2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何专题培优课高考中的圆锥曲线压轴小题

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何专题培优课高考中的圆锥曲线压轴小题，共18页。

关键能力·题型剖析
题型一 离心率范围问题
例1 (1)过双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且∠ADB为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，)
B．(， )
C．(，2)
D．(，＋∞)
(2)[2024·河北石家庄模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为2，过椭圆C的右焦点F且不与两坐标轴平行的直线交椭圆C于A，B两点，若x轴上的点P满足|PA|＝|PB|且|PF|>恒成立，则椭圆C离心率e的取值范围为________．
题后师说
求解圆锥曲线离心率范围问题的策略
巩固训练1
(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，) B．(0，)
C．() D．(，1)
(2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率的取值范围是( )
A．(1，] B．[，＋∞)
C．(1，] D．[，＋∞)
题型二 圆锥曲线中的二级结论的应用
角度一 椭圆、双曲线中二级结论的应用
例2(1)(多选)[2024·安徽黄山模拟]已知椭圆C：＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是( )
A．存在点P，使得cs ∠F1PF2＝－
B．若△PF1F2为直角三角形，则这样的点P有4个
C．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值－
D.椭圆C内接矩形的周长取值范围是(4，8]
(2)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，上顶点为A，过左焦点F1的直线l1与C交于D，E两点，过右焦点F2的直线l2经过A点，且l1⊥l2.若四边形AEF2D的面积为，则C的长轴长为________．
题后师说
焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan ，双曲线中＝.周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝.
巩固训练2
(1)设椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为( )
A． B．
C．－1 D．－
(2)[2024·安徽合肥模拟]已知M，N为双曲线＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，＝，直线NE交双曲线的右支于点P，若PM⊥MN，则双曲线的离心率e为________．
角度二 抛物线中的二级结论及应用
例3(1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝( )
A．4 B．
C．5 D．6
(2)(多选)[2024·山东德州模拟]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，直线l与x轴交于点P，过点F的直线与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，则( )
A．若x1＋x2＝8，则|AB|＝12
B．·＝－27
C．＝
D．△PAB面积的最小值为16
题后师说
抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
巩固训练3
(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，P为C上的一动点，A(5，1)，则下列结论正确的是( )
A．p＝4
B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8
C．|PF|的最小值为4
D．|PA|＋|PF|的最小值为9
题型三 圆锥曲线与其他知识的综合
例4 人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y＝x＋的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线．现将函数y＝3x＋的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是( )
A．3＋ B．20－6
C． D．
题后师说
高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．
巩固训练4
[2024·河北沧州模拟]若P为抛物线C：x2＝2py(p>0)在第二象限内一点，抛物线C的焦点为F，直线PF的倾斜角为30°，抛物线在点P处的切线与y轴相交于点M.若|OM|＝(O为坐标原点)，则△MPF的面积为____________．
1．[2024·山西吕梁模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与C交于P，Q两点＝0，且△PF2Q的面积为4a2，则C的离心率是( )
A． B．
C．2 D．3
2．[2024·河南开封模拟]已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|( )
A．有最大值4 B．有最大值3
C．有最小值4 D．有最小值3
3．[2024·人大附中模拟]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3，2)，点P为该抛物线上一动点，则△PAF周长的最小值是( )
A．3＋2 B．3
C．4＋2 D．2＋2＋2
4．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得 ∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是________．
专题培优课 高考中的圆锥曲线压轴小题
关键能力·题型剖析
例1 解析：设双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c，0)，
令x＝－c，得y＝±，可设A(－c，)，B(－c，－)，
由对称性，不妨设D(0，b)，可得＝(－c，－b)，＝(－c，－－b)，
由题意知A，D，B三点不共线，
所以∠ADB为钝角⇔·<0，
即为c2－(＋b)(－b)<0，
将b2＝c2－a2代入化简得c4－4a2c2＋2a4>0，
由e＝，可得e4－4e2＋2>0，
又e>1，解得e2>2＋，则e>，
综上，离心率的取值范围为(，＋∞)．故选D.
