2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系，共14页。试卷主要包含了故选C，故选D等内容，欢迎下载使用。

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
【问题2】 将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
关键能力·题型剖析
题型一 直线与圆的位置关系
例1(1)已知M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l：ax＋by＝r2，则( )
A．m∥l且l与圆相交
B．m⊥l且l与圆相离
C．m∥l且l与圆相离
D．m⊥l且l与圆相交
(2)[2024·广东茂名模拟]已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题后师说
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆上或圆内，可判断直线与圆相交或相切．
巩固训练1
(1)设m∈R，则直线l：mx＋y－m－1＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系为( )
A．相离
B．相切
C．相交或相切
D．相交
(2)若直线l：x－y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则实数a的最小值是________.
题型二 圆的弦长及切线问题
角度一 弦长问题
例2(1)已知⊙O的圆心是坐标原点O，且截直线x－y＋2＝0得到的弦长为2，则⊙O的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝8
C．x2＋y2＝12 D．x2＋y2＝16
(2)[2024·湖北荆州模拟]若直线x－2y＋a＝0被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则实数a的值为__________．
题后师说
角度二 切线问题
例3(1)[2024·河北张家口模拟]过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0的切线，则切线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－2y＋1＝0或2x－y－1＝0
(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点P(－4，a)作圆C的一条切线，切点为A，则|PA|＝( )
A．2 B．±4
C．2 D．7
题后师说
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．
角度三 有关弦长、切线的最值(范围)问题
例4(1)[2024·湖北武汉模拟]已知直线l：x＋y－3＝0上的两点A，B，且|AB|＝1，点P为圆D：x2＋y2＋2x－3＝0上任一点，则△PAB的面积的最大值为( )
A．＋1 B．2＋2
C．－1 D．2－2
(2)[2024·河南开封模拟]过直线l：3x＋4y－1＝0上一点P作圆M：x2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是( )
A．1 B．
C．2 D．2
题后师说
涉及与圆的弦长、切线有关线段长度的最值(范围)问题，解题的关键是弄清楚圆心到已知直线的最短距离，然后再解决问题．
巩固训练2
(1)[2024·吉林延边模拟]经过P(2，3)向圆x2＋y2＝4作切线，切线方程为( )
A．5x－12y＋26＝0
B．13x－12y＋10＝0
C．5x－12y＋26＝0或x＝2
D．13x－12y＋10＝0或x＝2
(2)[2024·广东深圳模拟]若过点M(2，1)的直线l与圆O：x2＋y2＝8交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为( )
A．2x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．2x＋y－5＝0
题型三 圆与圆的位置关系
例5(1)(多选)[2024·广东珠海模拟]已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是( )
A．C1与C2的公切线恰有4条
B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0
C．C1与C2相交弦的弦长为
D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则＝12
(2)[2024·山东潍坊模拟]已知圆C：x2＋y2－4x cs θ－4y sin θ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是________．
题后师说
(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
(3)求两圆公共弦长时，在其中一圆中，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，利用勾股定理求解．
巩固训练3
(1)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4，则圆C1与C2的位置关系是( )
A．内含 B．相交
C．外切 D．相离
(2)[2024·河南驻马店模拟]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为( )
A．2ax＋by－1＝0 B．2ax＋by－3＝0
C．2ax＋2by－1＝0 D．2ax＋2by－3＝0
1．[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B．
C． D．
2．(多选)[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
3．[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
4．[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆＝1有公共点，则a的取值范围是________．
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
问题思考·夯实技能
【问题1】 答案：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”．判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
【问题2】 答案：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在直线．
关键能力·题型剖析
例1 解析：由kOM＝＝可知，以M为中点的弦所在直线m的斜率为－，
则直线m的方程为y＝－x＋b＋，直线l的方程可化为y＝－x＋，
因为M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，所以a2＋b2由>＝b＋可知，m∥l，
圆心O到直线l：ax＋by＝r2的距离为d＝>r.
故直线l与圆相离．故选C.
