初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 待定系数法

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 待定系数法，共24页。

待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
【典例分析】
例1、一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图像如图所示，根据图像信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为（ ）
A. x=−1B. x=2C. x=0D. x=3
【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数解析式．
首先利用待定系数法把(2,3)，(0,1)代入y=kx+b，可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，求出一次函数解析式，再求出方程kx+b=0的解即可．
【解答】
解：∵一次函数y=kx+b经过点(2,3)，(0,1)，
∴b=13=2k+b,
解得：b=1k=1,
∴一次函数的解析式为y=x+1，
即x+1=0，
解得：x=−1，
故选A．
例2、如图，抛物线y=−x2+2x+3经过点A、B、C，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M(m,0)是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，则实数m的变化范围为______ ．
【答案】−54≤m≤5
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、函数与坐标轴的交点、相互垂直的两条直线的特点等知识点，得到m与n的函数关系式是解题的关键．
先求得抛物线的顶点坐标和点C的坐标，设点N的坐标为(1,n)，0≤n≤4，依据待定系数法求得NC的解析式(用含n的式子表示)，然后根据相互垂直的两直线的一次项系数积为−1可得到直线MN的一次项系数，然后由点N的坐标可求得MN的解析式(用含n的式子表示)，接下来，令y=0可求得m的值(用含n的式子表示)，最后依据二次函数的性质求得m的最大值和最小值即可求得m的取值范围．
【解答】
解：如图所示：
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．
∵将x=0代入y=−x2+2x+3得：y=3，
∴C(0,3)．
设点N的坐标为(1,n)，0≤n≤4．
设直线CN的解析式为y=kx+3．
将N(1,n)代入得：k+3=n，解得：k=n−3．
∵∠MNC=90°，
∴直线NM的一次项系数为13−n(0≤n≤4且n≠3)．
设直线MN的解析式为y=13−nx+b．
∵将N(1,n)代入得：13−n+b=n，解得：b=n−13−n，
∴直线MN的解析式为y=13−nx+n−13−n．
∵当y=0时，13−nx+n−13−n=0，
解得：x=n2−3n+1，即m=n2−3n+1(0≤n≤4且n≠3)．
当n=3时，点M(1,0)与点F重合，
即m=1，n=3符合m=n2−3n+1，
故m=n2−3n+1(0≤n≤4)．
∵m=n2−3n+1=(n−32)2−54，
∴当n=32时，m有最小值−54．
当n=4时，m有最大值，m的最大值=42−3×4+1=5．
∴m的取值范围是：−54≤m≤5．
故答案为：−54≤m≤5．
例3、在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1,2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到，
∴k=1，
将点(1,2)代入y=x+b，
得1+b=2，解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)把点(1,2)代入y=mx求得m=2，
∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值，
∴m≥2．
【解析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
(1)先根据直线平移时k的值不变得出k=1，再将点A(1,2)代入y=x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)根据点(1,2)结合图象即可求得．
【好题演练】
一、选择题
关于x的一次二项式ax+b的值随x的变化而变化，分析下表列举的数据，若ax+b=11，则x的值是（ ）
A. 3B. −5C. 6D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，以及代数式求值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
设y=ax+b，把(0,−1)和(1,1)代入求出a与b的值，即可求出所求．
【解答】
解：设y=ax+b，
把(0,−1)和(1,1)代入得a+b=1b=−1,
解得a=2b=−1,
∴2x−1=11，
解得：x=6．
故选C．
分解因式：6x2−13xy+6y2+5x−10y−4的结果为（ ）
A. (2x−3y+1)(3x−2y−4)B. (2x−3y−1)(3x−2y+4)
C. (2x−3y−2)(3x−2y+2)D. (2x−3y+2)(3x−2y−2)
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了多项式的因式分解，解答此题可采用待定系数法，解答此题可设6x2−13xy+6y2+5x−10y−4=(2x−3y+a)(3x−2y+b)，然后展开比较可得关于a，b的方程组，从而可得a，b的值，即可分解多项式，从而可得结论．
【解答】
解∵6x2−13xy+6y2=(2x−3y)(3x−2y)，
∴可设6x2−13xy+6y2+5x−10y−4=(2x−3y+a)(3x−2y+b)，
即6x2−13xy+6y2+5x−10y−4=6x2−13xy+6y2+(3a+2b)x+(−2a−3b)y+ab，a、b为待定系数，
∴3a+2b=5,−2a−3b=−10ab=−4,,
解得a=−1，b=4，
∴原式=(2x−3y−1)(3x−2y+4)．
故选B．
