】观察图形可知小长方形的长为（x）cm，根据去除阴影部分的面积为950cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x•（x）＝950，整理，得：x2+20x﹣125＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．故选：D．【例40】现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是 m．【答案】2【解析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可．设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，整理，得x2﹣46x+88＝0．解得，x1＝2，x2＝44．∵44＞40（不合题意，舍去），∴x＝2．答：小道进出口的宽度应为2米．故答案为：2．【例41】如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．【答案】2【解析】将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．设人行通道的宽度为x，将脸矩形绿地平移，如图所示，∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x由题意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）解得：x＝2或x＝22（不合题意，舍去）故答案为：2巩固训练38、在一块长，宽的长方形铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积是的无盖长方体盒子，设小正方形的边长为，则可列出的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则得出长方体的盒子底面的长为：，宽为：，又因为底面积为，所以，整理得：，故选：．39、如图，一块矩形铁皮的长是80cm，宽为50cm，在这个铁皮的四角各剪去一个边长相同的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积是2800cm2，四个角剪去的小正方形的边长为xcm，则根据题意，列出的方程是 ．【答案】（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800．【解析】根据长方形的面积公式即可列出方程．设四个角剪去的小正方形的边长为xcm，则根据题意，列出的方程是（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，故答案为：（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800．40、五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2．【答案】 9【解析】设小长方形的长为xcm，宽为xcm，根据题意得：（x+2×x）•x＝135，解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），则x＝3．所以3×3＝9（cm 2）．故答案为：9．题型十四 数字问题【例42】两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为，则，故选：B．【例43】一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（ ）A．25 B．36 C．25或36 D．64【答案】C【解析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为．依题意得：，解得:.∴这个两位数为25或36．故选C．【例44】两个连续整数之积为20，那么这两个数是．【答案】4和5或和【解析】设第一个自然数为，则第二个自然数为，根据题意得：，整理，得：，解得：．当时，；当时，，故这两个整数是：4与5或与；故答案是：4和5或和．巩固训练41．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是【答案】74【解析】解：设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b，由题意得，，整理得：，∴，即，解得或（舍去），∴，∴原来的两位数是74，故答案为：74．42．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是．【答案】23【解析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论．解：设原两位数的十位数字为x，根据题意得：∴，解得：，（不符合题意舍去）答：这个两位数为23，故答案为23．43．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是．【答案】98【解析】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，依题意，得：，整理，得：，解得：（不合题意，舍去），，∴．故答案为：98题型十五 销售利润问题【例45】某商品进货价为每件50元，售价每件90元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若每天想盈利1000元，设每件降价x元，可列出方程为（ ）A．（40﹣x）（20+x）＝1000 B．（40﹣x）（20+2x）＝1000C．（40﹣x）（20﹣x）＝1000 D．（40﹣x）（20+4x）＝1000【答案】B【解析】设每件应降价x元，由题意，得（90﹣50﹣x）（20+）＝1000，即：（40﹣x）（20+2x）＝1000，故选：B．【例46】某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每増加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆増加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20 B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20 C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20 D．（x+3）（5+0.5x）＝20【答案】A【解析】根据题意，可以得到增加x株后，每盆的株数为x+3，每株的价格为5﹣0.5x，再根据每盆的盈利为20元，即可得到（x+3）（5﹣0.5x）＝20，从而可以解答本题．由题意可得，（x+3）（5﹣0.5x）＝20，故选：A．【例47】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，整理得：x2﹣18x+72＝0，解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．故选A．【例48】某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满．每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲．已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用．（1）若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为________元；（2）求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元．【答案】（1）9860；（2）每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元【解析】根据总利润=每个入住的房间的利润×入住房间的数量，即可求出结论；设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住（60-）个房间，根据每天的利润为11000 元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（60-）中即可求出结论．（1）[200+10×（60﹣58）﹣50]×58＝9860（元）．故答案为：9860．（2）设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住（60﹣）个房间，依题意，得：（60﹣）（200+x﹣50）＝11000，化简得：x2﹣450x+20000＝0，解得：x1＝50，x2＝400，∴60﹣＝55或20．