初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 反比例函数中的直角三角形问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 反比例函数中的直角三角形问题，共32页。试卷主要包含了定义，如图的图象上，点C等内容，欢迎下载使用。

（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（-2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）
【答案】（1）y=，y=2x+4；（2）B（-3，-2）；（3）E1（1，0），E2（13，0）
3、如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．
解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A的纵坐标为6，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（1，6），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；
（2）如图，①当∠OD1A＝90°时，
设BC与AO交于E，则E（，3），
∴AE＝OE＝D1E＝，
∵E（，3），
∴D1的坐标为（，3）；
②当∠OAD2＝90°时，
可得直线AD2的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝3时，x＝19，
∴D2的坐标为（19，3），
综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3）
4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求∠OCD的度数；
（2）如图2，连接OQ、OP，当∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC时，求此时m的值；
（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点．再以OA、OB为邻边作矩形OAMB．若点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时OA、OB的长度．
解：（1）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴y＝﹣x+m+1，
令x＝0，得到y＝m+1，
∴D（0，m+1），
令y＝0，得到x＝m+1，
∴C（m+1，0），
∴OC＝OD，
∵∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°．
（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，
∵P（m，1）和Q（1，m），
∴MQ＝PN＝1，OM＝ON＝m，
∵∠OMQ＝∠ONP＝90°，
∴△OMQ≌△ONP（SAS），
∴OQ＝OP，∠DOQ＝∠POC，
∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC，∠OCD＝45°，
∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝22.5°，
∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1，
∵∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，
∴DQ＝PC＝，
∵OC＝OD＝m+1，
∴CD＝OC＝，
∵CD＝DQ+PQ+PC，
∴＝2+2，
∴m＝+1；
（3）如图3，
∵四边形BAPQ为平行四边形，
∴AB∥PQ，AB＝PQ，
∴∠OAB＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴OA＝OB，
∴矩形OAMB是正方形，
∵点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，
∴M（，），即OA＝OB＝，
∵AB＝PQ，
∴，
解得：m＝或（舍），
∴OA＝OB＝＝＝＝．
5、如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，
∴B（﹣1，2），
∴AM＝BM＝2﹣1，
∴∠BAM＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，
∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2；
（3）存在，
如图，∵OC＝CD﹣OD＝1，
∴OE＝OC＝，
①当AP⊥x轴时，△APE～△CDA，则：OP1＝AD＝2，
∴P1（﹣2，0），
②当AP⊥AE时，△APE～△DCA，∵AP1＝1，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴
则，
综上所述，满足条件点P的坐标为（﹣2，0），（﹣，0）．
6、如图①，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（2，6），B（a，3）两点，BC∥x轴（点C在点B的右侧），且BC＝m，连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，交反比例函数图象于点E．
（1）求b的值和反比例函数的解析式；
（2）填空：不等式﹣x+b＞的解为 ；
（3）当OC平分∠BOD时，求的值；
（4）如图②，取BC中点F，连接DF，AF，BD，当四边形ABDF为平行四边形时，求点F的坐标．
（1）将A（2，6）代入y＝﹣x+b得，﹣3+b＝6，
解得：b＝9，
将A（2，6）代入y＝得，k＝12，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）当y＝3时，3＝，
解得：x＝4，
∴B（4，3），
由图象可知不等式﹣x+b＞的解为：2＜x＜4，
故答案为：2＜x＜4；
（3）将B（a，3）代入y＝得，＝3，
解得：a＝4，
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵BC∥x轴，
∴∠BCO＝∠COD，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴OB＝BC，
∵B（4，3），
∴OB＝BC＝5，
∴C（9，3），
∴E（9，），D（9，0），
∴DE＝，CE＝3﹣＝，
∴＝＝；
（4）作AH⊥BC于H，则H（2，3），
∴AH＝3，BH＝2，
∵四边形ABDF为平行四边形，
