2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第七节抛物线

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第七节抛物线，共10页。试卷主要包含了故选B，故选A，故选C等内容，欢迎下载使用。

1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点)．
3．了解抛物线的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 抛物线的定义中，为什么要强调直线l不经过点F?
【问题2】 抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是什么？
关键能力·题型剖析
题型一 抛物线的定义
例1(1)[2024·江西南昌模拟]已知F为抛物线E：y2＝4x的焦点，A，B，C为E上的三点，若＝)，则||＋||＋||＝________．
(2)[2024·广东广州模拟]设动点P在抛物线y＝x2上，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是(2，0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．
题后师说
抛物线定义的应用策略
巩固训练1
(1)[2024·辽宁辽阳模拟]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(m，2)在抛物线C上，且|MF|＝4，则p＝( )
A．2 B．4
C．8 D．12
(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q(6，3)，则△PQF周长的最小值为( )
A．13 B．12 C．10 D．8
题型二 抛物线的标准方程
例2(1)[2024·河南郑州模拟]抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，一条平行于y轴的光线，经过点A(1，4)，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|＋|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是( )
A．y＝－ B．y＝－1
C．y＝－2 D．y＝－4
(2)
[2024·北京丰台模拟]在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．
题后师说
求抛物线标准方程的常用方法
巩固训练2
(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
(2)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________________________________________．
题型三 抛物线的几何性质
例3(1)已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A．p＝4 B．＝
C．|BD|＝|BF| D．|BF|＝4
题后师说
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
巩固训练3
(1)直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝( )
A．4 B． C．8 D．
(2)[2024·山东青岛模拟]已知O为坐标原点，在抛物线y2＝2px(p>0)上存在两点E，F，使得△OEF是边长为4的正三角形，则p＝________．
1．[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．3
2．[2021·新高考Ⅱ卷]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝( )
A．1 B．2
C．2 D．4
3．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为____________.
4．[2022·全国乙卷]已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
第七节 抛物线
问题思考·夯实技能
【问题1】 答案：若直线l经过点F，则到点F与到直线l的距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．
【问题2】 答案：焦点F到准线l的距离．
关键能力·题型剖析
例1
解析：由题意知F(1，0)，设A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，
由＝)，得1－x1＝(x2－x1＋x3－x1)，所以x1＋x2＋x3＝3，
由抛物线的定义得||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1，
延长PM交准线于N，连PF，显然PN垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：
|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，
而|AF|＝，所以|PA|＋|PM|的最小值为－1.
答案：(1)6 (2)－1
巩固训练1
解析：由题意可得|MF|＝2＋＝4，则p＝4.故选B.
解析：y2＝2×4x，故F(2，0)，
记抛物线C的准线为l，则l：x＝－2，
记点P到l的距离为d，点Q(6，3)到l的距离为d′，
则|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PQ|＋d＋≥d′＋5＝8＋5＝13.故选A.
答案： B
答案：A
例2 解析：由题意可知，抛物线的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以|AB|＋|BF|＝4＋＝5，得p＝2，所以抛物线的准线方程为y＝－1.故选B.
解析：以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，
由题意得A(80，－40)，将其代入抛物线方程得6 400＝80p，
解得p＝80，故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80米．
答案： B (2)80
巩固训练2 解析：由题意抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1的距离相同，因此－＝－1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x.故选C.
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．
将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
答案： C (2)y2＝－8x或x2＝－y
例3 解析：抛物线的焦点F为(，0)，由重心的性质有xA＋xB＋xC＝3xF＝，又由抛物线的定义知|FA|＝xA＋，同理可得|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋xB＋xC＋＝3xF＋，
所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝3.故选C.
解析：如图所示，分别过A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足为E，M，抛物线的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，则倾斜角为60°，因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知|AE|＝|AF|，所以△AEF是等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AE|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，又PF∥AE，所以F为AD中点，则＝，B正确；所以∠DAE＝60°，∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C错误；因为|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D错误．故选AB.
答案： C
答案：AB
巩固训练3 解析：抛物线的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，
设＝＝6x2，
因为|AF|＝3|BF|，所以x1＋＝3(x2＋)，得x1＝3x2＋3， ①
因为|AF|＝3|BF|，所以|y1|＝3|y2|，即x1＝9x2， ②
由方程①②可得x1＝，x2＝，
所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋3＝8.故选C.
解析：根据抛物线的对称性可知：由△OEF为等边三角形，所以E，F关于坐标轴x轴对称，由|EO|＝4，∠EOx＝30°，所以E(2，2)，将E(2，2)代入可得4＝4p⇒p＝.
答案：C (2)
随堂检测
1．解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2)．根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B.
答案：B
2．解析：抛物线的焦点坐标为，
其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝＝，
解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.
答案：B
3．解析：不妨设P(，p)，∴Q(6＋，0)，＝(6，－p)，∵PQ⊥OP，∴×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.
答案：x＝－
4．解析：由题意可得：()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－(－)＝.
答案：