初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 二次函数创新题及新定义问题

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典例1.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．
【答案】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，
当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．
∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．
∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．
整理得：m2﹣2m+1=0，解得：m1=m2=1．
∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，
∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4，
∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1．
∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴函数y2的图象的对称轴为x=1．
∵1＞0，∴函数y2的图象开口向上．
当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，
∴y2的取值范围为0≤y2≤4．
【精准解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．
练习1.设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=﹣c，b=2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x，函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍【答案】解：（1）∵y=x2+x+1，∴y=，
∴二次函数y=x2+x+1的顶点坐标为（﹣，），
∴二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），
∴反倍顶二次函数的解析式为y=x2﹣x+；
（2）y1+y2=x2+nx+nx2+x=（n+1）x2+（n+1）x，
y1+y2=（n+1）（x2+x+）﹣，
顶点坐标为（﹣，﹣），
y1﹣y2=x2+nx﹣nx2﹣x=（1﹣n）x2+（n﹣1）x，
y1﹣y2=（1﹣n）（x2﹣x+）﹣，
顶点坐标为（，﹣），
由于函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”，
则﹣2×=﹣，解得n=．
1．小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： 函数图象关于轴对称 ；
②方程的解为： ；
③若方程有四个实数根，则的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．
【分析】（1）根据图象即可求得；
（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图象，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）观察探究：
①该函数的一条性质为：函数图象关于轴对称；
②方程的解为：或或；
③若方程有四个实数根，则的取值范围是．
故答案为函数图象关于轴对称；或或；．
（2）将函数的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数的图象，
当时，自变量的取值范围是且．
2．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点与点是关于的“函数” 的图象上的一对“点”，则 ， ， （将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于的函数，是常数）是“函数”吗？如果是，指出它有多少对“点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于的“函数” ，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线，，且，是常数）交于，，，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
【分析】（1）由，关于轴对称求出，，由“函数”的定义求出；
（2）分和两种情况考虑即可；
（3）先根据过原点得出，再由“函数”得出的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出的解析式，确定经过的定点即可．
【解答】解：（1），关于轴对称，
，，
的坐标为，
把代入是关于的“函数”中，得：，
故答案为，，；
（2）当时，有，
此时存在关于轴对称得点，
是“函数”，且有无数对“”点，
当时，不存在关于轴对称的点，
不是“函数”；
（3）过原点，
，
是“函数”，
，
，
联立直线和抛物线得：
，
即：，
，，
又，
化简得：，
，即，
，
当时，，
直线必过定点．
3．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数，是常数，．
（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：．
【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
（2）写出一组，，使得即可；
（3）已知，则．容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出．最后注意利用条件判断，得证．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为．
并且该函数图象的顶点坐标为．
（2）例如，，此时，
，
函数的图象与轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得，，
所以
，
由条件，知．所以，得证．
4．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，都是“雁点”．
（1）求函数图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线上有且只有一个“雁点” ，该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．当时．
①求的取值范围；
②求的度数；
（3）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），是抛物线上一点，连接，以点为直角顶点，构造等腰，是否存在点，使点恰好为“雁点”？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意得：，解得，即可求解；
（2）①抛物线上有且只有一个“雁点” ，则，则△，即，而，
；由、的存在，则△，而，则，即可求解；
②求出点的坐标为，、点的坐标为，，即可求解；