∴AB∥DF，AB＝DF，
∴∠CFD＝∠CBQ，
∵∠AHB＝∠DCF＝90°，∠ABH＝∠CBQ，
∴∠CFD＝∠ABH，
∴△ABH≌△DFC（AAS），
∴CF＝BH＝2，
∵F是BC中点，
∴BF＝CF＝BC＝2，
∵B（4，3），
∴F（6，3）．
7、定义：在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移2个单位的平移称为一次斜平移．已知点A（1，0），点A经过n次斜平移得到点B，点M是线段AB的中点．
（1）当n＝3时，点B的坐标是 ，点M的坐标是 ；
（2）如图1，当点M落在y＝的图象上，求n的值；
（3）如图2，当点M落在直线l上，点C是点B关于直线l的对称点，BC与直线l相交于点N．
①求证：△ABC是直角三角形；
②当点C的坐标为（5，3）时，求MN的长．
解：（1）根据平移的性质，点A（1，0）经过n次斜平移得到点B的坐标为（1+n，2n），
∴当n＝3时，点B的坐标是（4，6），
∵点M是线段AB中点，
∴点M的坐标是（2.5，3），
故答案为：（4，6），（2.5，3）
（2）由题意，A（1，0），B（1+n，2n），
∴线段AB中点M（，n），
∵点M落在y＝的图象上，
∴×n＝4，
解得n＝2或n＝﹣4（舍去），
∴n＝2；
（3）①连接CM，如图1，
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM，
由轴对称可知：BM＝CM，
∴AM＝CM＝BM，
∴∠MAC＝∠ACM，∠MBC＝∠MCB，
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB＝180°，
∴∠ACM+∠MCB＝90°，即∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵点C的坐标为（5，3），点A（1，0），
∴AC＝＝5，
∵点C是点B关于直线l的对称点，
∴BN＝CN，
∵点M是线段AB的中点．
∴AM＝BM，
∴MN＝AC＝．
8、如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；
（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标；
（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ODC+∠EDA＝90°．
∵∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠EDA＝∠OCD，
在△AED和△DOC中
，
∴△AED≌△DOC（AAS），
∴OD＝EA＝5，
∴点D的纵坐标为5；
（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，
设OD′＝a，OC′＝b，
同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，
∴C′N＝OD′＝A′M＝a，B′N＝C′O＝D′M＝b，
∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），
∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，
∴a（a+b）＝8，b（a+b）＝8，
∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），
∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；
（3）设直线A′B′的解析式为y＝mx+n，
把A′（2，4），B′（4，2）代入得
，
解得，
∴直线A′B′解析式为y＝﹣x+6，
同样可求得直线C′D′解析式为y＝﹣x+2，
由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），
当A点在直线C′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝，
此时点A的坐标为（，），
∴k＝×＝；
当点D在直线A′B′上时，有m＝6，此时点A的坐标为（6，12），
∴k＝6×12＝72；
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72．
9、如图，如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B （1，﹣3）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．
解：（1）∵点A（m，1）和B （1，﹣3）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1，
∴m＝﹣3，
∴点A（﹣3，1），
∴反比例函数解析式为：y＝；
∵一次函数y＝﹣x+b过点B（1，﹣3），
∴﹣3＝﹣1+b，
∴b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2；
故答案为：y＝﹣x﹣2，；
（2）如图1，当∠ABP＝90°时，过点P作CD⊥x轴，过点A作AC⊥DC于C，过点B作BD⊥CD于D，
设点P的坐标为（x，0），
∴AC＝x+3，CP＝1，PD＝3，BD＝x﹣1，
∵∠APB＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
又∵∠APC+∠CAP＝90°，
∴∠CAP＝∠BPD，
又∵∠C＝∠BDP＝90°，
∴△ACP∽△PBD，
∴，
∴，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴点P（﹣1+，0）；
当∠ABP＝90°时，
∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴点C（﹣2，0），点D（0，﹣2），
∴OC＝2，OD＝2，CD＝2，BC＝3，
∵tan∠OCD＝，
∴，
∴CP＝6，
∵点C（﹣2，0），
∴点P（4，0），
综上所述：点P的坐标为（，0）或（4，0）．
10、如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，
理由如下：联立，
解得：或，
∴B点坐标为（2，1），
∵点P在y轴上，
∴设P（0，m），
∴AB＝＝，AP＝，PB＝，
若BP为斜边，
∴BP2＝AB2+AP2 ，
即 ＝2+，
解得：m＝1，
∴P（0，1）；
若AP为斜边，
∴AP2＝PB2+AB2 ，
即 ＝+2，
解得：m＝﹣1，
∴P（0，﹣1）；
综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）．
