初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数中的平行四边形问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数中的平行四边形问题，共29页。
（1）求反比例函数解析式；
（2）若四边形ACBO的面积为3，求点A的坐标．
解：（1）作BD⊥OC于D，如图，
∵△BOC为等边三角形，
∴OD＝CD＝OC＝1，
∴BD＝OD＝，
∴B（﹣1，﹣），
把B（﹣1，﹣）代入y＝得k＝﹣1×（﹣）＝，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）设A（t，），
∵四边形ACBO的面积为3，
∴×2×+×2×＝3，解得t＝，
∴A点坐标为（，2）．
2、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点．已知AB＝6，AD＝8，∠DAB＝60°，点B的坐标为（﹣6，0）．
（1）求点D和点M的坐标；
（2）如图①，将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D′和点M的对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以B′，C′，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
解：（1）∵AB＝6，点B的坐标为（﹣6，0），
∴点A（﹣12，0），
如图1，过点D作DE⊥x轴于点D，
则ED＝ADsin∠DAB＝8×＝4，同理AE＝4，
故点D（﹣8，4），则点C（﹣2，4），
由中点公式得，点M（﹣4，2）；
（2）图象向右平移了a个单位，则点D′（a﹣8，4）、点M′（a﹣4，2），
∵点D′M′都在函数上，
∴（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2，
解得：a＝12，
则k＝（12﹣8）×4＝16，
故反比例函数的表达式为＝；
（3）由（2）知，点M′的坐标为（8，2），点B′、C′的坐标分别为（6，0）、（10，4），
设点P（m，2），点Q（s，t）；
①当B′C′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′，
过点C′作C′H⊥l交于点H，C′H＝4﹣2＝2，
直线B′C′的倾斜角为60°，则∠M′PC′＝30°，PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝2＝6，
故点P的坐标为（16，2），
由题意得：点P、Q′关于点C′对称，由中点公式得，点Q的坐标为（12，﹣4）；
同理点Q、Q′关于点M′对称，由中点公式得，点Q′（4，6）；
故点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）；
②当B′C′是矩形的对角线时，
∵B′C′的中点即为PQ的中点，且PQ＝B′C′，
∴，解得：，，
故点Q的坐标为（4，2）或（12，2）；
综上，点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）．
3、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，4）．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0），当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写过程）．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵B（4，1），C（4，4），
∴BC⊥x轴，AD＝BC＝3，
而A点坐标为（1，0），
∴点D的坐标为（1，3）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D（1，3），
∴3＝，
∴m＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）当x＝4时，y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4，
∴一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）设点P的横坐标为a，
∵一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，
∴k＞0，P点的纵坐标要小于4，横坐标大于4，
当纵坐标小于4时，
∵y＝，
∴＜4，解得：a＞，
则a的范围为a＞1或a＜．
4、小亮在研究矩形的面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到如表数据：
结果发现一个数据被墨水涂黑了，
（1）被墨水涂黑的数据为 ；
（2）y与x的函数关系式为 ，且y随x的增大而 ；
（3）如图是小亮画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1与S2的大小关系，并说明理由；
（4）在（3）的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y＝的图象经过点G交AB于点H，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为 ．
解：（1）从表格可以看出xy＝6，
∴墨水盖住的数据是6÷1.5＝4；
故答案为4；
（2）由xy＝6，得到y＝，y随x的增大而减少；
故答案为y＝；减少；
（3）S1＝OA•OC＝k＝6，S2＝OD•OF＝k＝6，
∴S1＝S2；
（4）∵S四边形OCBA＝OA•OB＝6，S△OCG＝OD•OG＝×2＝1，S△OCG＝OA•OH＝×2＝1，
∴S四边形OGBH＝S四边形OCBA﹣S△OCG﹣S△OAH＝6﹣1﹣1＝4；
故答案为4；
5、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点．已知AB＝6，AD＝8，∠DAB＝60°，点B的坐标为（﹣6，0）．
（1）求点D和点M的坐标；
（2）如图①，将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D′和点M的对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以B′，C′，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
解：（1）∵AB＝6，点B的坐标为（﹣6，0），
∴点A（﹣12，0），
如图1，过点D作DE⊥x轴于点D，
