初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数中的不等式问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数中的不等式问题，共27页。
（1）k1＝ ，k2＝ ，b＝ ．
（2）直接写出不等式y2＞y1的解集；
（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S的最大值．
解：（1）∵A（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝上，
∴k2＝m＝2×1＝2，
∴A（1，2），
则，解得：，
∴k1＝﹣1，k2＝2，b＝3；
故答案为：﹣1，2，3；
（2）由图象得：不等式y2＞y1的解集是：0＜x＜1或x＞2；
（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，
∵PD＝﹣x+3，OD＝x，
则，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（k＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．
（1）求k的值；
（2）根据图象，直接写出当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集；
（3）求△AOD的面积．
解：（1）y＝﹣x+5，
当y＝0时，x＝5，
即OC＝5，C点的坐标是（5，0），
过A作AM⊥x轴于M，
∵S△AOC＝15，
∴＝15，
解得：AM＝6，
即A点的纵坐标是6，
把y＝6代入y＝﹣x+5得：x＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，6），
把A点的坐标代入y＝得：k＝﹣6；
（2）当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集是﹣1＜x＜0；
（3）∵CD：AC＝2：3，S△AOC＝15，
∴△AOD的面积＝S△AOC＝＝5．
3、如图①，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（2，6），B（a，3）两点，BC∥x轴（点C在点B的右侧），且BC＝m，连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，交反比例函数图象于点E．
（1）求b的值和反比例函数的解析式；
（2）填空：不等式﹣x+b＞的解为 ；
（3）当OC平分∠BOD时，求的值；
（4）如图②，取BC中点F，连接DF，AF，BD，当四边形ABDF为平行四边形时，求点F的坐标．
（1）将A（2，6）代入y＝﹣x+b得，﹣3+b＝6，
解得：b＝9，
将A（2，6）代入y＝得，k＝12，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）当y＝3时，3＝，
解得：x＝4，
∴B（4，3），
由图象可知不等式﹣x+b＞的解为：2＜x＜4，
故答案为：2＜x＜4；
（3）将B（a，3）代入y＝得，＝3，
解得：a＝4，
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵BC∥x轴，
∴∠BCO＝∠COD，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴OB＝BC，
∵B（4，3），
∴OB＝BC＝5，
∴C（9，3），
∴E（9，），D（9，0），
∴DE＝，CE＝3﹣＝，
∴＝＝；
（4）作AH⊥BC于H，则H（2，3），
∴AH＝3，BH＝2，
∵四边形ABDF为平行四边形，
∴AB∥DF，AB＝DF，
∴∠CFD＝∠CBQ，
∵∠AHB＝∠DCF＝90°，∠ABH＝∠CBQ，
∴∠CFD＝∠ABH，
∴△ABH≌△DFC（AAS），
∴CF＝BH＝2，
∵F是BC中点，
∴BF＝CF＝BC＝2，
∵B（4，3），
∴F（6，3）．
4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；
（3）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标．
解：（1）把A（3，5）代入，可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为；
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
（3）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴．
5、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝的图象经过点B．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集；
（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，直接写出点M的坐标和AM+BM的最小值．
解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F，
∵点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．
∴OA＝2，OC＝1，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠ACO＝90°，
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCF＝∠CAO，
在△AOC和△CFB中
∴△AOC≌△CFB（AAS），
∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，
∴点B的坐标为（﹣3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝，
解得：k＝﹣3，
故可得反比例函数解析式为y＝﹣；
将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：，
解得：．
故可得一次函数解析式为y＝﹣x﹣．
（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为：﹣3＜x＜0；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接 B A′与x轴 的交点即为点M，
∵A（0，2），
∴A′（0，﹣2），
设直线BA′的解析式为y＝ax+b，将点A′及点B的坐标代入可得：，
解得：．
故直线BA′的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，可得﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣2，
故点M 的坐标为（﹣2，0），
AM+BM＝BM+MA′＝BA′＝＝3．
综上可得：点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为3．
6、如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx+b与坐标轴交于A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）经过一次函数上一点C （2，a）．
（1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象；
（2）依据图象直接写出当x＞0时不等式kx+b＞的解集；
（3）若反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b交于C、D两点，使用直尺与2B铅笔构造以C、D为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b过点A（0，4），点B（8，0），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+4；
∵点C在一次函数图象上，
∴a＝﹣×2+4＝3，
∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C （2，3），
∴m＝6，
∴反比例函数解析式为：y＝，
图象如图所示：
（2）∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4交于C、D两点，
∴＝﹣x+4，
∴x1＝2，x2＝6，
∴点D（6，1），
由图象可得：当2＜x＜6时，y＝kx+b的图象在y＝图象的上方，
∴不等式kx+b＞的解集为2＜x＜6；
（3）如图，若以CD为边，则矩形ABDC，矩形A'B'DC为所求，
若以CD为对角线，则矩形DEDF为所求．
7、如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝k2x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，m）两点，一次函数的图象与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x为何值时，y2＞0？
（3）已知点P（0，a）（a＞0），过点P作x轴的平行线，在第一象限内交一次函数y2＝k2x+b的图象于点M，交反比例函数y1＝的图象于点N．结合函数图象直接写出当PM＞PN时a的取值范围．
