2025版高考数学全程一轮复习练习第二章函数专题培优课函数性质的综合应用

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第二章函数专题培优课函数性质的综合应用，共10页。


关键能力·题型剖析
题型一 函数的奇偶性与单调性
例1 [2024·河北秦皇岛模拟]定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有<0，且f(3)＝0，则不等式(2x－1)f(x)>0的解集是( )
A．(－3，)
B．(－3，∪(3，+∞)
C．(－∞，－3)∪(，3)
D．(－∞，－3)∪(3，+∞)
[听课记录]



题后师说
(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用单调性比较大小．
巩固训练1
[2024·河南洛阳模拟]已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－lg2 5.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b题型二 函数的奇偶性与周期性
例2 [2024·河南开封模拟]已知函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，且＝1，则f(1)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[听课记录]



题后师说
奇偶性与周期性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数内求解．
巩固训练2
[2024·广东广州模拟]设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝f(－x)．若f()＝－，则f()＝( )
A． B．－ C． D．－
题型三 奇偶性、周期性和对称性的综合应用
例3 (1)[2024·江西赣州模拟]已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．1 012
(2)(多选)[2024·湖北武汉模拟]设函数y＝f(x)的定义域为R，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(x－2)＋f(－x)＝0，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x＋1)是偶函数
B．y＝f(x＋3)为奇函数
C．f(x)是周期为4的周期函数
D．f(1)＝0
[听课记录]



题后师说
函数的奇偶性与对称性之间的转化是解决此类问题的关键，同时牢记图象平移的规律．
巩固训练3
(多选)[2024·黑龙江鹤岗模拟]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)．当0A．f(x)是周期为2的周期函数
B．f(x)的值域为[－2，2]
C．x＝3是f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的图象关于点(－2，0)对称
1.[2021·全国甲卷]设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
2．[2020·新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪［3，+∞）B．[－3，－1]∪［0，1］
C．[－1，0]∪［1，+∞）D．[－1，0]∪［1，3］
3．(多选)[2024·九省联考]已知函数f(x)的定义域为R，且f()≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，则( )
A．f(－)＝0
B．f()＝－2
C．函数f(x－)是偶函数
D．函数f(x＋)是减函数
4．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0
B．g(－)＝0
C．f(－1)＝f(4)
D．g(－1)＝g(2)
专题培优课 函数性质的综合应用
关键能力·题型剖析
例1 解析：因为函数f(x)满足对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有<0，
所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，
又f(3)＝0，所以f(－3)＝f(3)＝0，作函数f(x)的草图如图，
所以，当x<－3时，2x－1<0，f(x)<0，则(2x－1)f(x)>0；
当－30，则(2x－1)f(x)<0；
当0，f(x)>0，则(2x－1)f(x)>0；
当x>3时，2x－1>0，f(x)<0，则(2x－1)f(x)<0；
当x＝－3或x＝3或x＝时，(2x－1)f(x)＝0.
综上，不等式(2x－1)f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(，3)．
答案：C
巩固训练1 解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0.
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又3>lg25.1>2>20.8，且a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，
所以g(3)>g(lg25.1)>g(20.8)，即c>a>b.
答案：C
例2 解析：因为函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，
又因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x)的对称轴为x＝1，
则f(x)为周期函数，周期为4.
则有＝5(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋(f(1)＋f(2))，
设f(1)＝m，根据对称性f(3)＝－m，且f(0)＝f(2)＝f(4)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以＝5(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋(f(1)＋f(2))＝f(1)＋f(2)，
即f(1)＋f(2)＝m＋0＝m，
因为＝1，所以m＝1，即f(1)＝m＝1.
答案：C
巩固训练2 解析：由题设，f(x－2)＝f(－x)＝－f(x)，则f(x)＝－f(x＋2)，
所以f(x－2)＝f(x＋2)，即f(x)＝f(x＋4)，故f(x)是周期为4的奇函数，
所以f()＝f(4－)＝f(－)＝－f()＝.
答案：A
例3 解析：(1)已知定义在R上的奇函数f(x)，所以f(x)＝－f(－x)①，且f(0)＝0，
又f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x)＝f(2－x)②，所以f(2)＝f(0)＝0，
由①②可得：－f(－x)＝f(2－x)，所以－f(2－x)＝f(4－x)，则f(－x)＝f(4－x)，则函数f(x)的周期为4，
当x∈(0，1]时，f(x)＝x2，则f(1)＝1，所以f(－1)＝－f(1)＝－1＝f(3)，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＝0.
(2)由题意，函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，
可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，即f(－x)＝f(2＋x)，
将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，得到函数y＝f(x＋1)，
此时y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，所以函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以A正确；
由f(x－2)＋f(－x)＝0，即－f(x－2)＝f(－x)，可得f(2＋x)＝－f(x－2)，
即f(x)＝－f(x＋4)，若f(x)为常函数且f(x)＝0，则4是函数f(x)的周期，
否则，4不是函数的周期，所以C不正确；
因为f(x－2)＋f(－x)＝0，可得f(x－5)＋f(－x＋3)＝0，因为f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为8，可得f(x＋3)＋f(－x＋3)＝0，即f(－x＋3)＝－f(x＋3)，
所以y＝f(x＋3)为奇函数，所以B正确；
由y＝f(x＋3)为奇函数，可得f(3)＝0，
因为f(－x)＝f(2＋x)，则f(－1)＝f(2＋1)＝0，
其中f(1)的值不能确定，所以D错误．
答案：(1)B (2)AB
巩固训练3 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，又f(1＋x)＝f(1－x)，
所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，
所以f(x)＝－f(x＋2)，
故f(x)＝f(x＋4)，
所以f(x)是周期为4的周期函数，故选项A错误；
由题意可知，f(x)的图象如图所示，
由f(x)的图象可得f(x)的值域为[－2，2]，
其中x＝3是函数f(x)图象的一条对称轴，
f(x)的图象关于点(－2，0)对称，故选项B，C，D正确．
答案：BCD
随堂检测
1．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f＝f＝f＝.故选C.
答案：C
2．解析：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]选D.
答案：D
3．解析：令x＝，y＝0，则有f()＋f()×f(0)＝f()[1＋f(0)]＝0，又f()≠0，故1＋f(0)＝0，即f(0)＝－1，
令x＝，y＝－，则有f()＋f()f(－)＝4××(－)，即f(0)＋f()f(－)＝－1，由f(0)＝－1，可得f()f(－)＝0，又f()≠0，故f(－)＝0，故A正确；
令y＝－，则有f(x－)＋f(x)f(－)＝4x×(－)，即f(x－)＝－2x，故函数f(x－)是奇函数，有f(x＋1－)＝－2(x＋1)＝－2x－2，即f(x＋)＝－2x－2，即函数f(x＋)是减函数，
令x＝1，有f()＝－2×1＝－2，
故B正确、C错误、D正确．故选ABD.
答案：ABD
4．解析：因为f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以f(－2x)＝f(＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x)．令t＝－2x，则x＝，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x)．对两边求导，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的图象关于点(，0)对称，即g()＝0.又因为g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期为4×(2－)＝2，所以g()＝g(－)＝0，所以B正确．因为f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C为常数，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的图象关于点(2，)对称．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)的周期为4×(2－)＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2)．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，所以C正确．g(－1)＝g(1)＝－g(2)，所以D错误．因为f(0)＝f(2)＝，所以当C＝0时，f(0)＝0，当C≠0时，f(0)≠0，所以A错误．故选BC.
答案：BC