初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数中的有关面积问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数中的有关面积问题，共23页。试卷主要包含了反比例函数的几何意义，利用k的几何意义进行面积转化等内容，欢迎下载使用。

1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
二、利用k的几何意义进行面积转化
1.如图，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，
那么，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，就比较低
2.如图，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则根据的几何意义可得，，而，所以，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
【针对训练】
1、如图，△BOD都是等腰直角三角形，过点B作AB⊥OB交反比例函数y＝（x＞0）于点A，过点A作AC⊥BD于点C，若S△BOD﹣S△ABC＝3，则k的值为 ．
解：设A点坐标为（a，b），
∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，OD＝BD
∵S△BOD﹣S△ABC＝3，
OD2﹣AC2＝3，OD2﹣AC2＝6，
∴（OD+AC）（OD﹣AC）＝6，
∴a•b＝6，
∴k＝6．
故答案为6．
2、如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD＝ ．
解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数y＝的第一象限图象上，
∴（a+b）×（a﹣b）＝a2﹣b2＝8．
∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝×8＝4．
故答案为：4．
3、如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═（k≠0）的图象
交于点A与点B（a，﹣4）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝；（2）点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．
【解析】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1
∴B（﹣1，﹣4）
将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k＝4
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图：
设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）
∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m
∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3
解得：m＝5或﹣2或1或2
∵点P不与点A重合，且A（4，1）
∴m≠4
又∵m＞0
∴m＝5或1或2
∴点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．
4、如图所示，函数y1＝kx+b的图象与函数（x＜0）的图象交于A（a﹣2，3）、B（﹣3，a）两点．
（1）求函数y1、y2的表达式；
（2）过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴，试问在线段AB上是否存在点P，使S△PAM＝3S△PBN？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】
解：（1）∵A、B两点在函数（x＜0）的图象上，
∴3（a﹣2）＝﹣3a＝m，
∴a＝1，m＝﹣3，
∴A（﹣1，3），B（﹣3，1），
∵函数y1＝kx+b的图象过A、B点，
∴，
解得k＝1，b＝4
∴y1＝x+4，y2＝；
（2）由（1）知A（﹣1，3），B（﹣3，1），
∴AM＝BN＝1，
∵P点在线段AB上，
∴设P点坐标为（x，x+4），其中﹣1≤x≤﹣3，
则P到AM的距离为hA＝3﹣（x+4）＝﹣x﹣1，P到BN的距离为hB＝3+x，
∴S△PBN＝BN•hB＝×1×（3+x）＝（x+3），
S△PAM＝AM•hA＝×1×（﹣x﹣1）＝﹣（x+1），
∵S△PAM＝3S△PBN，
∴﹣（x+1）＝（x+3），解得x＝﹣，且﹣1≤x≤﹣3，符合条件，
∴P（﹣，），
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣，）．
【点睛】
本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在（1）中掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，在（2）中用P点坐标分别表示出△PBN和△PAM的面积是解题的关键．
5、如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
（1）k1＝ ，k2＝ ，b＝ ．
（2）直接写出不等式y2＞y1的解集；
（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S的最大值．
解：（1）∵A（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝上，
∴k2＝m＝2×1＝2，
∴A（1，2），
则，解得：，
∴k1＝﹣1，k2＝2，b＝3；
故答案为：﹣1，2，3；
（2）由图象得：不等式y2＞y1的解集是：0＜x＜1或x＞2；
（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，
∵PD＝﹣x+3，OD＝x，
则，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
6、如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（k＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．
（1）求k的值；
（2）根据图象，直接写出当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集；
（3）求△AOD的面积．
解：（1）y＝﹣x+5，
当y＝0时，x＝5，
即OC＝5，C点的坐标是（5，0），
过A作AM⊥x轴于M，
∵S△AOC＝15，
∴＝15，
解得：AM＝6，
即A点的纵坐标是6，
把y＝6代入y＝﹣x+5得：x＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，6），
把A点的坐标代入y＝得：k＝﹣6；
（2）当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集是﹣1＜x＜0；
（3）∵CD：AC＝2：3，S△AOC＝15，
∴△AOD的面积＝S△AOC＝＝5．
7、如图，反比例函数y＝经过点D，且点D的坐标为（﹣，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数图象于另一点C，若3OA＝4OB，求△BOC的面积．
解：（1）∵反比例函数y＝经过点D（﹣，2）．
∴k＝﹣＝﹣1，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴A（0，b），B（﹣，0），
∴OA＝b，OB＝，
∵3OA＝4OB，
∴3b＝，
∴a＝，
∴y＝x+b，
∵直线AB经过D（﹣，2），
∴2＝×（﹣）+b，
∴b＝，
∴y＝x+，B（﹣2，0），
解得或，
∴C（﹣，），