答：每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元．巩固训练44、某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【解析】设每件衬衫应降价x元．根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，整理，得x2﹣35x+250＝0，解得x1＝10，x2＝25．∵“增加盈利，减少库存”，∴x1＝10应舍去，∴x＝25．答：每件衬衫应降价25元．故选：D．45、一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（ ）A．12元 B．10元 C．8元 D．5元【答案】B【解析】设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，根据每日的利润＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，根据题意得：（130﹣100﹣x）（100+5x）＝3000，整理得：x2﹣10x＝0，解得：x1＝0，x2＝10．∵要减少库存量，∴x＝10．故选：B．46、超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．【答案】（12﹣x）（100+20x）＝1400．【解析】由每降价1元每天可多售出20箱，可得出平均每天可售出（100+20x）箱，根据总利润＝每箱饮料的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．∵每箱降价x元，每降价1元，每天可多售出20箱，∴平均每天可售出（100+20x）箱．依题意，得：（12﹣x）（100+20x）＝1400．故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．47、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。先为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【答案】：20元【解析】： = 1 \* GB3 ①依据题意，寻找等量关系式：此题是利润问题，等量关系式为：每件衬衫利润×销售件数=利润 = 2 \* GB3 ②设未知数：∵利润已知，每件衬衫利润、销售件数都与衬衫降价量有关∴设每件衬衫应降价x元 = 3 \* GB3 ③根据等量关系式建立方程：每件衬衫利润为：（40－x）元；销售件数为：（20+2x）件方程为：（40－x）（20+2x）=1200 = 4 \* GB3 ④解方程并解答：方程化简得：, 解答：，∵要求尽快减少库存,即售出件数应尽量多 , ∴应降价20元。
2024-2025学年九年级上册数学单元综合突破训练第1章《一元二次方程》题型突破题型一一元二次方程的概念、基础考点【例1】下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+1x2-3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例2】一元二次方程x2-4x-5=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A．1，4，5 B．0，-4，-5 C．1，-4，5 D．1，-4，-5【例3】关于x的方程是一元二次方程，则（ ）A． B． C． D．【例4】已知是方程的根，代数式的值是．巩固训练：1、下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）A． B． C． D．2、下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型二 直接开平方法【例5】一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）A． B． C． D．【例6】用直接开平方法解方程，得方程的根是（） B． C．， D．【例7】按要求解方程：（1）直接开平方法：；（2）；（3）（直接开平方）【例8】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）A．x2－5＝5B．－3x2＝0C．x2＋4＝0D．（x＋1）2＝0巩固训练3、一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________．4、用开平方法解下列方程：（1）x2－81＝0. （2）4x2－7＝0．（3）3（1－x）2＝12. （4）（2x＋6）2－8＝0.5、下列解方程的结果正确的是（） A．x2=-11，解得x=±B．（x-1）2=4，解得x-1=2，所以x=3 C．x2=7，解得x=±D．25x2=1，解得25x=±1，所以x=±6、一元二次方程（x＋6）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（ ）A．x－6＝－4B．x－6＝4C．x＋6＝4D．x＋6＝－4题型三 配方法【例9】（1）（配方法）；（2）；【例10】用配方法解一元二次方程，则方程可变形为 ．【例11】若将方程x2＋6x＝7化为（x＋m）2＝16，则m＝________．【例12】若方程x2＋px＋q＝0可化为（x＋eq \f(1,2)）2＝eq \f(3,4)的形式，则pq＝________．巩固训练7、用配方法解下列方程：（1）x2－2x＝1； （2）x2－6x－6＝0；（3）x2＋9＝6x； （4）（x－1）（x－3）＝8.8、用配方法解方程x2－4x＋2＝0，下列配方正确的是（ ）A．（x－2）2＝2B．（x＋2）2＝2C．（x－2）2＝－2D．（x－2）2＝69、用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上4的是（ ）A．x2－2x＝5 B．x2－8x＝5 C．x2＋4x＝5 D．x2＋2x＝5题型四 公式法【例13】（1）（公式法）（2）公式法：；【例14】一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是（ ）A．1＋eq \r(5)B.eq \f(1＋\r(5),2)C.eq \f(1－\r(5),2)D.eq \f(－1＋\r(5),2)【例15】用公式法解方程，则________；方程的解为________．巩固训练10、用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是（ ）A．16 B．24 C．8 D．411、一元二次方程x2＋2 eq \r(2)x－6＝0的根是（ ）A．x1＝x2＝eq \r(2) B．x1＝0，x2＝－2 eq \r(2)C．x1＝eq \r(2)，x2＝－3 eq \r(2) D．x1＝－eq \r(2)，x2＝3 eq \r(2)12、用公式法解方程：（1）x2＋4x－1＝0； （2）（x＋1）（x－1）＝2 eq \r(2)x；（3）5x2－eq \r(5)x－6＝0; （4）（x－2）（1－3x）＝2.题型五 因式分解法【例16】下列方程能用因式分解法求解的有（）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例17】方程x2－3x＝0的解为（ ）A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3【例18】三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是巩固训练13、（1）方程x2＋x＝0的解是．（2）方程3（x－5）2＝2（x－5）的根是____________．14、若实数x满足（x－1）2－8（x－1）＋16＝0，则x＝________．15、已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程（x＋1）（x－2）＝0的两个根，则A，B两点间的距离是________．16、用因式分解法解下列方程：（1）x2＋16x＝0；（2）（3x＋2）2－4x2＝0；（3）2x（x＋3）－3（x＋3）＝0.17、当x为何值时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数？题型六 根的判别式【例19】关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k＞4 D.k=4【例20】关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【例21】若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（ ）A．﹣1 B．