2025版高考数学全程一轮复习练习第二章函数第二节函数的单调性与最值

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第二章函数第二节函数的单调性与最值，共14页。试卷主要包含了y′＝1－＝等内容，欢迎下载使用。

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
2．掌握函数单调性的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 请你写出函数y＝x＋的单调区间．
【问题2】 你能想起用函数单调性的定义来证明函数单调性的一般步骤吗？
关键能力·题型剖析
题型一 求函数的单调区间
例1 (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(2)f(x)＝ (－x2＋4x＋5)；
(3)f(x)＝x－ln x.
[听课记录]
题后师说
(1)求函数单调区间的方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性法；④导数法．
(2)求函数的单调区间，定义域优先．
巩固训练1
(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是( )
A．[，＋∞)
B．[1，]和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和[，2]
D．(－∞，)和[2，＋∞)
(2)函数f(x)＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．[1，3] D．[－1，1]
题型二 单调性的判断与证明
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
[听课记录]
题后师说
(1)判断函数单调性的方法
①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．
(2)证明函数单调性的方法
①定义法；②导数法．
巩固训练2
已知函数f(x)＝.判断f(x)在[0，＋∞)上单调递增还是单调递减，并证明你的判断．
题型三 函数单调性的应用
角度一 比较函数值的大小
例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
[听课记录]


题后师说
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．
巩固训练3
[2024·广东深圳模拟]已知函数f(x)的定义域为R，若对∀x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，且f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则f(1)，f(2)与f(4)的大小关系是( )
A．f(4)C．f(1)角度二 求函数的最值
例4 函数f(x)＝x＋在区间[－，2]上的最大值为( )
A． B． C．3 D．4
[听课记录]

题后师说
利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．
巩固训练4
函数f(x)＝在x∈[1，4]上最大值为M，最小值为m，则M－m的值是( )
A． B．2 C． D．
角度三 解函数不等式
例5 [2024·辽宁葫芦岛模拟]已知函数f(x)＝，则关于x的不等式f(1－x)[听课记录]

题后师说
求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
巩固训练5
已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______．
角度四 求参数的取值范围
例6 [2024·黑龙江哈尔滨九中模拟]若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，]
C．(1，2) D．(1，2]
[听课记录]

题后师说
利用单调性求参数的取值范围，根据单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
巩固训练6
若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
1.下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝－|x|
2．函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是( )
A． B．2，5
C．1，2 D．
3．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是( )
A．[1，2] B．[－1，0]
C．(0，2] D．[2，＋∞)
4．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是( )
A．[－4，1) B．(1，4] C．(1，2] D．(1，＋∞)
5．若函数f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是______．
第二节 函数的单调性与最值
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1，0)和(0，1)．
切记：当函数有多个不连续的单调区间时，不能用符号“∪”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
【问题2】 提示：第一步：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1第二步：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
第三步：确定f(x1)－f(x2)的符号．
第四步：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断函数的单调性．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)∵f(x)＝其图象如图所示，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
(2)由－x2＋4x＋5>0得－1(3)由题意，得x>0.y′＝1－＝.
由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
巩固训练1 解析：(1)y＝|x2－3x＋2|
＝
如图所示，
函数的单调递减区间是(－∞，1]和[，2].
(2)函数f(x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得f(x)定义域为[－1，3]，
因为y＝3＋2x－x2在[－1，1]上单调递增，所以f(x)＝在[－1，1]上单调递增．
答案：(1)C (2)D
例2 解析：方法一 设－1f(x)＝a()＝a(1＋)，
则f(x1)－f(x2)＝a(1＋)－a(1＋)＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)方法二 f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
巩固训练2 解析：f(x)在[0，＋∞)上单调递增，证明如下：
设任意的0≤x1f(x1)－f(x2)＝＝，
因为0≤x1故x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
例3 解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递减．
所以a＝f(－)＝f()，f(2)>f()>f(3)，
所以b＞a＞c.
答案：D
巩固训练3 解析：因为对∀x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，所以f(1)＝f(3－2)＝f[1－(－2)]＝f(3)，
又因为f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且2<3<4，
所以f(4)答案：A
例4 解析：设t＝x＋1，则问题转化为求函数g(t)＝t＋－1在区间[，3]上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数g(t)在区间[，2]上单调递减，在区间[2，3]上单调递增，所以＝max＝max＝.
答案：B
巩固训练4 解析：因为y＝在[1，4]上是增函数，所以M＝f(x)max＝f(4)＝2－＝，m＝f(x)min＝f(1)＝0.因此M－m＝.
答案：A
例5 解析：当x≤3时，f(x)＝x2－3x在(－∞，]上单调递减，在[，3]上单调递增，
当x>3时，f(x)＝x－1是增函数，且×3－1＝0＝f(3)，
因此函数f(x)在(－∞，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，而1－x<2－x，
则当1－x≥，即x≤－时，恒有f(1－x)当x>－时，2－x<≤3，不等式化为(1－x)2－3(1－x)<(2－x)2－3(2－x)，解得x<0，则－所以不等式f(1－x)答案：(－∞，0)
巩固训练5 解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得0答案：(－，－2)∪(2，)
例6 解析：当x<4时，函数f(x)＝ax－3单调递增，
所以a>1，
当x≥4时，f(x)＝x＋－3，是单调递增函数，
所以≤4，所以0当x＝4时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，
所以a≤4＋－3，
解得a≤，
综上所述实数a的取值范围是(1，].
答案：B
巩固训练6 解析：由函数f(x)＝＝＝1＋，
因为f(x)在(a，＋∞)上单调递增，则满足，解得1≤a<2，
所以实数a的取值范围为[1，2)．
答案：[1，2)
随堂检测
1．解析：根据函数f(x)＝－的图象可知，其单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，所以A对．
因为抛物线f(x)＝x2－3x的单调递增区间为[，＋∞)，单调递减区间为(－∞，)，所以该抛物线在x∈(0，＋∞)上不单调，所以B错；
因为直线f(x)＝3－x的斜率为－1，所以在x∈(0，＋∞)上为减函数，所以C错；
根据函数f(x)＝－|x|的图象可知其在x∈(0，＋∞)上为减函数，所以D错．
答案：A
2．解析：∵y＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，且y＞1，
∴f(x)＝在区间[1，2]上单调递减，
∴函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是
f(1)＝＝，f(2)＝＝.
答案：A
3．解析：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x，则函数f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
当x>2时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是[1，2].
答案：A
4．解析：∵函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，
∴－4≤a＋1<2a≤4，解得1答案：C
5．解析：由题意知，⇒1≤a≤2，
所以a的取值范围为[1，2].
答案：[1，2]x
(0，1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
＋
y
↘
极小值
↗