解析：依题意，点F(1，0)，设直线AB：x＝ty＋1，t≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得：(b2t2＋a2)y2＋2b2ty＋b2－a2b2＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，线段AB的中点M(，－)，
因为|PA|＝|PB|，则有PM⊥AB，直线PM：y＋＝－t(x－)，
令y＝0得点P(，0)，而a2－b2＝1，有＝<1，
又|PF|>，即1－>，因此0<<，即b2t2＋a2>3，
依题意，b2t2＋a2>3恒成立，而恒有b2t2＋a2>a2，因此a2≥3⇔a≥，离心率e＝，
所以椭圆C离心率e的取值范围为0答案： D (2)(0，]
巩固训练1 解析：根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：＝1(a>b>0)，设F1(－c，0)，F2(c，0)，设＝0⇒(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝c2＝＝，点M(x0，y0)在椭圆内部，有b2a2b2>2a2－，要想该不等式恒成立，只需2a2－<0⇒2a2c20⇒0解析：设P(x，y)，|PB|≥b⇒≥b⇒x2＋y2－2by≥0(*)，由＝1⇒x2＝a2(1＋)，代入不等式*中，化简，得y2－2by＋a2≥0恒成立，则有Δ＝4b2－≤0⇒b4≤a2c2⇒b2≤ac⇒c2－a2≤ac⇒e2－e－1≤0，解得≤e≤，而e>1，所以1答案： B
答案：A
例2 解析：设椭圆上任意一点为P(x，y)，F1(－，0)，F2(，0)，则＝＝(－x，－y)，|F1F2|＝2c＝2，
由余弦定理得cs ∠F1PF2＝＝
＝＝－1
∵|PF1|·|PF2|≤＝a2，cs ∠F1PF2≥－1＝－1，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，此时P在椭圆的上下顶点处，cs ∠F1PF2最小，∠F1PF2最大，
对于A，当P在椭圆的上下顶点时，cs ∠F1PF2＝－1＝－>－，故不存在点P，使得cs ∠F1PF2＝－，故A错误；对于B，当P在椭圆的上下顶点时，cs ∠F1PF2的最小值为cs ∠F1PF2＝－>0，此时∠F1PF2为钝角，根据椭圆的对称性可知：当∠P为直角时，此时有4个满足位置的点P，当∠F1为直角时，满足条件的P有2个，同理∠F2为直角时，也有2个满足条件的P，故当△PF1F2为直角三角形时，有8个满足条件的P，故B错误；对于C，A(－，0)，B(0)，所以kAPkBP＝·＝＝＝－，故C正确；对于D，不妨设M(sin α，cs α)是椭圆在第一象限的内接矩形的一顶点，根据椭圆的对称性可知椭圆的内接矩形的四个顶点关于坐标轴对称，故矩形的周长为4(sin α＋cs α)＝8sin (α＋)，故当α＝ 时，M()在椭圆上，此时周长最大为8，当α＝0时，此时8sin (α＋)＝4，此时M在短轴上，不能构成矩形，故周长大于4，故周长的范围为(4，8]，故D正确．故选CD.
解析：设椭圆C的半焦距为c(c>0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，则＝，椭圆C：＝1.
由题可知△AF1F2为等边三角形，所以|AF2|＝|AF1|＝|F1F2|＝2c，
因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，
所以kDE＝tan 30°＝.由线段垂直平分线的性质可得|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|.
直线DE的方程为y＝(x＋c)，与C的方程联立化简可得13x2＋8cx－32c2＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以，
|DE|＝|x1－x2|＝·＝·＝.
所以＝|AF2||DE|＝＝，
解得c＝1，则a＝2.故C的长轴长为2a＝4.
答案： CD (2)4
巩固训练2
解析：∵∠F1AF2＝90°，
∴△F1AF2为等腰直角三角形，
∴b＝c，
∴a2＝2b2＝2c2，
∴＝，且∠AF2O＝45°
∴kMA＝－1，
又kMA·kMB＝－＝－，
∴kMB＝.故选B.
解析：设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，由＝得E(x1，－y1)，
从而有kMN＝，kPN＝kEN＝＝－，又PM⊥MN，所以kMP＝－，
又由得＝，则＝，
即kPMkPN＝，所以kPMkPN＝(－)·(－)＝＝，所以e＝＝ ＝.
答案： B (2)
例3 解析：∵F(1，0)，根据题意设y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，k≠0，
联立可得k2x2－(2k＋4)x＋k2＝0，
∴
又|AF|＝2|BF|，
∴1＋x1＝2(1＋x2)，
∴x1＝1＋2x2，又x1x2＝1，
∴x2＝，x1＝2，
∴|AB|＝p＋x1＋x2＝2＋2＋＝，故选B.
解析：抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2，P(－2，0)，
设直线AB为x＝my＋2，
则即y2－8my－16＝0，
Δ＝64m2＋64>0，故＝64x1x2＝162，故x1x2＝4，
对选项A：|AB|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4＝12，正确；
对选项B：·＝x1x2＋y1y2＝4－16＝－12，错误；
对选项C：＝＝＝＝，正确；
对选项D：S△PAB＝×|PF|×|y2－y1|＝
2＝2≥16，
当m＝0时等号成立，正确．故选ACD.