已知一次函数y=32x+m和的图象都经过点A−2,0，且与y轴分别交于B，C两点，那么▵ABC的面积是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查依次函数的应用，属于中档题．
首先把(−2,0)分别代入一次函数y=32x+m和y=−12x+n，求出m，n的值，则求出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【解答】
解：y=32x+m与y=−12x+n的图象都过点A(−2,0)，
∴可得0=32×(−2)+m，0=−12×(−2)+n，
∴m=3，n=−1，
∴两函数表达式分别为y=32x+3，y=−12x−1，
直线y=32x+3与y=−12x−1与y轴的交点分别为B(0,3)，C(0,−1)，
S△ABC=12BC⋅AO=12×4×2=4．
故选C．
已知y与x的函数关系式是由两部分的和组成，一部分与x2成正比，另一部分是常数，且y与x的对应关系如表，则y与x的函数关系式为（ ）
A. y=2x2−5B. y=2x−1C. y=−25x2+35D. y=2x+1
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求h函数的解析式.解题的关键是根据题意设函数解析式，然后将x、y的值代入所设解析式即可求出待定的系数即可作出判断．
【解答】
解：由题意设y与x的解析式为y=ax2+b，
把x=2，y=3和x=−1，y=−3代入得
4a+b=3a+b=−3，解得a=2b=−5，
∴y与x的函数关系式为y=2x2−5．
故选A．
正比例函数y=kx，当x每增加3时，y就减小4，则k=（ ）
A. 34B. −34C. 43D. −43
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y=kx，然后把一个点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．
由于自变量增加3，函数值相应地减少4，则y−4=k(x+3)，然后展开整理即可得到k的值．
【解答】
解：根据题意得y−4=k(x+3)，
y−4=kx+3k，
而y=kx，
所以3k=−4，
解得k=−43．
故选D．
已知y与x成正比，当x=2时，y=8，那么当y=16时，x等于（ ）
A. 4B. −4C. 3D. −3
【答案】A
【解析】
【分析】
设出函数解析式，将x=2,y=8代入函数解析式即可求出k的值，进而可得解析式，再把y=16代入可得答案．
【解答】
解：设y=kx，
把x=2,y=8代入上式得：
则8=2k，
解得，k=4．
∴函数解析式为y=4x，
把y=16代入可得：16=4x，
解得：x=4，
故选A．
二、填空题
已知y−2与x成正比例，且x=2时，y=4，则y与x的函数关系式是_________；当y=3时，x=__________．
【答案】y=x+2 1
【解析】
【分析】
本题主要考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式.解题关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的具体步骤.先根据题意把 y−2看成一个整体，因为 y−2与 x成正比例，设 y−2= kx，将 x=2， y=4代入，求出 k即可得函数关系式为 y= x+2.把y=3代入函数关系式，可得 x的值为1．
【解答】
解：设y与x的函数关系式为y−2=kx，
∴2k=4−2，
解得k=1，
∴y−2=x，
∴y=x+2．
∴y与x的函数关系式为y=x+2．
把y=3代入函数关系式，可得 x=1，
故答案为y=x+2，1．
已知y−2与2x+1成正比例，且当x=2时，y=−7，则y与x的函数解析式是 ．
【答案】y=−185x+15
【解析】
【分析】
此题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，根据y−2与2x+1成正比例，设y−2=k(2x+1)，根据当x=2时，y=−7，得到k的值，即可得到y与x的函数解析式．
【解答】
解：∵y−2与2x+1成正比例，
∴设y−2=k(2x+1)，
∵当x=2时，
y=−7，
∴−7−2=5k，
即k=−95，
∴y−2=−95(2x+1)，
∴y=−185x+15，
故答案为y=−185x+15．
已知y−3与x−2成正比，且当x=−2时,y=−1，则y与x的函数解析式为________．
【答案】y=x+1
【解析】
【分析】
此题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，根据y−3与x−2成正比例，设y−3=k(x−2)，根据当x=−2时，y=−1，得到k=1，即可得到y与x的函数解析式．
【解答】
解：∵y−3与x−2成正比例，
∴设y−3=k(x−2)，
∵当x=−2时，
y=−1，
∴−4=−4k，
即k=1，
∴y−3=x−2，
∴y=x+1，
故答案为y=x+1．
某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示，则旅客可免费携带的行李的质量是_______kg．
【答案】30
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
由图已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，即y=0，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少．
【解答】
解：设一次函数y=kx+b，
∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10，
∴60k+b=680k+b=10
∴k=15b=−6,
∴所求函数表达式为y=15x−6，
当y=0时，15x−6=0，
∴x=30，
故旅客可免费携带的行李的质量是30kg．
故答案为30．
已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(1,−5)，且与直线y=−3x+2平行，那么该一次函数的解析式为_________．
【答案】y=−3x−2
【解析】
【分析】
此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
根据两条直线平行，则k值相等，再根据一次函数的图象经过点(1,−5)，求得b的值，就得到函数解析式．
【解答】
解：∵y=kx+b与直线y=−3x+2平行，
∴k=−3，
∴y=−3x+b，
∵一次函数的图象经过点(1,−5)，
∴b=−2.
