2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系，共13页。

2．掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式．
3．能利用方程即数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 AB为椭圆＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，弦的中点为M(x0，y0)，请你推出直线AB的斜率的表达式．
【问题2】 AB为双曲线＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，弦的中点为M(x0，y0)，请你推出直线AB的斜率的表达式．
关键能力·题型剖析
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1(1)直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值是( )
A． B．－
C．± D．±
(2)已知双曲线 C：＝1(n>0)的一条渐近线方程为4x＋ny＝0，若直线l：y＝kx－2k与C只有一个公共点，则实数k的值为________.
题后师说
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
巩固训练1
(1)[2024·辽宁沈阳模拟]命题p：直线y＝kx＋b与抛物线x2＝2py有且仅有一个公共点，命题q：直线y＝kx＋b与抛物线x2＝2py相切，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)[2024·江西九江模拟]直线y＝x与双曲线＝1(a>0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则离心率e＝______．
题型二 弦长问题
例2[2023·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.
题后师说
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．
巩固训练2
[2024·河北保定模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线l的方程．
题型三 中点弦问题
例3[2024·河南洛阳模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的长轴比短轴长2，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，求l的方程．
题后师说
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
(1)根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．
巩固训练3
(1)[2024·吉林长春模拟]直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)双曲线E：＝1(a>0，b>0)被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为(2，1)，则双曲线E的离心率为 ______．
1．[2022·全国甲卷]椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
2．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
3．[2022·全国甲卷]记双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
4．[2022·新高考Ⅱ卷] 已知椭圆＝1，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则直线l的方程为________________．
第八节 直线与圆锥曲线的位置关系
问题思考·夯实技能
【问题1】 答案：因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以
①－②得＝0，易知y1＋y2≠0，
整理得＝－·＝－，
即直线AB的斜率k＝－.
【问题2】 答案：因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以
①－②得＝0，整理得＝·＝，即直线AB的斜率k＝.
关键能力·题型剖析
例1 解析：由得，(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±，
故选C.
解析：由双曲线 C：＝1(n>0)可得a＝2，b＝，且双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的渐近线为y＝±x，
因为双曲线的一条渐近线方程为4x＋ny＝0，即y＝－x，
可得＝，解得n＝4，
所以双曲线C：＝1.
联立方程消去y得(x－2)[(1－k2)x＋2(k2＋1)]＝0，
当1－k2＝0，即k＝±1时，则4(x－2)＝0，解得x＝2，
故直线l：y＝kx－2k与C只有一个公共点，符合题意；
当1－k2≠0，即k∈(－∞，－1)时，
则(x－2)[(1－k2)x＋2k2＋2]＝0，解得x＝2或x＝＝2(1＋)≠2，
故直线l：y＝kx－2k与C有两个公共点，不符合题意；
综上所述k＝±1.
答案： C (2)k＝±1
巩固训练1 解析：∵抛物线x2＝2py的对称轴为y轴，
∴一条直线与抛物线x2＝2py有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与x轴垂直，
∵直线y＝kx＋b存在斜率，与x轴不垂直，
∴“直线y＝kx＋b与抛物线x2＝2py有且仅有一个公共点”等价于“直线y＝kx＋b与抛物线x2＝2py相切”，则命题p是命题q的充要条件．故选C.
解析：由A，B两点在直线y＝x上，设A(x0，x0)(x0>0)，
因为A，B两点关于原点对称，所以B(－x0，－x0)，
由A，B两点的横坐标之积为－9得x0×(－x0)＝－9，解得x0＝3，所以A(3，2)，
代入双曲线方程得＝1，所以a＝，
所以c＝＝，所以离心率为＝＝.
答案： C (2)
例2 解析：设点P的坐标为(x，y)，依题意得|y|＝，化简得x2＝y－，
所以W的方程为x2＝y－.
解析：证明：设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，
则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|)．
设B(t，t2＋)，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，
故可设直线AB的方程为y－(t2＋)＝k(x－t)，不妨设k>0，
与x2＝y－联立，得x2－kx＋kt－t2＝0，
则Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2>0，所以k≠2t.