解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，3），
∴，
∴k1＝3，
∴反比例函数表达式为：；
∵点B（3，m）在函数的图象上，
∴，
∴B（3，1）．
∵一次函数y2＝k2x+b的图象过点A（1，3），B（3，1），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为：y2＝﹣x+4；
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为，y2＝﹣x+4．
（2）∵当y2＝0时，﹣x+4＝0，x＝4，
∴C（4，0），
由图象可知，当x＜4时，y2＞0．
（3）如图，
由图象可得，当1＜a＜3时，PM＞PN．
8、对于平面直角坐标系xOy中的任意点P（ x，y），如果满足x+y＝a（x≥0，a为常数），那么我们称这样的点叫做“特征点”．
（1）当2≤a≤3时，
①在点A（1，2），B（1，3），C（2.5，0）中，满足此条件的特征点为 ；
②⊙W的圆心为W（m，0），半径为1，如果⊙W上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m的取值范围；
（2）已知函数Z＝+x（x＞0），请利用特征点求出该函数的最小值．
解：（1）①∵1+2＝3，1+3＝4，2.5+0＝2.5，
又∵2≤a≤3，
∴A，C是特征点．
故答案为：A，C．
②如图2中，
当⊙W1与直线y＝﹣x+2相切时，W1（2﹣，0），
当⊙W2与直线y＝﹣3相切时，W2（3+，0），
观察图象可知满足条件的m取值范围为：2﹣≤m≤3+．
（2）∵x＞0，
∴y＝的图象在第一象限，这个图象上的点的坐标为（x，），
∵特征点满足x+y＝a（x≥0，a为常数），
∴x+＝a，特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，x+的值最小（如图3中），
此时交点的坐标为（1，1），
∴Z＝x+的值最小，最小值为2．
9、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．
（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；
（2）求△AOD的面积；
（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，
∴点A，点B关于原点对称，
∴点B的横坐标为1，
∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；
（2）连接OC，OE，
由图象知，点A，点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴OC＝AB＝AO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∴S△AEO＝S△ACE＝，
∵AD＝2DE，
∴AE＝DE，
∴S△AOD＝2S△AOE＝3；
（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，
则EF∥AH，
∵AD＝2DE，
∴DE＝EA，
∵EF∥AH，
∴＝＝1，
∴DF＝FH，
∴EF是△DHA的中位线，
∴EF＝AH，
∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，
∴OF•EF＝OH•HA，
∴OH＝OF，
∴OH＝HF，
∴DF＝FH＝HO＝DO，
∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，
∴﹣＝1，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣，
∵点A在y＝﹣的图象上，
∴把x＝﹣1代入得，y＝2，
∴A（﹣1，2），
∵点A在直线y＝mx上，
∴m＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，
当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，
则OM＝2，
∴点M的坐标为（0．﹣2）；
当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，
∴OM＝2PG＝4，
∴点M的坐标为（0．﹣4）；
综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．
10、如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集： ．
（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．
解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，
∴B（3，4），
∵OD＝DB，
∴D（，2），
∵y＝经过D（，2），
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）如图①中，连接OE，OF．
由题意E（，4），F（3，1），
∴S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB＝12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×（3﹣）＝．
（3）观察图象可知：在第一象限内，关于x的不等式kx+b≤的解集为：0＜x＜或x＞3．
故答案为：0＜x＜或x＞3．
（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．
由题意OB＝OH＝5，
∴CH＝OH﹣OC＝5﹣3＝2，
∴BH＝＝＝2，
∴sin∠CBH＝＝，
∵OM⊥BH，
∴∠OMH＝∠BCH＝90°，
∵∠MOH+∠OHM＝90°，∠CBH+∠CHB＝90°，
∴∠MOH＝∠CBH，
∵OB＝OH，OM⊥BH，
∴∠MOB＝∠MOH＝∠CBH，
∴sin∠JOD＝，
∴NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，
∴NH+ON＝NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值＝HK的长，
∵OB＝OH，BC⊥OH，HK⊥OB，
∴HK＝BC＝4，
∴HN+ON是最小值为4．
11、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），tan∠ACO＝2．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝的图象经过点B．
（1）一次函数关系式为 、反比例函数的关系式为 ；
（2）当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为 ；
（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，并求M的坐标和AM+BM的最小值．
（4）若x轴上有两点E、F，点E在点F的左边，且EF＝1．当四边形ABEF周长最小时，请直接写出点E的横坐标为 ．
解：（1）如图1中，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵点C坐标为（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵tan∠ACO＝2＝，
∴OA＝2，
点A坐标为（0，2）．
∴OA＝2，OC＝1，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠ACO＝90°，
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCF＝∠CAO，
∴△AOC≌△CFB（AAS），
∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，
∴点B的坐标为（﹣3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝，
解得：m＝﹣3，
故可得反比例函数解析式为y＝﹣，
将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：
，
解得：．
故可得一次函数解析式为y＝﹣x﹣．
故答案为：y＝﹣x﹣，y＝﹣．
（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为：﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
（3）如图2中，作点A关于x轴的对称点A′，连接 B A′与x轴 的交点即为点M，
设直线BA'的解析式为y＝ax+b，将点A'及点B的坐标代入可得：
，解得：，
故直线BA'的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，可得﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，故点M 的坐标为（﹣2，0），
AM+BM＝BM+MA′＝BA′＝＝3，
综上可得：点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为3．
（4）如图3中，把B向右平移1个单位得到B′（﹣2，1），作点A关于x轴的对称点A′（0，﹣2），连接A′B′交x轴于点F，
∵直线A′B′的解析式为y＝﹣x﹣2，
∴F（﹣，0），
∴OF＝
∴OE＝1+＝
∴点E的横坐标为﹣，
故答案为﹣．