0 C.1 D.2巩固训练18．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定19．一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（）A． B． C． D．20．关于方程的两根的说法正确的是（）A． B. C． D.无实数根21．当k为何值时，关于x的方程x2-（2k-1）x＝-k2+2k+3，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根?题型七 求根与系数的关系【例22】若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16【例23】已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（ ）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【例24】已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0【例25】若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（ ）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【例26】已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．（1）填空：x1+x2＝ ，x1•x2＝ ，1x1+1x2= ，x12x2+x1x22= ；（2）求x1﹣x2的值．巩固训练22、若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝ ．题型八 利用根与系数的关系求代数式的值【例27】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是 ．【例28】如果实数分别满足，，求的值巩固训练23、若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）A．12 B．10 C．4 D．﹣424、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）A．4 B．2 C．1 D．﹣2题型九 利用根与系数的关系求系数字母的值【例29】设、是方程的两个不同的实根，且，则的值是．【例30】已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝ ．巩固训练25、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为 ．26、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 ．题型十 解决实际问题之（传播、握手、球赛问题）【例31】某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260 C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2【例32】为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．巩固训练27、元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有 个同学．28．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（ ）个人A．11 B．12 C．13 D．1429．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．题型十一 解决实际问题之几何动点问题【例33】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，（1）的面积等于平方厘米？（2）五边形的面积最小？最小值是多少？【例34】在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？ 巩固训练30．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（ ）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒31．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是．32．如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：______，______（用含的代数式表示）（2）当为何值时，的长度等于？（3）是否存在，使得五边形的面积等于？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．题型十二 增长率（变化率）问题【例35】淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ）A．B．C．D．【例36】某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ）．A．B．C．D．【例37】据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座．（1）计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？（2）求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率．巩固训练33．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2018年的交易额为40万元，2020年的交易额为48.4万元，求2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率？34．某件服装厂促销一种服装，原来每件每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种服装每件售价为98元，则平均每次降价的百分率为．35．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程．36．某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件．若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为元/件．37．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为．（1）求月增长率r；（2）经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？题型十三 面积问题【例38】现有一块长80 cm、宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．【例39】如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（ ）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm【例40】现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是 m．【例41】如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．巩固训练38、在一块长，宽的长方形铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积是的无盖长方体盒子，设小正方形的边长为，则可列出的方程为（）A． B．C． D．39、如图，一块矩形铁皮的长是80cm，宽为50cm，在这个铁皮的四角各剪去一个边长相同的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积是2800cm2，四个角剪去的小正方形的边长为xcm，则根据题意，列出的方程是 ．40、五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2．题型十四 数字问题【例42】两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（ ）A．B．C．D．【例43】一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（ ）A．25 B．36 C．25或36 D．64【例44】两个连续整数之积为20，那么这两个数是．