则ED＝ADsin∠DAB＝8×＝4，同理AE＝4，
故点D（﹣8，4），则点C（﹣2，4），
由中点公式得，点M（﹣4，2）；
（2）图象向右平移了a个单位，则点D′（a﹣8，4）、点M′（a﹣4，2），
∵点D′M′都在函数上，
∴（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2，
解得：a＝12，
则k＝（12﹣8）×4＝16，
故反比例函数的表达式为＝；
（3）由（2）知，点M′的坐标为（8，2），点B′、C′的坐标分别为（6，0）、（10，4），
设点P（m，2），点Q（s，t）；
①当B′C′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′，
过点C′作C′H⊥l交于点H，C′H＝4﹣2＝2，
直线B′C′的倾斜角为60°，则∠M′PC′＝30°，PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝2＝6，
故点P的坐标为（16，2），
由题意得：点P、Q′关于点C′对称，由中点公式得，点Q的坐标为（12，﹣4）；
同理点Q、Q′关于点M′对称，由中点公式得，点Q′（4，6）；
故点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）；
②当B′C′是矩形的对角线时，
∵B′C′的中点即为PQ的中点，且PQ＝B′C′，
∴，解得：，，
故点Q的坐标为（4，2）或（12，2）；
综上，点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）．
6、已知，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C坐标分别为A（2，0），C（﹣1，2），反比例函数y＝的图象经过点B（m≠0）
（1）求出反比例函数的解析式
（2）将▱OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，作出点D并判断点D是否在反比例函数y＝的图象上
（3）在x轴是否存在一点P使△OCP为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）分别过点C、B作x轴的垂线，垂足分别为：E、F，
∵四边形OABC为平行四边形，则∠COE＝∠BAF，CO＝AB，
∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF＝OE＝1，
故点B（1，2），故m＝2，
则反比例函数表达式为：y＝；
（2）翻折后点D的坐标为：（﹣1，﹣2），
∵（﹣1）•（﹣2）＝2，
∴D在反比例函数y＝的图象上；
（3）当OP＝OC时，点P（，0）；
当OC＝PC时，点P（﹣2，0）；
当OP＝PC时，设点P（m，0），
则m2+（m+1）2+4，解得：m＝﹣2.5；
综上，点P的坐标为：（，0）或（﹣2，0）或（﹣2.5，0）．
7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，4）．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0），当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写过程）．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵B（4，1），C（4，4），
∴BC⊥x轴，AD＝BC＝3，
而A点坐标为（1，0），
∴点D的坐标为（1，3）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D（1，3），
∴3＝，
∴m＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）当x＝4时，y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4，
∴一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）设点P的横坐标为a，
∵一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，
∴k＞0，P点的纵坐标要小于4，横坐标大于4，
当纵坐标小于4时，
∵y＝，
∴＜4，解得：a＞，
则a的范围为a＞1或a＜．
8、如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为 ．
解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB，
设OH＝BH＝a，则A（a，），C（2a，），
∵AH∥BC，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝，
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝＝．
9、如图，点A（1，3）为双曲线上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为y轴正半轴上一点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN的面积为，则点N的坐标为 ．
解：连接ON，
∵点A（1，3）为双曲线上，
∴k＝3，即：y＝；
由双曲线的对称性可知：OA＝OB，
∴S△MBO＝S△MAO，S△NBO＝S△NAO，
∴S△MON＝S△BMN＝，
设点M（0，m），N（n，），
∴mn＝，即，mn＝，①
设直线AM的关系式为y＝kx+b，将M（0，m）A（1，3）代入得，
b＝m，k＝3﹣m，
∴直线AM的关系式为y＝（3﹣m）x+m，
把N（n，）代入得，＝（3﹣m）×n+m，②
由①和②解得，n＝，
当n＝时，＝，
∴N（，），
故答案为：（，）．
10、如图，等边△OAB的边AB与y轴交于点C，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，且BC＝2AC，则等边△OAB的边长为 ．
解：设点A（a，），等边三角形的边长为b，
过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交AM的延长线于点E，过点O作ON⊥AB与点N，
则AN＝AB＝b，ON＝b，
∵AN＝b，AC＝b，
∴CN＝AN﹣AC＝b，
∵CM∥BE，
∴＝，即＝，则AE＝3a，
∵∠OCN＝∠ACM＝∠ABE，
∴△ONC∽△AEB，
∴＝，即＝，
解得：BE＝a，
AB2＝AE2+BE2，则b2＝9a2+a2＝a2，
∵点A（a，），
∴AB2＝a2+＝a2，
解得：a2＝3，b＝2，
故答案为2．