∴这个一次函数的解析式是y=−3x−2.
故答案为y=−3x−2．
若y−2与x−3成正比例，且x=4时，y=3，则y与x的函数解析式为________．
【答案】y=x−1
【解析】
【分析】
此题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，根据y−2与x−3成正比例，设y−2=k(x−3)，根据当x=4时，y=3，得到k=1，即可得到y与x的函数解析式．
【解答】
解：∵y−2与x−3成正比例，
∴设y−2=k(x−3)，
∵当x=4时，y=3，
∴3−2=k，
即k=1，
∴y−2=x−3，
∴y=x−1，
故答案为y=x−1．
三、解答题
为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
(1)直接写出当0≤x≤300和x>300时，y与x的函数关系式；
(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】解：(1)y=130x(0≤x≤300)80x+15000(x>300)
(2)设甲种花卉种植为am2，则乙种花卉种植(1200−a)m2．
∴a≥200a≤2(1200−a)，
∴200≤a≤800
当200≤a≤300时，W1=130a+100(1200−a)=30a+120000．
当a=200 时．Wmin=126000元
当300当a=800时，Wmin=119000元
∵119000<126000
∴当a=800时，总费用最少，最少总费用为119000元．
此时乙种花卉种植面积为1200−800=400m2．
答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2和400m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元．
【解析】本题是看图写函数解析式并利用解析式的题目，考查分段函数的表达式和分类讨论的数学思想．
(1)由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
(2)设甲种花卉种植为am2，则乙种花卉种植(1200−a)m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
如图，直线y=−12x−3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y=ax2+bx−3与x轴的另一个交点为点B(2,0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC.设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
(3)连接BC，若∠EAD=∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．
【答案】解：(1)在y=−12x−3中，当y=0时，x=−6，
即点A的坐标为：(−6,0)，
将A(−6,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx−3得：
36a−6b−3=04a+2b−3=0，
解得：a=14b=1，
∴抛物线的解析式为：y=14x2+x−3；
(2)如图，设DE交AC于点F，
设点D的坐标为：(m,14m2+m−3)，则点F的坐标为：(m,−12m−3)，
∴DF=−12m−3−(14m2+m−3)=−14m2−32m，
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC
=12DF⋅AE+12⋅DF⋅OE
=12DF⋅OA
=12×(−14m2−32m)×6
=−34m2−92m
=−34(m+3)2+274，
∵a=−34<0，
∴抛物线开口向下，
∴当m=−3时，S△ADC存在最大值274，
又∵当m=−3时，14m2+m−3=−154，
∴存在点D(−3,−154)，使得△ADC的面积最大，最大值为274；
(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(−4,−3)，根据对称性此时∠EAD=∠ABC．
②作点D(−4,−3)关于x轴的对称点D'(−4,3)，
设直线AD'的解析式为y=kx+n，则
0=−6k+n3=−4k+n,
解得：k=32n=9,
∴直线AD'的解析式为y=32x+9，
联立y=32x+9y=14x2+x−3，解得x=−6y=0或x=8y=21，
此时直线AD'与抛物线交于D(8,21)，满足条件，
综上所述，满足条件的点D坐标为(−4,−3)或(8,21)
【解析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．
(1)首先得出A点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
(2)首先表示出DF的长，再利用S△ADC=S△ADF+S△DFC，进而得出面积与点坐标的函数解析式，即可求最值得出答案；
(3))①当点D与点C关于对称轴对称时，D(−4,−3)，根据对称性此时∠EAD=∠ABC．
