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2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第二章 §2.4 函数的对称性
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这是一份2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第二章 §2.4 函数的对称性，共10页。
知识梳理
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．( × )
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．( × )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．( √ )
教材改编题
1．函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)图象的对称中心为( )
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．(1,1)
答案 B
解析 因为f(x)＝eq \f(x＋1,x)＝1＋eq \f(1,x)，由y＝eq \f(1,x)向上平移一个单位长度得到y＝1＋eq \f(1,x)，又y＝eq \f(1,x)关于(0,0)对称，
所以f(x)＝1＋eq \f(1,x)的图象关于(0,1)对称．
2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．
答案 f(－4)>f(1)
解析 ∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称，
又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，
∴f(－4)＝f(0)>f(1)，
故f(－4)>f(1)．
3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.
答案 5
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的图象关于x＝2对称，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.
题型一 轴对称问题
例1 (1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于( )
A．－2 B．2 C．0 D．－4
答案 B
解析 定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，
故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)，
故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________．
答案 (2,4)
解析 ∵f(x＋2)是偶函数，
∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．
又f(x－1)>f(1)，
∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，
解得2∴原不等式的解集为(2,4)．
思维升华 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)成轴对称．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是( )
A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(－1)答案 D
解析 因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，
所以f(x)的对称轴为x＝1，
又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥eq \f(1,2)时，f(x)＝lg2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2 B．3 C．4 D．－1
答案 C
解析 根据f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的图象关于x＝eq \f(1,2)对称，
那么求函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值之和，
因为f(x)＝lg2(3x－1)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增，所以最小值与最大值分别为f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.
题型二 中心对称问题
例2 (1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是( )
A．f(x)＝f(－x)
B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0
C．f(－x)＝－f(x＋4)
D．f(x＋2)＝f(x－2)
答案 ABC
解析 因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；
因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；
由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；
由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．
(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝eq \f(1,x)＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．
答案 4
解析 因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称，
y＝g(x)＝eq \f(1,x)＋1的图象也关于点(0,1)对称，则交点关于(0,1)对称，
所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.
思维升华 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心对称．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于( )
A．点(－2,0)对称 B．直线x＝－2对称
C．点(2,0)对称 D．直线x＝2对称
答案 C
解析 ∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，
f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，
所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
因此，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称．
(2)(2023·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案 D
解析 因为f(2－x)＋f(x)＝－2，
所以f(x)关于点(1，－1)对称，
所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数．
题型三 两个函数图象的对称
例3 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象( )
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于点(3,0)对称
答案 A
解析 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．
思维升华 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称．
跟踪训练3 设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象( )
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于直线x＝1对称
D．关于直线y＝1对称
答案 C
解析 A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误；
B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误；
C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正确；
D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D错误．
课时精练
1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点( )
A．(－1,2) B．(1,2)
C．(－1，－2) D．(－2,1)
答案 A
解析 函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2)．
2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于( )
A．1 B．2 C．0 D．－2
答案 B
解析 函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，
将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，
所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.
3．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2 025)等于( )
A．－1 B．1 C．0 D．3
答案 B
解析 ∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(－x)＝f(x＋2)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1.
4．(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x＋1)＋1
C．f(x)－1 D．f(x)＋1
答案 C
解析 ∵f(－x)＋f(x)＝2，
∴f(x)的图象关于(0,1)对称，
将y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称，
∴y＝f(x)－1为奇函数．
5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为( )
A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)
C．(e，e3) D．(e，＋∞)
答案 C
解析 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0(x1≠x2)，当x1f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒16．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有( )
A．f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(x)在[0,1]上单调递增
C．f(x)在[1,2]上单调递减
D．f(2)＝f(0)
答案 AD
解析 根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)，
则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，
则有f(2)＝f(0)，故D正确；
若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数，
则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数，
则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数，
则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误．
7．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________．
答案 y＝e2－x
解析 f(x)＝ex关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，
即y＝e2－x.
8．(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________.
①f(x)是定义域为R的奇函数；
②f(1＋x)＝f(1－x)；
③f(1)＝2.
答案 2sin eq \f(π,2)x(答案不唯一)
解析 由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin eq \f(π,2)x.
