2025版高考数学全程一轮复习练习第二章函数第九节函数与方程

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第二章函数第九节函数与方程，共14页。

2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．
3．了解二分法求方程的近似解．
问题思考·夯实技能
【问题1】 函数零点与方程根有何联系？
【问题2】 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，y＝f(x)在(a，b)内有零点，那么一定有f(a)f(b)<0吗？
关键能力·题型剖析
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
[听课记录]

【变式练习】 用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过______次二分后精确度达到0.1.
题后师说
判定函数零点所在区间的2种方法
巩固训练1
(1)函数y＝x＋－3的一个零点在(0，1)内，另一个零点在________内．( )
A．(4，5) B．(3，4)
C．(2，3) D．(1，2)
(2)已知函数f(x)＝ln x＋3x－7的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)[2024·河南洛阳模拟]函数f(x)＝－lg2x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，]时，f(x)＝9x－1，则h(x)＝(x－1)f(x)－2在区间[－2 021，2 023]上所有零点之和为________．
[听课记录]




题后师说
判定函数零点个数的3种方法
巩固训练2
(1)[2024·河北唐山模拟]已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)[2024·北京东城模拟]已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．
题型三 函数零点的应用
角度一 根据零点个数求参数
例3 [2024·江苏盐城模拟]已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－f(－x)有五个零点，则实数a的取值范围是________．
[听课记录]

角度二 根据函数零点的范围求参数
例4 [2024·山西阳泉模拟]函数f(x)＝lg2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点．则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
[听课记录]