②作点D(−4,−3)关于x轴的对称点D'(−4,3)，求出直线AD'与抛物线的交点即可解决问题．
如图，直线y=kx+k分别交x轴、y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于点B，且OA=13OC，∠CBA=45°，
(1)求直线BC的解析式；
(2)若动点P从点C以每秒1个单位的速度向 y轴负方向运动，当t为何值时，代 数式AP+22CP的值最小；
(3)若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点Q和点M的坐标．
【答案】28.解：(1)直线y=kx+k分别交x轴、y轴于点A，C，则点A(−1,0)，
且OA=13OC，则点C(0,3)，则k=3，
故直线AC的表达式为：y=3x+3，
∵∠CBA=45°，∴OB=OC=3，∴点B(3,0)，
∵点C(0,3)、点B(3,0)，则直线BC的表达式为：y=−x+3；
(2)过点A作PH⊥BC交BC于点H，交y轴于点P，
此时，AP+22CP的值最小．
由(1)得直线BC的表达式为：y=−x+3；
由于PH⊥BC，
图1
所以设直线AP的表达式为：y=x+b；将A(−1,0)代入得： b=1，
∴直线BC的表达式为：y=−x+3；
∴ P(0,1)
∴CP=2；
∴t=2．
(3)设点M(0,m)，点Q(n,3n+3)，
①如图2(左侧图)，
当∠BMQ=90°时，(点M在x轴上方)，
分别过点Q、P作y轴的平行线QG、BH，过点M作x轴的平行线分别交GQ、BH于点G、H，
∵∠GMQ+∠MQG=90°，∠GMQ+∠HMB=90°，
∴∠HMB=∠GQM，
∠MHB=∠QGM=90°，MB=MQ，
∴△MHB≌△QGM(AAS)，
∴GQ=MH，BH=GM，
即：m=−n，m−3n−3=3，
解得：m=，n=−；
故点M(0,)、点Q(−，−)；
同理当点M在x轴下方时，
3n+3−m=3且−m=−n，解得：m=n=0(舍去)；
②当∠MQB=90°时，
同理可得：−n=−3n−3，3n+3−m=3−n，
解得：m=−6，n=−，
故点M(0,−6)、点Q(−，−)；
③当∠QBM=90°时，
同理可得：−3n−3=3，m=3−n
解得：m=5，n=−2，
点M(0,5)、点Q(−2,−3)；
综上，M(0,)、Q(−，−)或M(0,−6)、Q(−，−)或M(0,5)点Q(−2,−3)．
【解析】【试题解析】
本题主要考查了求一次函数解析式，常用三角函数值的应用；动点问题，转化思想，数形结合思想，分类讨论思想。
解题时要注意定点的应用，三角函数值的应用。对于等腰直角三角形要知道讨论直角顶点的位置。
阅读下列材料
1637年笛卡儿(R.Descartes,1596−1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于x的多项式能被(x−a)整除，则其一定可以分解为(x−a)与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，x=a是关于x的这个方程的一个根．
例如：多项式x2+9x−10可以分解为(x−1)与另外一个整式M的乘积，即x2+9x−10=(x−1)M，令x2+9x−10=0时，可知x=1为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+2x2−3．
观察知，显然x=1时，原式=0，因此原式可分解为(x−1)与另一个整式的积．
令：x3+2x2−3=(x−1)(x2+bx+c)，
而(x−1)(x2+bx+c)=x3+(b−1)x2+(c−b)x−c，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：b−1=2c−b=0−c=−3，得b=3c=3，从而x3+2x2−3=(x−1)(x2+3x+3)．
此时，不难发现x=1是方程x3+2x2−3=0的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．
(2)若多项式3x4+ax3+bx−34含有因式x+1及x−2，求a+b的值．
(3)若多项式6x2−xy−2y2+5x−8y+a可以分解为两个一次因式之积，求a的值并将该多项式分解因式．
【答案】解：(1)x3+ax+1=(x+1)(x2+bx+c)=x3+(b+1)x2+(b+c)x+c，
∴b+1=0b+c=ac=1，解得a=0b=−1c=1
∴x3+ax+1=(x+1)(x2−x+1)；
(2)设3x4+ax3+bx−34=(x+1)(x−2)⋅M(其中M为二次整式)，
由材料可知，x=−1，x=2是方程3x4+ax3+bx−34=0的解，
∴求得a=8，b=−39，
∴a+b=8+(−39)=−31；
(3)∵6x2−xy−2y2=(2x+y)(3x−2y)，
∴令6x2−xy−2y2+5x−8y+a=[(2x+y)+c][(3x−2y)+d]，
则上式=6x2−xy−2y2+(2d+3c)x+(d−2c)y+cd，
∴2d+3c=5d−2c=−8cd=a,
∴a=−6d=−2c=3，
∴6x2−xy−2y2+5x−8y+a=6x2−xy−2y2+5x−8y−6=[(2x+y)+3][(3x−2y)−2]=(2x+y+3)(3x−2y−2)