巩固训练41．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是42．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是．43．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是．题型十五 销售利润问题【例45】某商品进货价为每件50元，售价每件90元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若每天想盈利1000元，设每件降价x元，可列出方程为（ ）A．（40﹣x）（20+x）＝1000 B．（40﹣x）（20+2x）＝1000C．（40﹣x）（20﹣x）＝1000 D．（40﹣x）（20+4x）＝1000【例46】某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每増加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆増加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20 C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20D．（x+3）（5+0.5x）＝20【例47】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ ）A．6B．8C．10D．12【例48】某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满．每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲．已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用．（1）若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为________元；（2）求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元．巩固训练44、某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．A．10 B．15 C．20 D．2545、一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（ ）A．12元B．10元C．8元D．5元46、超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．47、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。先为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 参考答案题型一一元二次方程的概念、基础考点【例1】A【解析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可。解：一元二次方程只有④，共1个，故选：A．【例2】D【解析】解：∵一元二次方程x2-4x-5=0，∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，-4，-5故选：D．【例3】A【解析】解：∵方程是一元二次方程，∴，解得：，故选A．【例4】9【解析】解：是方程的根，，，．故答案为：9．巩固训练：1．B【解析】解：A、时，不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元二次方程，故此选项正确；C、是二元二次方程，故此选项错误；D、是一元一次方程，故此选项错误．故选：B．2．B【解析】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②当时不是一元二次方程；③去括号化简后可得：，不是一元二次方程；④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；故选B．题型二 直接开平方法【例5】．C【解析】解：∵，∴或，故选C【例6】．C【解析】先移项、系数化1，则可变形为，然后利用数的开方解答，求出的值，进而求．移项得,两边同除3得,开方得,所以故选C．【例7】．见解析【解析】（1），，即或，所以；（2）解：直接开平方可得：，或∴原方程的解为：，；（3）解：，∴，∴；【例8】．C【解析】 A．由原方程得到x2＝10＞0，所以该方程有解．B.由原方程得到x2＝0，所以该方程有解．C.由原方程得到x2＝－4＜0，所以该方程无解．D.（x＋1）2＝0，所以该方程有解．故选C.巩固训练3．x1=-1，x2=5【解析】移项得：（4﹣2x）2=36，开方得：4﹣2x=±6，解得：x1=﹣1，x2=5．故答案为：x1=﹣1，x2=5．4．见解析【解析】（1）x2－81＝0，x2＝81，∴x＝±9.（2）4x2－7＝0，4x2＝7，x2＝eq \f(7,4)，∴x＝±eq \f(\r(7),2).（3）3（1－x）2＝12，（1－x）2＝4，1－x＝±2，∴x1＝－1，x2＝3.（4）（2x＋6）2－8＝0，（2x＋6）2＝8，2x＋6＝±2eq \r(,2)，∴x1＝－3＋eq \r(,2)，x2＝－3－eq \r(,2).5．C【解析】直接开平方法可得。6．D【解析】将方程（x＋6）2＝16两边直接开平方，得x＋6＝±4，则x＋6＝4或x＋6＝－4.故选D.题型三 配方法【例9】．见解析【解析】（2），移项，得：，配方，得：，即：，∴，∴；（2），，，，，解得；【例10】．见解析【解析】，，，，故答案为：．【例11】．3【解析】在方程x2＋6x＝7的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2＋6x＋32＝7＋32，整理，得（x＋3）2＝16，所以m＝3.【例12】．－eq \f(1,2)【解析】（x＋eq \f(1,2)）2＝x2＋x＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，即x2＋x－eq \f(1,2)＝0，即p＝1，q＝－eq \f(1,2)，则pq＝－eq \f(1,2).巩固训练7．见解析【解析】解：（1）配方，得x2－2x＋1＝1＋1，即（x－1）2＝2.两边开平方，得x－1＝±eq \r(2).所以x1＝1＋eq \r(2)，x2＝1－eq \r(2).（2）移项、配方，得（x－3）2＝15，即x－3＝±eq \r(15).所以x1＝3＋eq \r(15)，x2＝3－eq \r(15).（3）移项，得x2－6x＋9＝0，即（x－3）2＝0，解这个方程，得x1＝x2＝3.（4）（x－1）（x－3）＝8，x2－4x＋3＝8，x2－4x＝5，x2－4x＋4＝9，（x－2）2＝9，∴x－2＝±3，∴x1＝3＋2＝5，x2＝2－3＝－1.8．A【解析】 移项，得x2－4x＝－2.配方，得x2－4x＋4＝－2＋4，即（x－2）2＝2.故选A9．C【解析】A项，因为本方程的一次项系数是－2，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方1.故本选项错误．B项，因为本方程的一次项系数是－8，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方16.故本选项错误．C项，因为本方程的一次项系数是4，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方4.故本选项正确．D项，因为本方程的一次项系数是2，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方1.故本选项错误．故选C.题型四 公式法【例13】．见解析【解析】（1）∵∴，∴，∴，∴；（2），，∵，∴，∴，∴；【例14】．B【解析】 B ∵一元二次方程x2－x－1＝0中，a＝1，b＝－1，c＝－1，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(1±\r(5),2)，∴一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是eq \f(1＋\r(5),2).故选B.【例15】．5 【解析】∵a=1，b=3，c=1∴=5>0∴x=故答案为：5，巩固训练10．B【解析】∵a＝1，b＝－4，c＝－2，∴b2－4ac＝（－4）2－4×1×（－2）＝16＋8＝24.故选B.11．C【解析】∵a＝1，b＝2 eq \r(2)，c＝－6，b2－4ac＝8－4×1×（－6）＝32，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－2 \r(2)±\r(32),2)，∴x1＝eq \r(2)，x2＝－3 eq \r(2).