第二章　§2.4　函数的对称性-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§2.4　函数的对称性
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于　　　对称，偶函数关于　　　对称.(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为　　　；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为　　　.2.若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点　　　对称.
3.两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于　　　对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于　　　对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于　　　对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称.(　　)(2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)(3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称.(　　)(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(　　)
2.函数f(x)＝　　的图象的对称中心为A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) 　　D.(1,1)
3.已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则A.f(－1)f(3)C.f(－1)＝f(3) D.f(0)＝f(3)
因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(－1)4.(2023·南昌检测)已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点________.
y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2).
由函数f(x＋1)为偶函数，可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2＋x)＝f(－x)，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)，可得函数f(x)的周期为4，
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________.
∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增.又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，∴－x2>－1，即x2<1，∴－1函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
跟踪训练1　(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是A.f(－1)因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以f(x)的对称轴为直线x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为A.0 B.m C.2m D.4m
依题意，函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称.函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，所以若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，
例2　(1)(多选)下列说法中，正确的是
对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，
所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确；
所以b＋c＝4，D不正确.
因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－x)＝f(2＋x)，因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(－x)＝－f(4＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0.
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点　　　　 成中心对称.
跟踪训练2　(1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1,0)对称，因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在R上单调递减，所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1，所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于A.－3 B.－1 C.1 D.3
∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0，又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，
题型三　两个函数图象的对称
例3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象A.关于直线x＝1对称B.关于直线x＝3对称C.关于直线y＝3对称D.关于点(3,0)对称
设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.
跟踪训练3　下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是A.y＝ex－1 B.y＝e1－xC.y＝e2－x D.y＝ln x
与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.
一、单项选择题1.下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A.y＝ B.y＝lg|x|C.y＝tan x D.y＝x3
y＝lg|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，但无对称中心，故B错误；
y＝x3为奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)成中心对称，但无对称轴，故D错误.
2.(2024·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y＝x轴对称
令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x，∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称.
3.(2023·襄阳模拟)已知函数f(x)＝2x＋ (x∈R)，则f(x)的图象A.关于直线x＝1对称B.关于点(1,0)对称C.关于直线x＝0对称D.关于原点对称
因为f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减，
5.已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m等于
设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点Q(x′，y′)，
则y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，
6.(2023·重庆模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则
因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称，且f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1.
二、多项选择题7.设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是A.f(x)在(0，＋∞)上单调递增B.f(x)为奇函数C.f(x)的图象关于直线x＝1对称D.f(x)的图象关于点(1,0)对称
∵f(x)＝2x－1＋21－x，∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A，D错误；∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，故B错误.
8.(2023·恩施模拟)定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的是A.直线x＝1是f(x)的图象的对称轴B.周期T＝2C.函数f(x)在[4,5]上单调递增D.f(5)＝0
因为f(x－1)＝f(3－x)，所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故选项A正确；因为f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，又因为f(x)的对称轴为x＝1，所以f(x)的周期T＝4，故选项B错误；直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1,2]上单调递减，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，
又f(x)的周期T＝4，所以函数f(x)在[4,5]上单调递增，故选项C正确；因为f(x)的周期T＝4，f(4)＝f(0)＝0，则f(5)>f(4)＝0，故选项D错误.
三、填空题9.(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数，f(x)＝___________________________________________________________________.
因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1，故可取函数f(x)＝cs πx.
10.已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝________.
因为函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.
11.(2024·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝lg2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为_______________.
∵y＝f(x＋3)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝3对称.∵当x≥3时，f(x)＝lg2x，∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|，∴(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0，
∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则f(2－x)＋f(x)＝0，∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，
四、解答题13.(2023·邢台检测)已知函数f(x)＝lg2|x－2|＋x2－4x.(1)判断并证明函数f(x)的对称性；
f(x)的图象关于直线x＝2对称.证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).因为f(2－x)＝lg2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝lg2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝lg2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝lg2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称.
(2)求f(x)的单调区间.
设y1＝lg2|x－2|，y2＝x2－4x，当x>2时，y1＝lg2|x－2|＝lg2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增，故f(x)＝lg2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x＝2对称，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2).
14.函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；
设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2).
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.
推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
15.设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)＝f(x＋4)D.f(x＋6)为奇函数
因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数.
16.(多选)(2024·大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是A.g(2)＝1B.g(0)＝1C.不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0)D.g(－1)＋g(2)<2
∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，将y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位长度即可得到函数y＝f(x)的图象，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∵g(x)＝f(x)＋1，∴g(0)＝f(0)＋1，∴g(0)＝1，故B选项正确；∵y＝f(x－2)为减函数，