【解析】本题考查了分解因式，熟练掌握待定系数法求解是解题的关键．
(1)根据材料，利用待定系数法求解即可；
(2)把x=−1，x=2代入求出a，b的值即可；
(3)令6x2−xy−2y2+5x−8y+a=[(2x+y)+c][(3x−2y)+d]，利用待定系数法求解即可．
阅读：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
【答案】解：设另一个因式为x+n，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)，
则x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴n+3=−4m=3n，
解得，m=−21n=−7，
∴另一个因式为x−7，m的值为−21．
【解析】本题考查了多项式乘以多项式及因式分解的应用，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题关键．设另一个因式是(x+n)，则x2−4x+m=(x+3)(x+n)=x2+(n+3)x+3n，根据对应项的系数相等即可求得n和m的值．
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点C与坐标原点O重合，D(0,2)，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

(1)求证：△AMB≌△ENB；
(2)当AM+CM的值最小时，直接写出点M的坐标；
(3)当AM+BM+CM的值最小时，作图找出此时点M的位置(保留作图痕迹，不写作法)并求出点M的坐标．
【答案】(1)证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM=BN，∠MBN=60°，
∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠ABM+∠ABN=60°，∠EBN+∠ABN=60°，
∴∠ABM=∠EBN，
在△AMB和△ENB中AB=EB∠ABM=∠EBNBM=BN,
∴△AMB≌△ENB(SAS)；
(2)解：连接AC，AC与BD相交于点Oˈ，如图1，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AC=22，点Oˈ为BD的中点，
∵AM+CM≥AC(当M点在AC上时取等号)，
∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为22，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD=2，
∴B(−2,0)，
∵D(0,2)，
∴M(−1,1)；
(3)连接EC交BD于M，以点B为圆心BM为半径画弧交EC于N；
∵△BMN为等边三角形，
∴BM=MN，
∵△AMB≌△ENB，
∴EN=AM，
∴当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2所示，
作EH⊥BC于H，
∵∠ABE=60°，∠ABC=90°，
∴∠EBH=30°，在Rt△EBH中，EH=12BE=1，BH=3EH=3，
∴OH=OB+BH=2+3，
∴E(−2−3,1)，
∴直线OE的解析式为y=−(3+2)x①，∵B(−2,0)，D(0,2)，
∴直线BD的解析式为y=x+2②，联立①②得x=−139+53y=133−3,
∴M(−13(9+53),13(3−3))．
【解析】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质；会利用含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理进行计算；待定系数法，会运用两点之间线段最短解决有关线段的和的最小值问题，解本题的关键是找出取最小值时M的位置．
(1)根据旋转的性质得BM=BN，∠MBN=60°，则可判断△ABE是等边三角形，得到BA=BE，∠ABE=60°，易得∠ABM=∠EBN，然后根据“SAS”可判断△AMB≌△ENB；(2)①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，根据正方形的性质得AC=22，点O为BD的中点，根据两点之间线段最短得到AM+CM≥AC(当M点在AC上时取等号)，于是得到当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最后用中点坐标公式即可得出结论；②由△BMN为等边三角形得BM=MN，由△AMB≌△ENB得EN=AM，根据两点之间线段最短，当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，进而作出图形，作EH⊥BC于H，先计算出∠EBH=30°，进而求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线OE，BD的解析式联立即可确定出点M的坐标．
x
−1
0
1
1.5
ax+b
−3
−1
1
2
x
2
−1
y
3
−3