11、如图，直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝（x＞0）分别交于点D、A（AB＜AC），经探索研究发现：结论AB＝CD始终成立．另一直线y＝mx（m＞0）交线段BC于点E，交反比例函数y＝（x＞0））图象于点F．
（1）当BC＝5时：
①求反比例函数的解析式．
②若BE＝3CE，求点F的坐标．
（2）当BE：CD＝1：2时，请直接写出k与m的数量关系．
解：（1）①针对于直线y＝﹣x+6，令x＝0，则y＝6，
∴A（0，6），
∴OA＝6，
令y＝0，则0＝﹣x+6，
∴x＝8，
∴D（8，0），
∴OD＝8，
∴AD＝10，
∵BC＝5，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝5，
∵AB＝CD，
∴AB＝，
过点B作BG⊥y轴于G，
∴∠AGB＝90°＝∠AOB，
∵∠BAG＝∠DAO，
∴△ABG∽ADO，
∴，
∴，
∴AG＝，BG＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝，
∴B（2，），
∵点B在反比例函数y＝（x＞0））图象上，
∴k＝2×＝9，
∴反比例函数的解析式为y＝；
②∵BC＝5，
∴BE+CE＝5，
∵BE＝3CE，
∴BE＝，
∴AE＝AB+BE＝，
过点E作EH⊥y轴于H，
∴∠AHE＝90°＝∠AOB，
∵∠HAE＝∠OAD，
∴△HAE∽△OAD，
∴，
∴，
∴AH＝，BG＝5，
∴OH＝OA﹣AH＝，
∴E（5，），
∴直线OE的解析式为y＝x，
联立，解得，（舍）或，
∴F（2，）；
（2）∵BE：CD＝1：2，
∴BE＝a，则CD＝2a，
∴AB＝CD＝2a，
∴AE＝AB+BE＝3a，
过点E作EH⊥y轴于H，
同（1）的方法得，△HAE∽△OAD，
∴，
∴，
∴AH＝a，EH＝a，
∴OH＝OA﹣AH＝6﹣a，
∴E（a，6﹣a），
将点E坐标代入直线y＝mx（m＞0）中，解得am＝6﹣a，
∴a＝，
将点E的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）中，
解得，k＝a（6﹣a）＝a（10﹣3a）＝×（10﹣）＝．
13、如图，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y＝图象上，过点B作BF⊥OC，垂足为F，设OF＝t．
（1）求∠ACO的正切值；
（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；
（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y＝图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x轴，求m的值．
解：（1）∵直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点A（﹣1，0），点C（0，2）
∴OA＝1，OC＝2，
∴tan∠ACO＝＝；
（2）∵四边形ACBE是矩形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCF＝90°，且∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACO＝∠CBF，
∵OF＝t，
∴CF＝2﹣t，
∵tan∠CBF＝tan∠ACO＝，
∴BF＝4﹣2t，
∴点B（4﹣2t，t）；
（3）如图，连接DE，交x轴于H点，
∵DE⊥x轴，
∴∠AHE＝90°，
∴∠HAE+∠AEH＝90°，且∠CAO+∠HAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCF＝90°，
∴∠AEH＝∠BCF，且∠CFB＝∠AHE，AE＝BC，
∴△BCF≌△AEH（AAS）
∴AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，
∵点A（﹣1，0），
∴点H（3﹣2t，0），
∴当x＝3﹣2t时，y＝2（3﹣2t）+2＝8﹣4t，
∴点D坐标为（3﹣2t，8﹣4t），
∵点D，点B都在反比例函数y＝上，
∴（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t）
∴t1＝2（不合题意舍去），t2＝；
∴点B（，）
∴m＝×＝．
14、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．
（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；
（2）求△AOD的面积；
（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，
∴点A，点B关于原点对称，
∴点B的横坐标为1，
∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；
（2）连接OC，OE，
由图象知，点A，点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴OC＝AB＝AO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∴S△AEO＝S△ACE＝，
∵AD＝2DE，
∴AE＝DE，
∴S△AOD＝2S△AOE＝3；
（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，
则EF∥AH，
∵AD＝2DE，
∴DE＝EA，
∵EF∥AH，
∴＝＝1，
∴DF＝FH，
∴EF是△DHA的中位线，
∴EF＝AH，
∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，
∴OF•EF＝OH•HA，
∴OH＝OF，
∴OH＝HF，
∴DF＝FH＝HO＝DO，
∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，
∴﹣＝1，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣，
∵点A在y＝﹣的图象上，
∴把x＝﹣1代入得，y＝2，
∴A（﹣1，2），
∵点A在直线y＝mx上，
∴m＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，
当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，
则OM＝2，
∴点M的坐标为（0．﹣2）；
当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，
∴OM＝2PG＝4，
∴点M的坐标为（0．﹣4）；
综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．