故选C.12．见解析【解析】解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝－1，b2－4ac＝42－4×1×（－1）＝20>0，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－4±\r(20),2)，∴x＝－2±eq \r(5)，即x1＝－2＋eq \r(5)，x2＝－2－eq \r(5).（2）∵（x＋1）（x－1）＝2 eq \r(2)x，∴x2－2 eq \r(2)x－1＝0，则a＝1，b＝－2 eq \r(2)，c＝－1，b2－4ac＝（－2 eq \r(2)）2－4×1×（－1）＝12＞0，∴x＝eq \f(2 \r(2)±2 \r(3),2)＝eq \r(2)±eq \r(3)，∴x1＝eq \r(2)＋eq \r(3)，x2＝eq \r(2)－eq \r(3).（3）∵a＝5，b＝－eq \r(5)，c＝－6，b2－4ac＝5－4×5×（－6）＝125>0，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(\r(5)±5 \r(5),10)，即x1＝eq \f(3 \r(5),5)，x2＝－eq \f(2 \r(5),5).（4）整理，得3x2－7x＋4＝0，∵a＝3，b＝－7，c＝4，b2－4ac＝（－7）2－4×3×4＝1>0，∴x＝eq \f(7±\r(1),2×3)，∴x1＝eq \f(4,3)，x2＝1.题型五 因式分解法【例16】．C【解析】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解；方程可变形为，故②能用分解因式法求解；方程不能用因式分解法求解；方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解．综上，能用因式分解法求解的方程有3个，故选：C．【例17】．D【解析】∵x2－3x＝0，∴x（x－3）＝0，∴x＝0或x－3＝0，∴x1＝0，x2＝3.故选D.【例18】．10【解析】x2﹣6x+8=0（x—2）（x—4）=0解得：x=2或4∴三角形三边长为：2，2，4或4，4，2又∵三角形两边之和大于第三边所以2，2，4这种情况要舍去∴三角形的周长为4+4+2=10巩固训练13．见解析【解析】（1）x1＝0，x2＝－1 （2）x1＝5，x2＝eq \f(17,3)（1） x（x＋1）＝0，x＝0或x＋1＝0，∴x1＝0，x2＝－1.（2）移项，得3（x－5）2－2（x－5）＝0，分解因式，得（x－5）[3（x－5）－2]＝0，可得x－5＝0或3x－17＝0，14、若实数x满足（x－1）2－8（x－1）＋16＝0，则x＝________．【答案】x1＝5，x2＝eq \f(17,3).【解析】（x－1）2－8（x－1）＋16＝0，（x－1－4）2＝0，（x－5）2＝0，x1＝x2＝5.解得x1＝5，x2＝eq \f(17,3).15、已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程（x＋1）（x－2）＝0的两个根，则A，B两点间的距离是________．【答案】3【解析】因为（x＋1）（x－2）＝0，所以x＋1＝0或x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以A，B两点间的距离是|2－（－1）|＝3.故答案是3.16、用因式分解法解下列方程：（1）x2＋16x＝0； （2）（3x＋2）2－4x2＝0；（3）2x（x＋3）－3（x＋3）＝0.【答案】见解析【解析】（1）用提公因式法因式分解求出方程的根；（2）用平方差公式因式分解求出方程的根；（3）提取公因式（x＋3），即可得解．解：（1）原方程可变形为x（x＋16）＝0，∴x＝0或x＋16＝0，∴x1＝0，x2＝－16.（2）原方程可变形为（3x＋2－2x）（3x＋2＋2x）＝0，即（x＋2）（5x＋2）＝0，∴x＋2＝0或5x＋2＝0，∴x1＝－2，x2＝－eq \f(2,5).（3）根据题意，原方程可化为（x＋3）（2x－3）＝0，∴原方程的解为x1＝－3，x2＝eq \f(3,2).17、当x为何值时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数？【答案】-1【解析】解：由题意，得x2－2x－3＝－（4x＋4）．整理，得x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1.即当x为－1时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数．题型六 根的判别式【例19】关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k＞4 D.k=4【答案】B；【解析】∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，解得：k≤4，故选B．【例20】关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【答案】A【解析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．【例21】若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（ ）A．﹣1 B．0 C.1 D.2【答案】B；【解析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，∴a≤且a≠1，∴整数a的最大值为0．故选：B．巩固训练18．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【答案】B.【解析】在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．19．一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（）A． B． C． D．【答案】B；【解析】（a≠0）有两个不相等实数根．20．关于方程的两根的说法正确的是（）A． B. C． D.无实数根【答案】D；【解析】求得Δ=b2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D.21．当k为何值时，关于x的方程x2-（2k-1）x＝-k2+2k+3，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根?【答案】见解析【解析】解：化为一般形式为：，∴，，．∴．（1）若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即．∴．（2）若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即，∴．（3）若方程没有实数根，则△＜0，即，∴．答：当时，方程有两个不相等的实数根；当k＝时，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．题型七 求根与系数的关系【例22】若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16【答案】A【解析】解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，∴x1+x2=﹣10．故选：A．【例23】已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（ ）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【答案】A【解析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．【例24】已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0【答案】A【解析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故选：A．【例25】若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（ ）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【答案】B【解析】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m，∵+＝＝＝﹣，∴m＝﹣3；故选：B．【例26】已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．