人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课时训练

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1．空间中点、直线和平面的向量表示
(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq \(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．

(2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq \(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))②，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
2．空间中直线、平面的平行
(1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
(2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
(3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .
3．空间中直线、平面的垂直
(1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
(2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
(3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
4．距离问题
(1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq \r(a2－a·u2) (如图)．

(2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．
5．夹角问题
(1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)空间角的向量法解法
【题型1 求平面的法向量】
【方法点拨】
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))；
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
【例1】（2022春•连云港期中）在三棱锥P﹣ABC中，CP，CA，CB两两互相垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是（ ）
A．(1，1，12)B．(1，2，1)C．（1，1，1）D．（2，﹣2，1）
【变式1-1】（2022春•湖北月考）已知平面α内有两点M（1，﹣1，2），N（a，3，3），平面α的一个法向量为n→=(6，−3，6)，则a＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式1-2】（2021秋•河北区期末）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的一个法向量为（ ）
A．（1，1，1）B．（﹣1，1，1）C．（1，﹣1，1）D．（1，1，﹣1）
【变式1-3】（2021秋•诸暨市期末）在空间直角坐标系内，平面α经过三点A（1，0，2），B（0，1，0），C（﹣2，1，1），向量n→=(1，λ，μ)是平面α的一个法向量，则λ+μ＝（ ）
A．﹣7B．﹣5C．5D．7
【题型2 空间线面平行关系的判定及应用】
【方法点拨】
利用向量证明线线平行的思路：
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
证明线面平行问题的方法：
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
证明面面平行问题的方法：
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
【例2】（2021秋•成都期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点．分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．
①求点E、F的坐标；
②求证：EF∥平面ACD1．
【变式2-1】如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若DMMP=CNNA，用向量法证明：直线MN∥平面PAB．
【变式2-2】（2021秋•黄陵县校级期末）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD．
【变式2-3】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F．
【题型3 空间线面垂直关系的判定及应用】
【方法点拨】
证明两直线垂直的基本步骤：
建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：
(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方
向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与
平面的法向量平行．
证明面面垂直的两种方法：
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
【例3】（2021•常熟市校级模拟）如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，cs＜DP→，AE→＞=33．
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．
【变式3-1】（2022春•青羊区校级期末）如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，在CC1上求一点P，使面A1B1P⊥面C1DE．
【变式3-2】（2021•浦东新区校级模拟）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，AB→=（﹣1，2，1），AD→=（0，﹣2，3），AP→=（8，3，2），
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求PC的长．
【变式3-3】（2021秋•吉林期末）如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1，在底面ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
（1）求cs＜BA1→，CB1→＞的值；
（2）求证：BN⊥平面C1MN．
【题型4 利用空间向量研究距离问题】
【方法点拨】
用向量法求点到直线的距离的一般步骤：
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
用向量法求点面距的步骤：
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标(eq \(AP,\s\up6(→))，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
【例4】（2022春•南通期末）如图，在四面体P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2PA＝2，点D在线段AC上．
（1）当D是线段AC中点时，求A到平面PBD的距离；
（2）若二面角A﹣PD﹣B的余弦值为13，求ADAC的值．
【变式4-1】（2022春•岳麓区校级期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD=12AD＝1．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（1）在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM∥平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；
（2）若二面角P−CD−A的大小为45°，求P到直线CE的距离．
【变式4-2】（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB=BC=5，AC＝AA1＝2．
（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）求点D与平面BEC1的距离；
（3）求二面角B﹣CD﹣C1的正弦值．
【变式4-3】（2022秋•渝中区月考）在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，且DF=12AE＝1，N为BE的中点．
（Ⅰ）求证：FN∥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角N﹣MF﹣D的余弦值；
（Ⅲ）求点A到平面MNF的距离．
【题型5 利用空间向量求空间角】
【方法点拨】
求异面直线夹角的方法：
(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．
(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))可分别为a，b的方向向量，则cs
θ＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|).
利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤：
(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量u；
(3)求平面的法向量n；(4)设线面角为θ，则sin θ＝eq \f(|u·n|,|u||n|) .
利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：
(1)求平面的垂线的方向向量；
(2)利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.
【例5】（2021秋•盘龙区月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E为线段PD的中点，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°．
（1）证明：直线PB∥平面ACE；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【变式5-1】（2022秋•安徽月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1，BC1∩B1C＝O，AO⊥平面BB1C1C．
（1）求证：AB⊥B1C；
（2）若∠B1BC＝60°，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°，求二面角A1﹣B1C1﹣A的正弦值．
【变式5-2】（2022春•江都区期中）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，直线AC⊥平面BDEF，点O为AC与BD的交点，AB＝2，且∠DAB＝∠DBF＝60°．
（1）求异面直线DE与CF所成角的余弦值；
（2）求二面角A﹣FB﹣C的余弦值．
【变式5-3】（2022•南京模拟）如图，AB为圆柱底面的直径，△ACD是圆柱底面的内接正三角形，AP和DQ为圆柱的两条母线，若AB＝2AP＝2．
（1）求证：平面PCQ⊥平面BDQ；
（2）求BP与面ABQ所成角正弦值；
（3）求二面角B﹣AQ﹣C的余弦值．
【题型6 利用空间向量研究存在性问题】
【例6】（2022•历城区校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=BC=2AB=2AC，点M为B1C1的中点．
（1）证明：AC1∥平面A1BM；
（2）AC上是否存在点N，使二面角B﹣A1M﹣N的大小为π4，若存在，求ANCN的值；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2022春•内江期末）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，PA=PD=2，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上．
（1）若Q是PC的中点，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；
（2）是否存在Q，使PA∥平面DEQ？若存在，求出PQPC的值；若不存在，说明理由．
【变式6-2】（2022•迎泽区校级模拟）菱形ABCD中，∠ABC＝120°，EA⊥平面ABCD，EA∥FD，EA＝AD＝2FD＝2．
（Ⅰ）证明：直线FC∥平面EAB；
（Ⅱ）线段EC上是否存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为28？若存在，求EMMC，若不存在，说明理由．
【变式6-3】（2022•海淀区校级模拟）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝AA1＝2，H，F分别是棱C1D1，BB1的中点．
（Ⅰ）请判断直线HF与平面A1BCD1的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）求直线HF与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面A1BCD1的距离是2，若存在，求出HQHF的值；若不存在，说明理由．
角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))