解析：由圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1可得圆心(2，1)，半径为1，
所以直线l与圆C相交⇔圆心(2，1)到直线l：kx－y＝0的距离d＝<1，解得0答案：C
答案：A
巩固训练1 解析：因为mx＋y－m－1＝0，所以m(x－1)＋y－1＝0，即直线恒过定点(1，1)；
因为点(1，1)恰在x2＋y2＝2上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切．故选C.
解析：由于直线l：x－y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝1有公共点，
因此圆心C(2，0)到直线l：x－y＋a＝0的距离d＝≤1，
于是|2＋a|≤2，解得a∈[－4，0]，因此实数a的最小值是－4.
答案： C
答案：－4
例2 解析：由题意，原点到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝，
设⊙O的半径为r，因为⊙O被直线x－y＋2＝0截得的弦长为2，
由圆的弦长公式，可得2＝2＝2，解得r＝2，
又由⊙O的圆心为坐标原点，所以圆⊙O的方程为x2＋y2＝8.
故选B.
解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径r＝1，
弦长为2，则直线过圆心，即1－2＋a＝0，解得a＝1.
答案： B (2)1
例3 解析：由题意可知：圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心E(2，－1)，半径r＝，
∵12＋12－4×1＋2×1＝0，
∴点P在圆E上，
又∵kPE＝＝－2，则切线的斜率k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.故选C.
解析：由圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0，可得(x－3)2＋(y－1)2＝9，
所以圆心C(3，1)，半径为r＝3，
又由直线l：x＋ay－1＝0是圆C的对称轴，即直线l过圆心C(3，1)，
即3＋a－1＝0，解得a＝－2，即P(－4，－2)，
则|PC|＝＝，
所以切线长为|PA|＝＝＝7.故选D.
答案： C
答案：D
例4 解析：把圆D：x2＋y2＋2x－3＝0变形为(x＋1)2＋y2＝4，
则圆心D(－1，0)，半径r＝2，
圆心D到直线l：x＋y－3＝0的距离d＝＝2，
则圆D上的点到直线AB的距离的最大值为d＋r＝2＋2，又|AB|＝1，
∴△PAB的面积的最大值为×(2＋2)×1＝＋1.
故选A.
解析：圆M：x2＋(y－4)2＝1的圆心M(0，4)到直线l：3x＋4y－1＝0的距离d＝＝3，
故|MP|的最小值是3，又因为|MA|＝1，则|AP|＝≥2，
故△AMP的面积的最小值是S＝×1×2＝，故四边形MAPB的面积的最小值是2.故选D.
答案： A
答案：D
巩固训练2 解析：①当切线的斜率不存在时，直线x＝2是圆的切线．
②当切线斜率存在时，设切线方程为l：y－3＝k(x－2)，
由(0，0)到切线距离为d＝＝2得k＝，
此时切线方程为y－3＝(x－2)即5x－12y＋26＝0.故选C.
解析：
当AB最短时，直线l⊥OM，
所以kl·kOM＝－1.
又kOM＝，所以kl＝－2，
所以l的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.故选D.
答案：C
答案：D
例5 解析：由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，
圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，
|C1C2|＝＝5，r2－r1故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，
C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2＝，故C错误；
若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正确．故选BD.
解析：圆C标准方程为(x－2cs θ)2＋(y－2sin θ)2＝4，
圆C的圆心为(2cs θ，2sin θ)，半径为2，
由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，
故圆C上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D的方程是：x2＋y2＝16.
答案： BD (2)x2＋y2＝16
巩固训练3 解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为C2(3，4)，半径r2＝2，
因为|C1C2|＝＝5>r1＋r2＝3，
所以两圆相离，故选D.
解析：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，
即2ax＋2by－a2－b2＝0，
因为圆C1的圆心为(0，0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，
则C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为，
所以＝，解得a2＋b2＝3，
所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0，故选D.
答案： D
答案：D
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1.
解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cs ＝，所以sin α＝2sin cs ＝2×＝.故选B.
答案：B
2．解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
3．解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y)．由O1A＝，得A(，)．因为＝，所以切线l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝x.联立解得故直线l与l2的交点为P(－1，－)．由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋＝k(x＋1)．由点到直线的距离公式，得＝1，解得k＝，所以l3：y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.
答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
4．解析：因为kAB＝，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以≤1，整理，得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.
答案：[]