（1）填空：x1+x2＝ ，x1•x2＝ ，1x1+1x2= ，x12x2+x1x22= ；（2）求x1﹣x2的值．【答案】见解析【解析】（1）利用根与系数的关系得到x1+x2和x1•x2的值，利用通分得1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2，利用因式分解得到x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算；（2）利用完全平方公式得到x1﹣x2＝±（x1+x2）2-4x1x2，然后利用整体代入的方法计算．解：（1）x1+x2＝4，x1•x2＝2，1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=42=2；x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；故答案为4，2，2，8；（2）x1﹣x2＝±（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=±42-4×2=±22．巩固训练22、若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝ ．【答案】5【解析】利用根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝2，将其代入α+αβ+β中即可求出结论．∵方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，∴α+β＝3，αβ＝2，∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．故答案为：5．题型八 利用根与系数的关系求代数式的值【例27】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是 ．【答案】8【解析】由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1， a2＝1-a，∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+＝3﹣2a+1+＝4﹣2a+＝4+＝4+＝4+4＝8，故答案为：8．【例28】如果实数分别满足，，求的值【答案】当时，；当时，当时，，当时，【解析】由题意知：为方程的两个根，且，解方程得：，⑴当时，有，，；⑵当时，方程的根为，．当时，；当时，．巩固训练23、若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）A．12 B．10 C．4 D．﹣4【答案】A【解析】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．24、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）A．4 B．2 C．1 D．﹣2【答案】A【解析】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．故选：A．题型九 利用根与系数的关系求系数字母的值【例29】设、是方程的两个不同的实根，且，则的值是．【答案】【解析】由根与系数的关系得，．且有，即．所以．从而，解之得或．又，所以．【例30】已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝ ．【答案】3﹣【解析】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案为：a＝3﹣．巩固训练25、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为 ．【答案】—2【解析】解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，x12+x22﹣x1x2＝13＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，故答案为：﹣2．26、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 ．【答案】3＜m≤5【解析】解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．题型十 解决实际问题之（传播、握手、球赛问题）【例31】某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260 C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2【答案】C【解析】解：依题意，得：x（x﹣1）＝1260．故选：C．【例32】为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．【答案】 x（x﹣1）=21【解析】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为：x（x﹣1）=21．巩固训练27、元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有 个同学．【答案】40【解析】设该班有x个同学，则每个同学需交换（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．设该班有x个同学，则每个同学需交换（x﹣1）件小礼物，依题意，得：x（x﹣1）＝1560，解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．故答案为：40．28．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（ ）个人A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得，即，解方程得（舍去），即每轮传染中平均每人传染了个人，故选：B29．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．【答案】11【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，根据题意可得方程，解得，（舍去），故每轮传染中平均一个人传染11人，故答案为：11．题型十一 解决实际问题之几何动点问题【例33】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，（1）的面积等于平方厘米？（2）五边形的面积最小？最小值是多少？【答案】（1）2秒或4秒（2）3秒时，五边形的面积最小，最小值是39平方厘米【解析】（1）设运动时间为，则，，再由面积公式建立方程求解即可；（2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，则此时五边形的面积最小，从而可得答案．（1）解：设运动时间为，则，，则，解得：或．∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，则此时五边形的面积最小，最小值为．【例34】在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？ 【答案】2秒【解析】解：设经过x秒钟后，的面积为，由题意得，，∴，∴．∵，即，∴舍去，即．答：经过2秒，的面积为．巩固训练30．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（ ）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【解析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．解：当运动时间为t秒时，，，根据题意得：，即，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去，∴．∴运动时间为1秒．故选：A．31．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是．【答案】【解析】解：，，，设，则，在中，，∵两个小球滚动的速度相等，设速度为，根据题意可知，一个小球从点出发，另一小球立即从点出发，恰好在点处截住，则运动时间相等，∴，则，∴，解得，，∴，故答案为：．32．如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：______，______（用含的代数式表示）（2）当为何值时，的长度等于？（3）是否存在，使得五边形的面积等于？