初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 反比例函数中的等腰三角形问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 反比例函数中的等腰三角形问题，共20页。试卷主要包含了如图的图象上，点C等内容，欢迎下载使用。
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
（1）；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时，△AOE是等腰三角形．
2、已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B(5,0)，若OB=AB，且S△OAB=.
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若点P为x轴上一点，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵B(5,0)，OB=AB，且S△OAB= ，
∴,即AD=3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=,
∴A点坐标为（9,3），
∵反比例函数的图象过点A，
∴m=27，
将（9,3），（5,0）代入y=kx+b得：
，解得：
即一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：；
（2）由题意知，AB=5，
①当AB=BP时，BP=5，
即P点坐标为（0,0）或（10,0），
②当AB=AP时，由AD=3知，BP=4，
即点P与点B关于点D对称，即P点坐标为（13,0），
③当AP=BP时，即P在线段AB的垂直平分线上，
设P(m，0)，则AP2=（9－m）2+9，BP2=（5－m）2，
∴（9－m）2+9 =（5－m）2
解得：m=，
即P点坐标为（，0），
综上所述，满足题意的P点坐标为：（0,0），（10,0），（13,0），（，0）.
3、如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求∠OCD的度数；
（2）如图2，连接OQ、OP，当∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC时，求此时m的值；
（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点．再以OA、OB为邻边作矩形OAMB．若点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时OA、OB的长度．
解：（1）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴y＝﹣x+m+1，
令x＝0，得到y＝m+1，
∴D（0，m+1），
令y＝0，得到x＝m+1，
∴C（m+1，0），
∴OC＝OD，
∵∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°．
（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，
∵P（m，1）和Q（1，m），
∴MQ＝PN＝1，OM＝ON＝m，
∵∠OMQ＝∠ONP＝90°，
∴△OMQ≌△ONP（SAS），
∴OQ＝OP，∠DOQ＝∠POC，
∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC，∠OCD＝45°，
∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝22.5°，
∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1，
∵∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，
∴DQ＝PC＝，
∵OC＝OD＝m+1，
∴CD＝OC＝，
∵CD＝DQ+PQ+PC，
∴＝2+2，
∴m＝+1；
（3）如图3，
∵四边形BAPQ为平行四边形，
∴AB∥PQ，AB＝PQ，
∴∠OAB＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴OA＝OB，
∴矩形OAMB是正方形，
∵点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，
∴M（，），即OA＝OB＝，
∵AB＝PQ，
∴，
解得：m＝或（舍），
∴OA＝OB＝＝＝＝．
4、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC、AO．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若四边形ACBO的面积为3，求点A的坐标．
解：（1）作BD⊥OC于D，如图，
∵△BOC为等边三角形，
∴OD＝CD＝OC＝1，
∴BD＝OD＝，
∴B（﹣1，﹣），
把B（﹣1，﹣）代入y＝得k＝﹣1×（﹣）＝，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）设A（t，），
∵四边形ACBO的面积为3，
∴×2×+×2×＝3，解得t＝，
∴A点坐标为（，2）．
5、如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为 ．
解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，连接OC，如图，
∵AB过原点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△CAB为等腰三角形，
∴OC⊥AB，
∴∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝30°，
∴OA＝OC，
∵∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠COE，
∴Rt△AOD∽Rt△OCE，
∴＝（）2＝（）2＝3，
而S△OAD＝×|﹣6|＝3，
∴S△OCE＝1，
即|k|＝1，
而k＞0，
∴k＝2．
6、如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y＝交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是 ．
解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
由直线y＝﹣x+2可知A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA＝OB＝2，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB＝2，
∴EF＝AB＝，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴FD＝DE＝EF＝1，
设F点横坐标为t，代入y＝﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F的坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），
∴t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t＝，
∴E点坐标为（，），
∴k＝×＝．
故答案为．
7、如图，△BOD都是等腰直角三角形，过点B作AB⊥OB交反比例函数y＝（x＞0）于点A，过点A作AC⊥BD于点C，若S△BOD﹣S△ABC＝3，则k的值为 ．
解：设A点坐标为（a，b），
∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，OD＝BD
