2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第一节直线的方程

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第一节直线的方程，共13页。试卷主要包含了故选C，故选B等内容，欢迎下载使用。

2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
问题思考·夯实技能
【问题1】 直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
【问题2】
在平面直角坐标系中，给定直线l上一个定点P0(x0，y0)和斜率k，则直线l上不同于该定点的任意一点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y所满足的关系式是什么？
关键能力·题型剖析
题型一直线的倾斜角与斜率
例1(1)直线2x cs α－y－3＝0(α∈)的倾斜角的变化范围是( )
A．[] B．[]
C．[) D．[]
(2)直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
【变式练习】 若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他条件不变，则直线l的斜率的取值范围为________．
题后师说
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，，π)上并不是单调的．
(2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在．
巩固训练1
(1)已知动直线l：x＋my－2＝0的倾斜角的取值范围是()，则实数m的取值范围是( )
A．(－，－1) B．(－1，－)
C．(，1) D．(1，)
(2)已知点P，Q的坐标分别为(－1，1)，(2，2)，直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是__________．
题型二 求直线方程
例2(1)[2024·江苏淮安模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n＝(3，4)是l的一个法向量，则直线l倾斜角的余弦值为( )
A．－ B．
C． D．－
(2)一条直线l经过P(，－3)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．
题后师说
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
巩固训练2
(1)已知三角形三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线方程是( )
A．x－13y＋5＝0 B．x－13y－5＝0
C．x＋13y＋5＝0 D．x＋13y＝0
(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________．
题型三 直线方程的综合应用
例3已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【变式练习】 本例中，条件不变，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
题后师说
利用最值取得的条件求直线方程，一般涉及函数思想，即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及基本不等式，何时取等号，一定要弄清楚．
巩固训练3
已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，求直线l的方程．
1．如图，已知直线PM，QP，QM的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为( )
A．k1B．k1C．k2D．k32．过点(1，2)且方向向量为(－1，2)的直线的方程为( )
A．2x＋y－4＝0
B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0
D．2x－y＋4＝0
3．已知直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围为( )
A．(0，，π) B．[0，，π)
C．[0，，π) D．[0，，π)
4．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．
第八章 解析几何
第一节 直线的方程
问题思考·夯实技能
【问题1】 答案：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
【问题2】 答案：y－y0＝k(x－x0)
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)因为直线2x cs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，
由于α∈[]，所以≤cs α≤，
因此k＝2cs α∈[1，].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]，
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈[]，即倾斜角的变化范围是[].故选B.
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
∴kPA＝＝，kPB＝＝.
由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[].
答案：B
答案： []
变式练习 解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝＝－，
当直线l过A时设直线l的斜率为k2，
则k2＝＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－
答案：(－∞，－
巩固训练1 (1)由题设知：直线斜率范围为(1，)，即1<－<，可得－1解析：如图所示，
由题知kPQ＝＝，
直线x＋my＋m＝0过点M(0，－1)．
当m＝0时，直线化为x＝0，一定与PQ相交，所以m≠0，
当m≠0时，kl＝－，考虑直线l的两个极限位置．
①l经过Q，即直线l1，则＝＝；
②l与直线PQ平行，即直线l2，则＝kPQ＝，
因为直线l与PQ的延长线相交，
所以<－<，即－3答案： B (2)－3例2 解析：因为直线l通过原点，n＝(3，4)是l的一个法向量，
所以直线l的方程为3x＋4y＝0，设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，
又且0°≤θ<180°，解得cs θ＝－.
故选A.
解析：因为直线y＝x的斜率为，
所以直线y＝x的倾斜角为，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为tan ＝－，
因为直线l经过P(，－3)，
所以直线l的方程为y＋3＝－(x－)，即y＝－x.
答案： A (2)y＝－x
巩固训练2 解析：由B(3，－3)，C(0，2)，得BC的中点坐标为D(，－)，又A(－5，0)，
∴kAD＝＝－.
∴BC边上中线所在直线方程是
y－0＝－(x＋5)，即x＋13y＋5＝0.故选C.
解析：设在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线
方程为＝1，
把点(2，1)代入，可得＝1，求得a＝3或a＝4，
故要求的直线的方程为＝1或＝1，
即x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
答案： C (2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
例3 解析：方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A(2－，0)，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·(2－)＝[4＋(－4k)＋(－)]≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线l：＝1，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，则1＝≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为＝1，即x＋2y－4＝0.
变式练习 解析：方法一 由本例方法一知A(，0)，B(0，1－2k)(k＜0)，
所以|MA|·|MB|＝·
＝2＝2[(－k)＋]≥4.
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＝1.
所以|MA|·|MB|＝||·||＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)()－5＝2()≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
巩固训练3 解析：设直线l的斜率为k，则k＜0，所以直线l的方程
为y－1＝k(x－1)(k＜0)
则A(1－，0)，B(0，1－k)，
∴|MA|2＋|MB|2＝[(－)2＋1]＋[1＋(－k)2]
＝2＋k2＋≥2＋2·＝4，
当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，
∴当|MA|2＋|MB|2取得最小值4时，直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
随堂检测
1．解析：由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，
当倾斜角为锐角时，斜率为正，即k3>0，k2>0，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即k1<0，
又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即k3所以k1答案：B
2．解析：由题意可知直线的斜率k＝＝－2，由点斜式方程得，
所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.
答案：A
3．解析：由直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，化为y＝－x sin α＋，
∵α∈R，∴－1≤sin α≤1，设直线l的倾斜角为φ，且0≤φ＜π，则tan α＝－sin α∈[－]，
所以0≤φ≤或≤φ<π；
即直线l的倾斜角范围是[0，，π)．故选B.
答案：B
4．解析：直线l的方程可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，则解得x＝1，y＝－4，所以直线l过定点(1，－4)．若直线l不经过第三象限，则解得a≥3.
答案：(1，－4) [3，＋∞)