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）当或时，的长度等于（3）不存在；理由见解析【解析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度；（2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可；（3）根据题意可得的面积为长方形的面积减去五边形的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．（1）解：∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，∴，∵，∴，∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，∴；故答案为：；．（2）解：由题意得：，解得：，；∴当或时，的长度等于；（3）解：不存在；理由如下：长方形的面积是：，使得五边形的面积等于，则的面积为，∴，整理得：，∵，∴此方程无解，∴不存在，使得五边形的面积等于．题型十二 增长率（变化率）问题【例35】淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意列方程为：，故选D．【例36】某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ）．A． B．C． D．【答案】A【解析】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得故选：A．【例37】据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座．（1）计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？（2）求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率．【答案】（1）计划到2023年底，全市5G基站的数量是6万座.（2）2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为【解析】（1）按照条件计算即可；（2）设出未知数，按题目要求列出算式，得出结果检验．（1）解：（万座），答：计划到2023年底，全市基站的数量是6万座.（2）解：设2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率为x，依题意，得，解得（不符合题意，舍去），答：2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为；巩固训练33．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2018年的交易额为40万元，2020年的交易额为48.4万元，求2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率？【答案】【解析】解：设2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为x，根据题意，得，解得，（不符合实际，舍去）．答：2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为．34．某件服装厂促销一种服装，原来每件每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种服装每件售价为98元，则平均每次降价的百分率为．【答案】【解析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后为，第二次降价后为，然后根据每件的价格由原来的200元降为现在的98元即可列出方程，解方程即可．设平均每次降价的百分率为x，依题意得，∴，∴，解得，（舍去）．即：平均每次降价的百分率为．故答案是：．35．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程．【答案】【解析】根据题意，可得：，故答案为：．36．某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件．若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为元/件．【答案】【解析】解：设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为，由题意可得：解得：或（舍去）2021年此类服装的出厂价为（元）故答案为：37．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为．（1）求月增长率r；（2）经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】（1）（2）50【解析】（1）解：由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），答：月增长率为．（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，则月销售量为（个），由题意得：，解得或，要尽可能让顾客得到实惠，，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．题型十三 面积问题【例38】现有一块长80 cm、宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．【答案】x2-70x+825=0【解析】由题意得80-2x60-2x=1500．整理得x2-70x+825=0．【例39】如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（ ）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm【答案】 D【解析】观察图形可知小长方形的长为（x）cm，根据去除阴影部分的面积为950cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x•（x）＝950，整理，得：x2+20x﹣125＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．故选：D．【例40】现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是 m．【答案】2【解析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可．设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，整理，得x2﹣46x+88＝0．解得，x1＝2，x2＝44．∵44＞40（不合题意，舍去），∴x＝2．答：小道进出口的宽度应为2米．故答案为：2．【例41】如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．【答案】2【解析】将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．设人行通道的宽度为x，将脸矩形绿地平移，如图所示，∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x由题意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）解得：x＝2或x＝22（不合题意，舍去）故答案为：2巩固训练38、在一块长，宽的长方形铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积是的无盖长方体盒子，设小正方形的边长为，则可列出的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则得出长方体的盒子底面的长为：，宽为：，又因为底面积为，所以，整理得：，故选：．39、如图，一块矩形铁皮的长是80cm，宽为50cm，在这个铁皮的四角各剪去一个边长相同的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积是2800cm2，四个角剪去的小正方形的边长为xcm，则根据题意，列出的方程是 ．【答案】（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800．【解析】根据长方形的面积公式即可列出方程．设四个角剪去的小正方形的边长为xcm，则根据题意，列出的方程是（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，故答案为：（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800．