设A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，
所以|AB|＝|x1－t|＝|k－2t|＝|2t－k|，
|BC|＝|－－2t|＝|＋2t|＝|2kt＋1|，且2kt＋1≠0，
所以2(|AB|＋|BC|)＝(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|)．
因为|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝
当2k－2k2≤0，即k≥1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－]上单调递减或是常函数(当k＝1时是常函数)，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，
所以当t＝时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k2＋1，又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)＞(k2＋1)＝.
令f(k)＝，k≥1，
则f′(k)＝，
当1≤k＜时，f′(k)＜0，当k＞时，f′(k)＞0，
所以函数f(k)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
所以f(k)≥f()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)＞≥3.
当2k－2k2＞0，即0＜k＜1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－]上单调递增，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，
所以当t＝－时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k3＋k＝k(1＋k2)，
又2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)＞k(k2＋1)＝.
令g(k)＝，0则g′(k)＝，
当00，
所以函数g(k)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，
所以g(k)≥g()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)>≥3.
综上，矩形ABCD的周长大于3.
巩固训练2 解析：由题意可得解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
解析：由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，故|y1－y2|＝＝ ＝，
因为△ABO的面积为，所以|OP||y1－y2|＝×1×＝＝，
设t＝，则＝，整理得(3t－1)(t－3)＝0，解得t＝3或t＝(舍去)，即m＝±.
故直线的方程为x＝±y＋1，即x±y－1＝0.
例3 解析：因为椭圆C的离心率为，所以＝1－，解得＝.
又椭圆C的长轴比短轴长2，所以2a－2b＝2，
联立方程组解得
所以椭圆C的方程为＝1.
解析：显然点M(－2，1)在椭圆9x2＋16y2＝144内，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆C上，所以
两个方程相减得)＝0，
即9(x1－x2)(x1＋x2)＝－16(y1－y2)(y1＋y2)，
因为线段AB的中点为M(－2，1)，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
所以＝－＝.
所以l的方程为y－1＝(x＋2)，即9x－8y＋26＝0.
巩固训练3 解析：∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
两式相减得，＝－＝－，
∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为，
将(1，)代入直线y＝－x－，解得m＝－2.故选A.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，kAB＝＝4，
将A，B两点坐标代入双曲线方程得：＝＝1，
将上述两式相减可得：
＝，
即＝，也即＝＝2，
所以e2＝＝＝1＋＝3，即e＝.
答案： A (2)
随堂检测
1．解析：设P(x1，y1)，则点Q的坐标为(－x1，y1)．由题意，得点A(－a，0)．又直线AP，AQ的斜率之积为，所以·＝，即＝①.又点P在椭圆C上，所以＝1②.由①②，得＝，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选A.
答案：A
2．解析：将点A(1，1)的坐标代入x2＝2py(p＞0)，解得p＝.所以抛物线C：x2＝y，其准线方程为y＝－，所以A错误；由y＝x2，得y′＝2x.当x＝1时，y′＝2，所以抛物线在点A(1，1)处的切线方程为y＝2x－1.令x＝0，得y＝－1，即切线y＝2x－1过点B，所以B正确；设直线PQ：y＝x1x2)．将PQ：y＝kx－1与C：x2＝y联立，得x2－kx＋1＝0，所以Δ＝k2－4＞0，x1＋x2＝k，x1x2＝1，所以|OP|·|OQ|＝＞＝2＝，所以C正确；因为|BP|·|BQ|＝|x1|·|x2|＝1＋k2＞5＝|BA|2，所以D正确．故选BCD.
答案：BCD
3．解析：双曲线C的一条渐近线与C没有公共点，所以可令≤2，则e＝ ＝.又因为e>1，所以1答案：(满足14．解析：令AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝1，
所以＝0，即＝0，
所以＝－，即kOE·kAB＝－，设直线AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，
令x＝0得y＝m，令y＝0得x＝－，
即M(－，0)，N(0，m)，所以E(－)，
即k×＝－，解得k＝－或k＝(舍去)，
又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，
所以直线AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0