∴S△BOC＝2×＝．
8、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC、AO．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若四边形ACBO的面积为3，求点A的坐标．
解：（1）作BD⊥OC于D，如图，
∵△BOC为等边三角形，
∴OD＝CD＝OC＝1，
∴BD＝OD＝，
∴B（﹣1，﹣），
把B（﹣1，﹣）代入y＝得k＝﹣1×（﹣）＝，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）设A（t，），
∵四边形ACBO的面积为3，
∴×2×+×2×＝3，解得t＝，
∴A点坐标为（，2）．
9、如图，△AOB在平面直角坐标xOy中，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝的图象经过点B，作直线x＝1分别交y1，y2于C，D两点，已知A（2，3），B（3，1）．
（1）求反比例函数y1，y2的解析式；
（2）求△COD的面积．
解：（1）∵反比例函数y1＝的图象经过点A（2，3），反比例函数y2＝的图象经过点B（3，1），
∴k1＝2×3＝6，k2＝3×1＝3，
∴y1＝，y2＝．
（2）由（1）可知两条曲线与直线x＝1的交点为C（1，6），D（1，3），
∴CD＝6﹣3＝3，
∴S△COD＝1＝．
10、正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y＝（x＞0）．
（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）的关系式；
（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，
①求△A'EF的面积；
②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由．
解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），
∴点D（1，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3，
故反比例函数表达式为：y＝；
（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），
则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），
同理点F（，2），
△A'EF的面积＝S正方形A′B′C′D′﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；
（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），
设点P（m，0），
则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝，EP2＝（m﹣3）2+1，PF2＝（m﹣）2+4，
当EF＝EP时，即＝（m﹣3）2+1，解得：m＝或；
当EF＝PF时，同理可得：m＝（舍去负值）；
当EP＝PF时，同理可得：m＝，
故点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
11、如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx+b与坐标轴交于A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）经过一次函数上一点C （2，a）．
（1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象；
（2）依据图象直接写出当x＞0时不等式kx+b＞的解集；
（3）若反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b交于C、D两点，使用直尺与2B铅笔构造以C、D为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b过点A（0，4），点B（8，0），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+4；
∵点C在一次函数图象上，
∴a＝﹣×2+4＝3，
∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C （2，3），
∴m＝6，
∴反比例函数解析式为：y＝，
图象如图所示：
（2）∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4交于C、D两点，
∴＝﹣x+4，
∴x1＝2，x2＝6，
∴点D（6，1），
由图象可得：当2＜x＜6时，y＝kx+b的图象在y＝图象的上方，
∴不等式kx+b＞的解集为2＜x＜6；
（3）如图，若以CD为边，则矩形ABDC，矩形A'B'DC为所求，
若以CD为对角线，则矩形DEDF为所求．
12、如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，
理由如下：联立，
解得：或，
∴B点坐标为（2，1），
∵点P在y轴上，
∴设P（0，m），
∴AB＝＝，AP＝，PB＝，
若BP为斜边，
∴BP2＝AB2+AP2 ，
即 ＝2+，
解得：m＝1，
∴P（0，1）；
若AP为斜边，
∴AP2＝PB2+AB2 ，
即 ＝+2，
解得：m＝﹣1，
∴P（0，﹣1）；
综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）．
13、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．
（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；
（2）求△AOD的面积；
（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，
∴点A，点B关于原点对称，
∴点B的横坐标为1，
∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；
（2）连接OC，OE，
由图象知，点A，点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴OC＝AB＝AO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∴S△AEO＝S△ACE＝，
∵AD＝2DE，
∴AE＝DE，
∴S△AOD＝2S△AOE＝3；
（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，
则EF∥AH，
∵AD＝2DE，
∴DE＝EA，
∵EF∥AH，
∴＝＝1，
∴DF＝FH，
∴EF是△DHA的中位线，
∴EF＝AH，
∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，
∴OF•EF＝OH•HA，
∴OH＝OF，
∴OH＝HF，
∴DF＝FH＝HO＝DO，
∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，
∴﹣＝1，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣，
∵点A在y＝﹣的图象上，
∴把x＝﹣1代入得，y＝2，
∴A（﹣1，2），
∵点A在直线y＝mx上，
∴m＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，
当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，
则OM＝2，
∴点M的坐标为（0．﹣2）；
当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，
∴OM＝2PG＝4，∴点M的坐标为（0．﹣4）；
综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．