40、五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2．【答案】 9【解析】设小长方形的长为xcm，宽为xcm，根据题意得：（x+2×x）•x＝135，解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），则x＝3．所以3×3＝9（cm 2）．故答案为：9．题型十四 数字问题【例42】两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为，则，故选：B．【例43】一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（ ）A．25 B．36 C．25或36 D．64【答案】C【解析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为．依题意得：，解得:.∴这个两位数为25或36．故选C．【例44】两个连续整数之积为20，那么这两个数是．【答案】4和5或和【解析】设第一个自然数为，则第二个自然数为，根据题意得：，整理，得：，解得：．当时，；当时，，故这两个整数是：4与5或与；故答案是：4和5或和．巩固训练41．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是【答案】74【解析】解：设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b，由题意得，，整理得：，∴，即，解得或（舍去），∴，∴原来的两位数是74，故答案为：74．42．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是．【答案】23【解析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论．解：设原两位数的十位数字为x，根据题意得：∴，解得：，（不符合题意舍去）答：这个两位数为23，故答案为23．43．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是．【答案】98【解析】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，依题意，得：，整理，得：，解得：（不合题意，舍去），，∴．故答案为：98题型十五 销售利润问题【例45】某商品进货价为每件50元，售价每件90元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若每天想盈利1000元，设每件降价x元，可列出方程为（ ）A．（40﹣x）（20+x）＝1000 B．（40﹣x）（20+2x）＝1000C．（40﹣x）（20﹣x）＝1000 D．（40﹣x）（20+4x）＝1000【答案】B【解析】设每件应降价x元，由题意，得（90﹣50﹣x）（20+）＝1000，即：（40﹣x）（20+2x）＝1000，故选：B．【例46】某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每増加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆増加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20 B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20 C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20 D．（x+3）（5+0.5x）＝20【答案】A【解析】根据题意，可以得到增加x株后，每盆的株数为x+3，每株的价格为5﹣0.5x，再根据每盆的盈利为20元，即可得到（x+3）（5﹣0.5x）＝20，从而可以解答本题．由题意可得，（x+3）（5﹣0.5x）＝20，故选：A．【例47】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，整理得：x2﹣18x+72＝0，解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．故选A．【例48】某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满．每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲．已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用．（1）若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为________元；（2）求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元．【答案】（1）9860；（2）每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元【解析】根据总利润=每个入住的房间的利润×入住房间的数量，即可求出结论；设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住（60-）个房间，根据每天的利润为11000 元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（60-）中即可求出结论．（1）[200+10×（60﹣58）﹣50]×58＝9860（元）．故答案为：9860．（2）设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住（60﹣）个房间，依题意，得：（60﹣）（200+x﹣50）＝11000，化简得：x2﹣450x+20000＝0，解得：x1＝50，x2＝400，∴60﹣＝55或20．答：每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元．巩固训练44、某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【解析】设每件衬衫应降价x元．根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，整理，得x2﹣35x+250＝0，解得x1＝10，x2＝25．∵“增加盈利，减少库存”，∴x1＝10应舍去，∴x＝25．答：每件衬衫应降价25元．故选：D．45、一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（ ）A．12元 B．10元 C．8元 D．5元【答案】B【解析】设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，根据每日的利润＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，根据题意得：（130﹣100﹣x）（100+5x）＝3000，整理得：x2﹣10x＝0，解得：x1＝0，x2＝10．∵要减少库存量，∴x＝10．故选：B．46、超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．【答案】（12﹣x）（100+20x）＝1400．【解析】由每降价1元每天可多售出20箱，可得出平均每天可售出（100+20x）箱，根据总利润＝每箱饮料的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．∵每箱降价x元，每降价1元，每天可多售出20箱，∴平均每天可售出（100+20x）箱．依题意，得：（12﹣x）（100+20x）＝1400．故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．47、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。先为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【答案】：20元【解析】： = 1 \* GB3 ①依据题意，寻找等量关系式：此题是利润问题，等量关系式为：每件衬衫利润×销售件数=利润 = 2 \* GB3 ②设未知数：∵利润已知，每件衬衫利润、销售件数都与衬衫降价量有关∴设每件衬衫应降价x元 = 3 \* GB3 ③根据等量关系式建立方程：每件衬衫利润为：（40－x）元；销售件数为：（20+2x）件方程为：（40－x）（20+2x）=1200 = 4 \* GB3 ④解方程并解答：方程化简得：, 解答：，∵要求尽快减少库存,即售出件数应尽量多 , ∴应降价20元。
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