∵S△BOD﹣S△ABC＝3，
OD2﹣AC2＝3，OD2﹣AC2＝6，
∴（OD+AC）（OD﹣AC）＝6，
∴a•b＝6，
∴k＝6．
故答案为6．
8、如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；
（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标；
（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ODC+∠EDA＝90°．
∵∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠EDA＝∠OCD，
在△AED和△DOC中
，
∴△AED≌△DOC（AAS），
∴OD＝EA＝5，
∴点D的纵坐标为5；
（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，
设OD′＝a，OC′＝b，
同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，
∴C′N＝OD′＝A′M＝a，B′N＝C′O＝D′M＝b，
∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），
∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，
∴a（a+b）＝8，b（a+b）＝8，
∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），
∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；
（3）设直线A′B′的解析式为y＝mx+n，
把A′（2，4），B′（4，2）代入得
，
解得，
∴直线A′B′解析式为y＝﹣x+6，
同样可求得直线C′D′解析式为y＝﹣x+2，
由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），
当A点在直线C′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝，
此时点A的坐标为（，），
∴k＝×＝；
当点D在直线A′B′上时，有m＝6，此时点A的坐标为（6，12），
∴k＝6×12＝72；
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72．
9、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上∠ACB＝90°，点C坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（0，2），一次函数y＝kx+b的图象经过点B，C，反比例函数y＝的图象也经过点B．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）观察图象直接写出图象在第二象限时，kx+b﹣＜0的解集．
解：（1）过B作BD⊥x轴，垂足为D，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，∠ACB＝90°，
∵∠DCB+∠ACO＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠DCB＝∠CAO，
在△BDC和△COA中
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴DC＝AO＝2，BD＝CO＝1，
∴点B的坐标是（﹣3，1），
将点B（﹣3，1）代入y＝得m＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的表达式是y＝﹣；
将B（﹣3，1）和点C（﹣1，0）代入y＝kx+b得，解得
∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣；
（2）在第二象限内，kx+b﹣＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1．
10、如图，直线l1：y＝kx+b与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E，已知点A（1，3），点C（4，0）．
（1）求直线l1和双曲线的解析式；
（2）将△OCE沿直线l1翻折，点O落在第一象限内的点H处，求点H的坐标；
（3）如图，过点E作直线l2：y＝3x+4交x轴的负半轴于点F，在直线l2上是否存在点P，使得S△PBC＝S△OBC？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）将A（1，3），C（4，0）代入y＝kx+b，得，解得：，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4．
将A（1，3）代入y＝（x＞0），得m＝3，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；
（2）将x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4，
∴E（0，4）．
∴△COE是等腰直角三角形．
∴∠OCE＝∠OEC＝45°，OC＝OE＝4．
由翻折得△CEH≌△CEO，
∴∠COE＝∠CHE＝∠OCH＝90°．
∴四边形OCHE是正方形．
∴H（4，4）；
（3）存在，理由：
如图，过点O作直线m∥BC交直线l2于点P′，
在x轴取点H，使OC＝CH（即等间隔），过点H作直线n∥BC交直线l2于点P，
S△PBC＝S△OBC，根据同底等高的两个三角形面积相等，则点P（P′）为所求点．
直线BC表达式中的k值为﹣1，则直线m、n表达式中的k值也为﹣1，
故直线m的表达式为：y＝﹣x①，
直线l2的表达式为：y＝3x+4②，
联立①②并解得：x＝﹣1，y＝1，故点P′（﹣1，1）；
设直线n的表达式为：y＝﹣x+s，而点H（8，0），
将点H的坐标代入上式并解得：s＝8，
故直线n的表达式为：y＝﹣x+8③，
联立②③并解得：x＝1，y＝7，
故点P的坐标为（1，7）；
综上，点P的坐标为（﹣1，1）或（1，7）．
11、如图，已知一次函数y＝mx+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点C，过点C作CH⊥x轴，点D是反比例函数图象上的一点，直线CD与x轴交于点A，若∠HCB＝∠HCA，且BC＝10，BA＝16．
（1）若OA＝11，求k的值；
（2）沿着x轴向右平移直线BC，若直线经过H点时恰好又经过点D，求一次函数y＝mx+n的表达式．
解：（1）∵CH⊥AB，
∴∠CHB＝∠CHA＝90°，
∵∠HCB＝∠HCA，CH＝CH，
∴CHA△≌△CHB（AAS），
∴AC＝BC＝10，即△ABC为等腰三角形，则BH＝AH＝AB＝8，
在Rt△CHB中，BC＝10，BH＝6，故CH＝8，
则OH＝OA﹣AH＝11﹣8＝3，故点H（3，0），则点C（3，6），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：6＝，解得：k＝18；
（2）由（1）知，点H是AB的中点，而DH∥BC，故DH是△ABC的中位线，则点D是AC的中点，
设OA＝m，则点A（m，0），点H（m﹣8），点C（m﹣8，6），点B（m﹣16，0），
由中点公式得，点D（m﹣4，3），
将点C、D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝（m﹣8）×6＝3×（m﹣4），解得：m＝12，
故点B、C的坐标为（﹣4，0）、（4，6）；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，
故一次函数y＝mx+n的表达式为：y＝x+3．