题后师说
根据函数零点的情况求参数的方法
巩固训练3
(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是( )
A．(7，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(7，+∞) D．(－1，7)
(2)[2024·安徽蚌埠模拟]若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
1.[2024·河北衡水模拟]函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(3，4) B．(2，e)
C．(1，2) D．(0，1)
2．[2024·北京朝阳模拟]函数f(x)＝的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．[2024·河南焦作模拟]若函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为( )
A．(1，e2) B．(1，2)
C．(1，e2＋1) D．(2，＋2)
4．已知函数f(x)＝，若函数y＝f(x)－1有3个零点，则实数a的取值范围是________．
状元笔记 嵌套函数的零点问题
对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
一、判断嵌套函数的零点个数
【典例1】 [2024·广东揭阳模拟]函数f(x)＝，则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析] 令t＝f(x)，则f(t)＝1，当t≤1时，由t2－1＝1可得t＝－或t＝(舍去)；当t＞1时，由ln t＝1可得t＝e，所以f(t)＝1的两根为t1＝－，t2＝e，
则f(x)＝－或f(x)＝e，因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(0)＝－1，若f(x)＝－，易知方程无解，
若f(x)＝e，当x≤1时，由x2－1＝e，得x＝－或x＝(舍去)，
此时方程有唯一的解；
当x＞1时，由ln x＝e，得x＝ee，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2个．
[答案] A
二、由嵌套函数零点的情况求参数
【典例2】 (多选)[2024·湖南永州模拟]已知函数f(x)＝，若关于x的方程f2(x)－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝0有6个不同的实根，则实数a可能的取值有( )
A．－ B．
C． D．2
[解析] 当x＜0时，f(x)＝x3－3x，
则f ′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(－1，0)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，
作出f(x)的图象，如图所示，f2(x)－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝(f(x)－a)(f(x)－a－1)＝0，
即f(x)＝a与f(x)＝a＋1共六个不等实根，
由图可知f(x)＝2时，x＝－1或x＝2，即f(x)＝2有两个根，
若使f(x)＝a与f(x)＝a＋1共六个不等实根，
只需满足，即0＜a＜1.
[答案] BC
第九节 函数与方程
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．
【问题2】 提示：不一定．例如函数f(x)＝x2－1在区间[－2，2]上的图象是连续不断的一条曲线，且在(－2，2)内有零点，但f(－2)f(2)>0.事实上，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，那么“f(a)f(b)<0”是“y＝f(x)在(a，b)内有零点”的充分不必要条件．
关键能力·题型剖析
例1 解析：由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6在定义域内单调递增，
f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，
f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，
则f(2)f(3)<0，
∴零点在区间(2，3)上．
答案：B
变式练习 解析：∵开区间(2，3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.
故有≤0.1，解得n≥4，
∴至少要操作4次．
答案：4
巩固训练1 解析：(1)因为函数f(x)＝x＋－3的一个零点在(0，1)内，
所以，又因为函数y＝x＋－3在(2，3)连续不断，根据零点存在性定理另一个零点在(2，3)内．
(2)由题意可知函数f(x)＝ln x＋3x－7在定义域(0，＋∞)内单调递增，
易知f(2)＝ln 2＋3×2－7＝ln 2－1<0，
而f(3)＝ln 3＋3×3－7＝ln 3＋2>0，所以f(2)·f(3)<0，
根据零点存在定理可知，函数f(x)在区间(2，3)内存在零点，
所以可得n＝2.
答案：(1)C (2)2
例2 解析：(1)由f(x)＝0，得＝lg2x，因此函数f(x)的零点即为函数y＝lg2x与y＝的图象交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数y＝lg2x与y＝的图象，如图，
观察图象知，函数y＝lg2x与y＝的图象有唯一公共点，
所以函数f(x)＝－lg2x的零点个数为1.
(2)由f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x＋1)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，则f(x)的周期是2，
且f(x＋1)＝f(－x)得x＝是其中一条对称轴，
又x∈时f(x)＝9x－1，于是f(x)图象如图所示，
又函数h(x)＝(x－1)f(x)－2的零点，即为y＝f(x)与y＝的交点的横坐标，
由图知：交点关于(1，0)对称，每个周期都有2个交点，
所以[－2 021，1)、(1，2 023]各有1 011个周期，故各有2 022个交点，它们两两关于(1，0)对称，
所以零点之和为2 022×2＝4 044.
答案：(1)B (2)4 044
巩固训练2 解析：(1)令g(x)＝0得f(x)＝，在同一直角坐标系中作出f(x)(图中细实线所示)，y＝(图中粗实线所示)的大致图象如图：
由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点，
即函数g(x)有3个零点．
(2)当x≤0时，由f(x)＝x2＋x－2＝0，即(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1(舍)，
当x>0时，由f(x)＝－1＋ln x＝0，解得x＝e，
综上可得，函数f(x)的零点为－2，e.
答案：(1)C (2)－2，e
例3 解析：当x≥0时，f(x)＝x|x－2|，则－x≤0，f(－x)＝－ax，
此时f(x)－f(－x)＝0⇒x|x－2|＝－ax，则x＝0或－a＝|x－2|，
当x<0时，f(x)＝ax，则－x>0，f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|，
此时f(x)－f(－x)＝0⇒－x|x＋2|＝ax，则－a＝|x＋2|，
故问题转为－a＝|x－2|(x≥0)，－a＝|x＋2|，(x<0)共有四个零点，
画出函数图象如图可知，0<－a<2⇒－2答案：(－2，0)
例4 解析：由y1＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝lg2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f(x)＝lg2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，
所以，即，解得－5所以实数m的取值范围是(－5，－1)．
答案：B
巩固训练3 解析：(1)∵y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上是增函数，
∴只需即，
解得－1(2)函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，
y＝|2x－2|和y＝b的图象有两个交点，
画出y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图，要有两个交点，那么b∈(0，2)．
答案：(1)D (2)(0，2)
随堂检测
1．解析：因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．
答案：C
2．解析：当x≤0时，令f(x)＝x2＋2x－3＝0，
则(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3，
当x>0时，令ex－2＝0，解得x＝ln 2，
所以f(x)的零点个数为2.
答案：C
3．解析：∵f(x)＝ln x＋x2－a，故f′(x)＝＋2x>0在区间(1，e)上恒成立，
∴f(x)在(1，e)上单调递增．又函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0，即，解得a∈(1，e2＋1)．
答案：C
4．解析：函数f(x)＝，若函数y＝f(x)－1有3个零点，
当x≥1时，令f(x)－1＝0，即ln x＝1，解得x＝e，符合题意；
当x<1时，令f(x)－1＝0，即x2＋2x＋a＝1，即x2＋2x＋a－1＝0，
要使得函数y＝f(x)－1有3个零点，则方程x2＋2x＋a－1＝0有两个小于1的实根，
设g(x)＝x2＋2x＋a－1，即函数g(x)在x<1上与x轴有两个交点，
则满足，解得－2答案：(－2，2)