（3）分两种情形：点在的下方或上方，分别根据全等三角形解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
当时，，
故“雁点”坐标为或；
（2）① “雁点”的横坐标与纵坐标相等，
故“雁点”的函数表达式为，
抛物线上有且只有一个“雁点” ，
则，
则△，即，
，
故；
、的存在，
则△，
而，
则，
综上，；
②，则为，
解得或，即点的坐标为，，
由，，
解得，即点的坐标为，，
过点作轴于点，
则，，
故的度数为；
（3）存在，理由：当点在的下方时，
由题意知，点在直线上，故设点的坐标为，
过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
设点的坐标为，
则，，，，
，，
，
，，
，
，，
即，，
解得或，
当点在的上方时，过点作于，交的延长线于．
同法可证，，可得，，
，，
，，
，，
故点的坐标为，或，或，．
5．（2021•江西）二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为 ；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线” 都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“”或“”或“”或“”，其中；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【分析】（1）①根据中点公式即可求得答案；
②根据题意先描点，再用平滑的曲线从左到右依次连接即可；
（2）①当时，抛物线，当时，的函数值随着的增大而减小，抛物线，当时，的函数值随着的增大而减小，找出公共部分即可；
②设符合条件的抛物线解析式为，令，整理得，分下面两种情形：当时，当时，分别讨论计算即可；
③观察图1和图2，可知直线与抛物线及“孔像抛物线” 有且只有三个交点，即直线经过抛物线的顶点或经过抛物线的顶点或经过公共点，分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①、关于点中心对称，
点为的中点，
设点，
，，
故答案为：；
②所画图象如图1所示，
（2）①当时，抛物线，对称轴为直线，开口向上，当时，的函数值随着的增大而减小，
抛物线，对称轴为直线，开口向下，当时，的函数值随着的增大而减小，
当时，抛物线与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着的增大而减小，
故答案为：；
②抛物线的“孔像抛物线”是，
设符合条件的抛物线解析式为，
令，
整理得，
抛物线与抛物线有唯一交点，
分下面两种情形：
当时，无论为何值，都会存在对应的使得，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；
当时，△，
即，
整理得，
当取不同值时，两抛物线都有唯一交点，
当取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与取值无关，
，
解得，，，
则，
故答案为：；
③抛物线，顶点坐标为，
其“孔像抛物线” 为：，顶点坐标为，
抛物线与其“孔像抛物线” 有一个公共点，
二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点时，有三种情况：
①直线经过，
，
解得：或（舍去），
②直线经过，
，
解得：或（舍去），
③直线经过，
，
但当时，与只有一个交点，不符合题意，舍去，
综上所述，．
6．（2021•云南）已知抛物线经过点，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，．
（1）求、的值；
（2）求证：；
（3）以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
【分析】（1）当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，可得对称轴为直线，且抛物线经过点，列出方程组即可得答案；
（2）由是抛物线与轴的交点的横坐标，可得，，两边平方得，，即可得结果；
（3）正确，可用比差法证明，由（2）可得，即，而，再由，判断，，故，从而．
【解答】（1）解：经过点，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，即对称轴为直线，
，解得；
（2）证明：由题意，抛物线的解析式为，
是抛物线与轴的交点的横坐标，
，
，
，
，
；
（3）正确，理由如下：
由（2）知：；
，
，
而
，
由（2）知：，
，
，
，即，
，
，
即，
．
7．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函数的图象上有两个“等值点” ，，同理求出，，根据的面积为3可得，求解即可；
（3）先求出函数的图象上有两个“等值点” 或，再利用翻折的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）在中，令，得不成立，
函数的图象上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点” 或；
（2）在函数中，令，
解得：，
，，
在函数中，令，
解得：，
，，
轴，
，，
，
的面积为3，
，
当时，，
解得，
当时，，
△，
方程没有实数根，
当时，，
解得：，
综上所述，的值为或；
（3）令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点” 或，
①当时，，两部分组成的图象上必有2个“等值点” 或，
，
，
令，
整理得：，
的图象上不存在“等值点”，
△，
，
，
②当时，有3个“等值点” 、、，
③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“等值点” ，
⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或．
8．（2021•大连）已知函数，记该函数图象为．
（1）当时，
①已知在该函数图象上，求的值；
②当时，求函数的最大值．
（2）当时，作直线与轴交于点，与函数交于点，若时，求的值；
（3）当时，设图象与轴交于点，与轴交与点，过点作交直线于点，设点的横坐标为，点的纵坐标为，若，求的值．
【分析】（1）先把代入函数中，①把代入中，可得的值；
②将分为两部分确定的最大值，当时，将配方可得最值，再将代入中，可得，对比可得函数的最大值；
（2）分两种情况：在轴的上方和下方；证明是等腰直角三角形，得，列方程可得结论；
（3）分两种情况：
①，如图2，过点作轴于，证明，得，列方程可得结论；
②，如图3，同理可得结论．
【解答】解：（1）当时，，
①在该函数图象上，
；
②当时，，
，
当时，有最大值是，
当时，，
，
当时，函数的最大值是；
（2）分两种情况：
①如图1，当在轴上方时，由题意得：，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
解得：，，
，
；
②当在轴下方时，同理得：
解得：，，
，
；
综上，的值是6或14；
（3）分两种情况：
①如图2，当时，过点作轴于，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，即，
，
解得：，，
，且，
点的横坐标为，点的纵坐标为，若，
，
，
，
，
解得：（此时，，，三点重合，舍），；
②当时，如图3，过点作轴于，
同理得：，
当时，，则，
解得：，（舍，
，
，
解得：，；
综上，的值是或．
2 ，