答案： B
答案：ACD
巩固训练3
解析：对于A，由抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)可知＝4⇒p＝8，故A错误；
对于B，当PF⊥x轴时，则点P的横坐标为4，将其代入y2＝16x中得y＝±8，故B错误；
对于C，设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋4，由于x0≥0，所以|PF|＝x0＋4≥4，故|PF|的最小值为4，故C正确；
对于D，过P作PM垂直于准线于M，过A作AE垂直于准线于E，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|≥|AM|≥|AE|＝9，当P，E，A三点共线时等号成立，故D正确．故选CD.
答案：CD
例4 解析：由课本“探究与发现”可知y＝3x＋的两条渐近线分别为y＝3x，x＝0，
所以该函数对应的双曲线的焦点在y＝3x与x＝0夹角(锐角)的角平分线l上，
设l：y＝kx且k>3，
若α，β分别是y＝kx，y＝3x的倾斜角，故tan α＝k，tan β＝3，
故α－β为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
因为y＝kx是y＝3x与x＝0夹角(锐角)的角平分线，
所以α－β＝－α，
由tan (α－β)＝tan (－α)＝＝，
即tan (α－β)＝＝＝，
整理得k2－6k－1＝0，可得k＝3±，
因为k>3，所以k＝3＋，
即tan (α－β)＝＝－3，
设焦点位于x轴上的双曲线方程：＝1，
则双曲线C一条渐近线斜率为，
所以＝－3，
所以函数y＝3x＋的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C的离心率
e＝ ＝＝.故选D.
答案：D
巩固训练4
解析：依题意，F(0，)，直线PF的斜率为tan 30°＝，则直线PF的方程为y＝x＋，
与抛物线C联立
整理得x2－px－p2＝0，
又P在第二象限内，解得抛物线x2＝2py(p>0)可写为y＝，y′＝，
所以＝＝－，所以直线MP的斜率为－，切线方程为y－＝－(x＋p)，
即y＝－x－，则点M(0，－)，P(－)，F(0，)，
根据两点间的距离公式可得|PF|＝|MF|＝|MP|＝p，|MF|＝p，所以△MPF为正三角形，
又|OM|＝，所以p＝3，
因此△MPF为边长是2的正三角形，则其面积为×22＝.
答案：
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1.
解析：如图，若P在第一象限，因为＝0，所以PF1⊥QF1，
由图形的对称性知四边形PF1QF2为矩形，因为△PF2Q的面积为4a2，所以|PF1|·|PF2|＝8a2，
又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
在Rt△PF1F2中，(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，解得e＝＝.
故选B.
答案：B
2．解析：由椭圆＋y2＝1可得a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以a＝2，b＝1，c＝
因为点M在C上，所以|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，
设|MF1|＝t，t∈[a－c，a＋c]，即t∈[2－，2＋]，则|MF2|＝4－t，
所以|MF1|·|MF2|＝t(4－t)＝－t2＋4t，
由|MF1|·|MF2|＝－t2＋4t对应函数单调性可知，
当t＝2时，|MF1|·|MF2|＝－t2＋4t有最大值，最大值为4，
即|MF1|＝|MF2|＝2时，|MF1|·|MF2|最大值为4，
当t＝2－时，|MF1|·|MF2|＝－t2＋4t有最小值，最小值为－(2－)2＋4(2－)＝1，
即|MF1|＝2－，|MF2|＝2＋时，|MF1|·|MF2|最小值为1，
综上所述|MF1|·|MF2|最小值为1，最大值为4.故选A.
答案：A
3．解析：
因为抛物线方程为y2＝4x，所以2p＝4⇒＝1，
所以焦点F(1，0)，且抛物线准线方程为x＝－＝－1.
注意到△PAF的周长为C△PAF＝|PF|＋|FA|＋|PA|，
因为A(3，2)，F(1，0)，所以|FA|＝＝2，
所以C△PAF＝|PF|＋|PA|＋2.
因为根据抛物线定义，P点到准线x＝－1的距离等于|PF|，
则若求周长C△PAF最小值，即求P点到准线x＝－1的距离与PA长度之和的最小值即可，
由图可知，当P点为过A点作y轴垂线与抛物线的交点时，
P点到准线x＝－1的距离加PA长度之和最小，
最小值为3－(－1)＝4，
所以周长C△PAF的最小值为4＋2.故选C.
答案：C
4．解析：过P作PM，PN与圆x2＋y2＝b2相切，且切于点M，N，此时∠MPN最大，又圆
O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，
则∠MPN≥120°，
则∠OPM≥60°，
即sin ∠MPO＝，
即，
即0＜，
即C的离心率的取值范围是(0，].
答案：(0，]