2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第二节两直线的位置关系

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第二节两直线的位置关系，共13页。

2．能用解方程的方法求两条直线的交点坐标．
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
问题思考·夯实技能
【问题1】 两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
【问题2】 请你写出点到几种特殊直线的距离？
①点P(x0，y0)到x轴的距离__________；
②点P(x0，y0)到y轴的距离__________；
③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离__________；
④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离__________．
关键能力·题型剖析
题型一 两直线的平行与垂直
例1(1)[2024·江西南昌模拟]已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)[2024·河南信阳模拟]设a∈R，则“a＝1”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋(a＋1)y＋2＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题后师说
(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)也可利用直线方程的系数间的关系得出结论．
巩固训练1
(1)[2024·福建龙岩模拟]△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，则AB边上的高所在的直线方程是( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－1＝0
C．x＋2y－8＝0 D．x－2y＋4＝0
(2)若直线l1：mx＋4y－6＝0与直线l2：2x＋(m＋2)y＋3＝0平行，则m＝________．
题型二 两直线的交点与距离问题
例2(1)[2024·山东德州模拟]若三条直线y＝3x，x＋y＝4，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离d的最小值是( )
A． B． C． D．
(2)若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为，则实数a＝( )
A．2 B．－2或1
C．－1 D．－1或2
(3)[2024·河北沧州模拟]已知经过点P(2，2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直，若点M(1，0)到直线l的距离等于，则a的值是__________.
题后师说
(1)求点到直线的距离时，直线方程一定要化成一般式．
(2)求两平行线间的距离时，一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．
巩固训练2
(1)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，相交于点P(m，－1)，则m，n的值分别是( )
A．7，1 B．1，7
C．－7，－1 D．－1，－7
(2)已知A(－2，4)，B(－4，6)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为( )
A．1或2 B．3或4
C．3 D．4
题型三 对称问题
角度一 点关于点的对称问题
例3过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．
题后师说
若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
角度二 点关于直线的对称问题
例4一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．3x－y－3＝0
C．x－2＝0 D．4x－y－5＝0
题后师说
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
角度三 直线关于直线的对称问题
例5 直线y＝2x＋1关于直线y＝x对称的直线方程为( )
A．x－3y＋1＝0 B．x－3y－1＝0
C．x－2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0
题后师说
直线关于直线对称的两种求解方法
巩固训练3
(1)直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1，1)对称的直线方程为( )
A．4x＋3y－4＝0
B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0
D．4x－3y－12＝0
(2)已知点A(2，0)，B(－2，－4)，P在直线l：x－2y＋8＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
1．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝( )
A．4 B．2 C． D．
2．[2024·河北沧州模拟]已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上的点，则|AB|的最小值为( )
A．0 B． C． D．
3．[2024·九省联考]已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则( )
A．E是一个半径为的圆
B．E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为
D．E是两条平行直线
4．已知A(－1，3)，B(3，1)，从点(m，2)处射出的光线经x轴反射后，反射光线与AB平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数m＝________.
状元笔记 直线系方程
直线系方程是指具有某种共同性质的所有直线的集合，其方程叫直线系方程．常见的直线系方程有平行直线系、垂直直线系和过直线交点的直线系．求解直线方程时，采用设直线系方程的方法可简化运算．
例1(平行直线系方程)[2024·山西晋中模拟]经过点A(3，2)，且与直线4x＋y－2＝0平行的直线方程是( )
A．y＝－4x＋14 B．4x＋2y－8＝0
C．2x－4y＋2＝0 D．4x＋y＋14＝0
解析:令所求直线方程为4x＋y＋C＝0，则12＋2＋C＝0⇒C＝－14，所以，所求直线为y＝－4x＋14(或4x＋y－14＝0)．
故选A.
答案:A
例2(垂直直线系方程)过点P(1，－1)且垂直于l：x－2y＋1＝0的直线方程为( )
A．x＋y＋＝0 B．－2x＋y＋3＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0
解析:设过点P(1，－1)且垂直于1：x－2y＋1＝0的直线方程为2x＋y＋m＝0，
将点P(1，－1)代入，可得2－1＋m＝0，解得m＝－1，
所以所求直线方程为2x＋y－1＝0.
故选D.
答案:D
例3 (过直线交点的直线系方程)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，则过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为( )
A．4x－3y＋6＝0 B．4x＋3y－6＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．3x＋4y－6＝0
解析:设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，
因为直线l与l3：3x－4y＋5＝0垂直，
所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11，
所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.故选B.
答案:B
第二节 两直线的位置关系
问题思考·夯实技能
【问题1】 答案:不是．垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
【问题2】 答案:①d＝|y0| ②d＝|x0| ③d＝|y0－a|
④d＝|x0－b|
关键能力·题型剖析
例1 解析：因为直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，且l1⊥l2，则1·a＋1·b＝0，所以a＋b＝0.故选B.
解析：当a＝1时，x＋2y＝0与x＋2y＋2＝0的斜率相等，故平行，充分性成立，
若“直线ax＋2y＝0与直线x＋(a＋1)y＋2＝0平行”，则满足a(a＋1)－2＝0，
解得a＝－2或1，经验证，a＝－2或1时，两直线不重合，故a＝－2或1，两直线平行，故必要性不成立．故选A.
