高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节曲线与方程课时规范练理含解析新人教版

第八节 曲线与方程

[A组　基础对点练]

1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是(　　)

A．y＝x　　　　　　　　 B．y＝|x|

C．x2＋y2＝0     D．y2＝x2

解析：设动点的坐标为(x，y).因为动点到两坐标轴的距离相等，所以|x|＝|y|，即y2＝x2，动点的轨迹方程是y2＝x2.

答案：D

2．(2021·江西南昌模拟)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)

A．双曲线     B．椭圆

C．圆     D．抛物线

解析：由已知得|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．

答案：D

3．已知△ABC中， A，B的坐标分别为(0，2)和(0，－2)，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A．＋＝1(y≠0)     B．＋＝1(y≠0)

C．＋＝1(x≠0)     D．＋＝1(x≠0)

解析：由题知|AB|＝4，|CA|＋|CB|＝6，且6＞|AB|，所以C点轨迹是以A，B为焦点，6为长轴长，4为焦距的椭圆，去掉长轴端点．

答案：C

4．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　)

A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0

B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0

C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0

D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0

解析：可知AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x，y).由题意可知×5×＝10，所以4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.

答案：B

5．动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是(　　)

A．y2＝8x     B．y2＝－8x

C．y2＝4x     D．y2＝－4x

解析：双曲线x2－＝1的左焦点F(－2，0)，则圆心M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.

答案：B

6．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　　)

A．y2－＝1(y≤－1)     B．y2－＝1

C．y2－＝－1     D．x2－＝1

解析：由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴轨迹方程为y2－＝1(y≤－1).

答案：A

7．(2020·天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)

A.直线     B．椭圆

C．圆     D．双曲线

解析：设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，

所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，

即解得又λ1＋λ2＝1，

所以＋＝1，即x＋2y＝5，

所以点C的轨迹为直线．

答案：A

8．(2020·宁夏银川模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是________．

解析：设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x－3，2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.

答案：(2x－3)2＋4y2＝1

9．设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为________________．

解析：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，

因为⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，

所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，

所以x0＋y＝0.

由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，

所以即

所以－x＋＝0，即y2＝4x.

故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.

答案：y2＝4x

10．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，

P点坐标为(2x－2，2y).

因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

化简得(x－1)2＋y2＝1，

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)，

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

∴4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，

即x2＋y2－x－y－1＝0.

11．(2021·河南郑州第一次质量预测)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.

(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．

解析：(1)设点M(x，y)，由题意，得＝5，

即＝5，

化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，

所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.

轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．

(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，

此时所截得的线段长度为2＝8，

所以l：x＝－2符合题意．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝，

由题意，得＋42＝52，解得k＝.

所以直线l的方程为x－y＋＝0，

即5x－12y＋46＝0.

综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x－12y＋46＝0.

[B组　素养提升练]

1．一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且＝2，则点P的轨迹方程是________________．

解析：设P(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，

则a2＋b2＝36.因为＝2，

所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，

所以即代入a2＋b2＝36，

得9x2＋y2＝36，即＋＝1.

答案：＋＝1

2．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．

解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0).

答案：＋＝1(y≠0)

3．已知过点A(－2，0)的直线与x＝2相交于点C，过点B(2，0)的直线与x＝－2相交于点D，若直线CD与圆x2＋y2＝4相切，求直线AC与BD的交点M的轨迹方程．

解析：设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，则直线AC，BD的方程分别为y＝k1(x＋2)，y＝k2(x－2)，

据此可得C(2，4k1)，D(－2，－4k2)，

则kCD＝＝k1＋k2，

直线CD的方程为y－4k1＝(k1＋k2)(x－2)，

整理可得(k1＋k2)x－y＋2(k1－k2)＝0，

又直线与圆相切，则＝2，

据此可得k1k2＝－，

由于y＝k1(x＋2)，y＝k2(x－2)，

两式相乘可得y2＝k1k2(x2－4)＝－x2＋1，即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为＋y2＝1(y≠0).

4．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．

(1)△PAB的周长为10；

(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；

(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心).

解析：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6＞4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.

因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0).

(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，

因此|PA|－|PB|＝1.

由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1，2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.

(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.

因此其轨迹方程为y2＝－8x.