9．已知函数f(x)＝eq \f(a·2x－2－x,2x＋2－x)是奇函数．
(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>eq \f(1,3)；
(2)求函数g(x)＝eq \f(2x＋1,2x＋2－x)图象的对称中心．
解 (1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，
又因为函数f(x)＝eq \f(a·2x－2－x,2x＋2－x)为奇函数，则f(0)＝eq \f(a－1,2)＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)，下面验证函数f(x)＝eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)为奇函数，
f(－x)＝eq \f(2－x－2x,2－x＋2x)＝－f(x)，故函数f(x)＝eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)为奇函数，
由f(x)＝eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)＝eq \f(2x2x－2－x,2x2x＋2－x)＝eq \f(4x－1,4x＋1)>eq \f(1,3)，得2·4x>4，即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>eq \f(1,2)，
因此不等式f(x)>eq \f(1,3)的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
(2)g(x)＝eq \f(2x＋1,2x＋2－x)＝eq \f(2·2x,2x＋2－x)，
则g(－x)＝eq \f(2·2－x,2－x＋2x)，
所以g(x)＋g(－x)＝eq \f(22x＋2－x,2x＋2－x)＝2，
因此函数g(x)＝eq \f(2x＋1,2x＋2－x)图象的对称中心为(0,1)．
10．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
解 (1)设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－3＝0，,a3－3a2－b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))
所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
11．(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是( )
A．若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
B．函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称
C．若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称
D．若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
答案 ABD
解析 对于A，若y＝f(x＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x＝0对称，故y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得f(x)的图象，故f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，正确；
对于B，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，可得f(x－1)的图象，将f(x)的图象关于y轴对称得f(－x)的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f(1－x)的图象，故f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称，故正确；
对于C，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故不正确；
对于D，因为f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故正确．
12．已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝________.
答案 2n
解析 因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
又因为函数f(x＋2)向右平移2个单位长度得到函数f(x)的图象，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|，
所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，
所以x1＋x2＋…＋xn＝eq \f(n,2)·4＝2n.
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x>0，,－x2－4x，x≤0，))则此函数图象上关于原点对称的点有( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
答案 B
解析 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
再作出－y＝f(－x)，记为曲线C，
由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A，B就是符合题意的点．
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2－4，x≤2，,2x－2－4，x>2，))则满足f(2＋lg4x)>f(1－lg4x)的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
C．(0,2) D．(2，＋∞)
答案 A
解析 当x≤2时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2－4＝22－x－4＝2|x－2|－4，
当x>2时，f(x)＝2x－2－4＝2|x－2|－4，
所以对任意的x∈R，f(x)＝2|x－2|－4，
则f(4－x)＝2|4－x－2|－4＝2|x－2|－4＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
由f(2＋lg4x)>f(1－lg4x)可得|2＋lg4x－2|>|1－lg4x－2|，
即|lg4x|>|1＋lg4x|，不等式|lg4x|>|1＋lg4x|两边平方得lg4x<－eq \f(1,2)，解得0
知识梳理
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．( × )
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．( × )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．( √ )
教材改编题
1．函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)图象的对称中心为( )
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．(1,1)
答案 B
解析 因为f(x)＝eq \f(x＋1,x)＝1＋eq \f(1,x)，由y＝eq \f(1,x)向上平移一个单位长度得到y＝1＋eq \f(1,x)，又y＝eq \f(1,x)关于(0,0)对称，
所以f(x)＝1＋eq \f(1,x)的图象关于(0,1)对称．
2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．
答案 f(－4)>f(1)
解析 ∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称，
又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，
∴f(－4)＝f(0)>f(1)，
故f(－4)>f(1)．
3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.
答案 5
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的图象关于x＝2对称，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.
题型一 轴对称问题
例1 (1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于( )
A．－2 B．2 C．0 D．－4
答案 B
解析 定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，
故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)，
故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________．
答案 (2,4)
解析 ∵f(x＋2)是偶函数，
∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．
又f(x－1)>f(1)，
∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，
解得2
思维升华 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)成轴对称．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是( )
A．f(－1)
解析 因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，
所以f(x)的对称轴为x＝1，
又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)
A．2 B．3 C．4 D．－1
答案 C
解析 根据f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的图象关于x＝eq \f(1,2)对称，
那么求函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值之和，
因为f(x)＝lg2(3x－1)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增，所以最小值与最大值分别为f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.
题型二 中心对称问题
例2 (1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是( )
A．f(x)＝f(－x)
B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0
C．f(－x)＝－f(x＋4)
D．f(x＋2)＝f(x－2)
答案 ABC
解析 因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；
因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；
由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；
由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．
(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝eq \f(1,x)＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．
答案 4
解析 因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称，
y＝g(x)＝eq \f(1,x)＋1的图象也关于点(0,1)对称，则交点关于(0,1)对称，
所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.