11、如图，直线y＝mx﹣1交y轴于点B，交x轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（﹣1，a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上，D点在双曲线y＝（x＞0）上，则k的值为 ．
解：∵A（﹣1，a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上，
∴a＝2，
∴A（﹣1，2），
∵点B在直线y＝mx﹣1上，
∴B（0，﹣1），
∴AB＝＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝，
设C（n，0），
∴＝，
∴n＝﹣3（舍）或n＝3，
∴C（3，0），
∴点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位，
∴点D是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位，
∴点D（2，3），
∵D点在双曲线y＝（x＞0）上，
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．
12、如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转α度，tanα＝，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 ．
解：如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，
则△AEF∽△FDB，
∵tanα＝，
∴＝＝，
∴设BD＝a，则EF＝2a，
∵点A（2，3）和点B（0，2），
∴DF＝2﹣2a，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∴AE＝2DF＝4﹣4a，
∵AE+OD＝3，
∴4﹣4a+2﹣a＝3，
解得a＝，
∴F（ ，），
设直线AF的解析式为y＝kx+b，则，解得 ，
∴y＝x+，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴y＝，
解方程组 ，可得 或 ，
∴C（﹣，﹣），
故答案为（﹣，﹣）．
13、如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为 ．
解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，连接OC，如图，
∵AB过原点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△CAB为等腰三角形，
∴OC⊥AB，
∴∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝30°，
∴OA＝OC，
∵∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠COE，
∴Rt△AOD∽Rt△OCE，
∴＝（）2＝（）2＝3，
而S△OAD＝×|﹣6|＝3，
∴S△OCE＝1，
即|k|＝1，
而k＞0，
∴k＝2．
14、以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为 ．
解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．
∵CD＝BD，
∴S△CDO＝＝S矩形ABCD，
∵S△AOE＝＝S△CDO＝S矩形ABCD，
∴AE＝EB，
∵C′（2，4），
∴AE＝EB＝4，
在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，
∴m2＝42+（m﹣2）2，
∴m＝5，
∴E（5，4），
∴B（5，8），则BC＝5，
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
∴C′G＝2，CG＝4，
∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即（4﹣FG）2＝22+FG2，
∴FG＝，
∴CF＝4﹣＝，
∴tan∠CBF＝＝＝．
故答案是：．
15、如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为 ；
解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，
∴k＝xy＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝．
故答案为：y＝．
16、如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．
解：连DC，如图，
∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，
而点D为OB的中点，
∴BD＝OD＝b，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，
∴ab＝，
把A（a，b）代入双曲线y＝，
∴k＝ab＝．
故答案为：．
17、如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y＝交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是 ．
解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
由直线y＝﹣x+2可知A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA＝OB＝2，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB＝2，
∴EF＝AB＝，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴FD＝DE＝EF＝1，
设F点横坐标为t，代入y＝﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F的坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），
∴t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t＝，
∴E点坐标为（，），
∴k＝×＝．
故答案为．
x
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
y
12
6
■
3
2
1.5
1
0.5