答案:B
答案:A
巩固训练1 解析：设AB边上的高所在的直线为l，
由已知可得，kAB＝＝，所以直线l的斜率kl＝－2.
又l过C(2，3)，所以l的方程为y－3＝－2(x－2)，
整理可得，2x＋y－7＝0.故选A.
解析：因为l1∥l2，
所以m(m＋2)－4×2＝m2＋2m－8＝(m－2)(m＋4)＝0，
所以m＝2或m＝－4.
当m＝－4时，l1：2x－2y＋3＝0，l2：2x－2y＋3＝0，
l1，l2重合；
当m＝2时，l1：x＋2y－3＝0，l2：2x＋4y＋3＝0，
l1∥l2，符合题意．
答案: A
答案:2
例2 解析：联立解得
把(1，3)代入mx＋ny＋5＝0，得m＋3n＋5＝0，∴m＝－5－3n，
∴点(m，n)到原点的距离d＝＝＝，
当且仅当m＝－，n＝－时取等号．
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.故选D.
解析：因为两直线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0平行，
可得1×2＝(a－1)×a且1×1≠2a，解得a＝2或a＝－1，
当a＝2时，l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋1＝0，即l1：2x＋2y＋4＝0，
可得两平行线间的距离为d＝＝，符合题意；
当a＝－1时，l1：x－2y＋2＝0，l2：－x＋2y＋1＝0，即l2：x－2y－1＝0，
可得两平行线间的距离为d＝＝，不符合题意，舍去．故选A.
解析：当a＝0时，直线ax－y＋1＝0，即为y＝1，则经过点P(2，2)的直线l的方程为x＝2，此时点M(1，0)到直线l的距离不等于，不符合题意，舍去；当a≠0时，可设直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即为x＋ay－2a－2＝0，可得＝，解得a＝2；
综上可得，实数a的值是2.
答案: D
答案:A (3)2
巩固训练2 解析：将点P(m，－1)代入直线l2：2x＋my－1＝0的方程可得2m－m－1＝0，解得m＝1；
将P(m，－1)代入直线l1：mx＋8y＋n＝0的方程可得m2－8＋n＝0，解得n＝7；故选B.
解析：由题意可得：＝，整理得|2a－5|＝|4a－7|，
则2a－5＝±(4a－7)，解得a＝1或a＝2.故选A.
答案: B
答案: A
例3 解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，故A(4，0)．
因为点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
答案: x＋4y－4＝0
例4 解析：设点P(－1，5)关于直线x－3y＋1＝0的对称点为P′(a，b)，
则
化简得解得
故反射光线过点P′(2，－4)与点(2，3)，
则反射光线所在直线的方程为x＝2.故选C.
答案:C
例5 解析：联立方程得，即直线y＝2x＋1与直线y＝x的交点为(－1，－1)．
设直线y＝2x＋1上的点(0，1)关于直线y＝x对称的点坐标为(x0，y0)，
所以解得x0＝1，y0＝0，
所以直线y＝2x＋1关于直线y＝x对称的直线过点(－1，－1)，(1，0)，
所以所求直线方程的斜率为，
所以所求直线的方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.故选C.
答案:C
巩固训练3 解析：设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1，1)对称的直线上任意一点P(x，y)，
则P(x，y)关于A(1，1)的对称点为(2－x，2－y)，
又因为(2－x，2－y)在4x＋3y－2＝0上，
所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.故选B.
解析：设A关于l的对称点为A′(m，n)
则解得m＝－2，n＝8，
∴A′(－2，8)，则|A′B|＝12，
所以|PA|＋|PB|的最小值是12.
答案: B (2)12
随堂检测
1．解析：解方程组得直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点()，
依题意，＝k，解得k＝4，
所以实数k＝4.故选A.
答案:A
2．解析：由题意可知直线l1∥l2，所以当AB⊥l1，且AB⊥l2时，|AB|有最小值，
其最小值为平行直线 l1与l2的距离，
直线l1的方程可化为l2：4x＋2y－4＝0，
所以|AB|min＝＝.故选C.
答案:C
3．解析：设P(x，y)，由＝(1，－3)，则Q(x－1，y＋3)，
由Q在直线l：x＋2y＋1＝0上，故x－1＋2(y＋3)＋1＝0，
化简得x＋2y＋6＝0，即P的轨迹E为直线且与直线l平行，
E上的点到l的距离d＝＝，故ABD错误，C正确．故选C.
答案:C
4．解析：因为kAB＝＝－，故可设反射光线的方程为x＋2y＋C＝0，
因为B到该直线的距离为，故＝，解得C＝0或－10.
当C＝0时，反射光线的方程为x＋2y＝0，
点(m，2)关于x轴对称的点坐标为(m，－2)，显然点(m，－2)在反射光线上，
把点(m，－2)代入方程得m－4＝0，故m＝4；
当C＝－10时，反射光线的方程为x＋2y－10＝0，
将点(m，－2)代入方程解得m＝14.综上，m＝4或14.
答案:4或14