思维升华 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心对称．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于( )
A．点(－2,0)对称 B．直线x＝－2对称
C．点(2,0)对称 D．直线x＝2对称
答案 C
解析 ∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，
f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，
所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
因此，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称．
(2)(2023·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案 D
解析 因为f(2－x)＋f(x)＝－2，
所以f(x)关于点(1，－1)对称，
所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数．
题型三 两个函数图象的对称
例3 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象( )
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于点(3,0)对称
答案 A
解析 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．
思维升华 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称．
跟踪训练3 设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象( )
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于直线x＝1对称
D．关于直线y＝1对称
答案 C
解析 A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误；
B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误；
C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正确；
D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D错误．
课时精练
1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点( )
A．(－1,2) B．(1,2)
C．(－1，－2) D．(－2,1)
答案 A
解析 函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2)．
2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于( )
A．1 B．2 C．0 D．－2
答案 B
解析 函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，
将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，
所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.
3．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2 025)等于( )
A．－1 B．1 C．0 D．3
答案 B
解析 ∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(－x)＝f(x＋2)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1.
4．(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x＋1)＋1
C．f(x)－1 D．f(x)＋1
答案 C
解析 ∵f(－x)＋f(x)＝2，
∴f(x)的图象关于(0,1)对称，
将y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称，
∴y＝f(x)－1为奇函数．
5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为( )
A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)
C．(e，e3) D．(e，＋∞)
答案 C
解析 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0(x1≠x2)，当x1
A．f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(x)在[0,1]上单调递增
C．f(x)在[1,2]上单调递减
D．f(2)＝f(0)
答案 AD
解析 根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)，
则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，
则有f(2)＝f(0)，故D正确；
若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数，
则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数，
则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数，
则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误．
7．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________．
答案 y＝e2－x
解析 f(x)＝ex关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，
即y＝e2－x.
8．(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________.
①f(x)是定义域为R的奇函数；
②f(1＋x)＝f(1－x)；
③f(1)＝2.
答案 2sin eq \f(π,2)x(答案不唯一)
解析 由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin eq \f(π,2)x.
9．已知函数f(x)＝eq \f(a·2x－2－x,2x＋2－x)是奇函数．
(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>eq \f(1,3)；
(2)求函数g(x)＝eq \f(2x＋1,2x＋2－x)图象的对称中心．
解 (1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，
又因为函数f(x)＝eq \f(a·2x－2－x,2x＋2－x)为奇函数，则f(0)＝eq \f(a－1,2)＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)，下面验证函数f(x)＝eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)为奇函数，
f(－x)＝eq \f(2－x－2x,2－x＋2x)＝－f(x)，故函数f(x)＝eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)为奇函数，
由f(x)＝eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)＝eq \f(2x2x－2－x,2x2x＋2－x)＝eq \f(4x－1,4x＋1)>eq \f(1,3)，得2·4x>4，即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>eq \f(1,2)，
因此不等式f(x)>eq \f(1,3)的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
(2)g(x)＝eq \f(2x＋1,2x＋2－x)＝eq \f(2·2x,2x＋2－x)，
则g(－x)＝eq \f(2·2－x,2－x＋2x)，
所以g(x)＋g(－x)＝eq \f(22x＋2－x,2x＋2－x)＝2，
因此函数g(x)＝eq \f(2x＋1,2x＋2－x)图象的对称中心为(0,1)．
10．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
解 (1)设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－3＝0，,a3－3a2－b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))
所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
11．(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是( )
A．若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
B．函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称
C．若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称
D．若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
答案 ABD
解析 对于A，若y＝f(x＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x＝0对称，故y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得f(x)的图象，故f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，正确；
对于B，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，可得f(x－1)的图象，将f(x)的图象关于y轴对称得f(－x)的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f(1－x)的图象，故f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称，故正确；
对于C，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故不正确；
对于D，因为f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故正确．
12．已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝________.
答案 2n
解析 因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
又因为函数f(x＋2)向右平移2个单位长度得到函数f(x)的图象，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|，
所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，
所以x1＋x2＋…＋xn＝eq \f(n,2)·4＝2n.
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x>0，,－x2－4x，x≤0，))则此函数图象上关于原点对称的点有( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
答案 B
解析 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
再作出－y＝f(－x)，记为曲线C，
由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A，B就是符合题意的点．
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2－4，x≤2，,2x－2－4，x>2，))则满足f(2＋lg4x)>f(1－lg4x)的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
C．(0,2) D．(2，＋∞)
答案 A
解析 当x≤2时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2－4＝22－x－4＝2|x－2|－4，
当x>2时，f(x)＝2x－2－4＝2|x－2|－4，
所以对任意的x∈R，f(x)＝2|x－2|－4，
则f(4－x)＝2|4－x－2|－4＝2|x－2|－4＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
由f(2＋lg4x)>f(1－lg4x)可得|2＋lg4x－2|>|1－lg4x－2|，
即|lg4x|>|1＋lg4x|，不等式|lg4x|>|1＋lg4x|两边平方得lg4x<－eq \f(1,2)，解得0
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