高考数学一轮复习练习案52第八章解析几何第四讲直线与圆圆与圆的位置关系含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案52第八章解析几何第四讲直线与圆圆与圆的位置关系含解析新人教版，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第四讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
A组基础巩固
一、单选题
1．(2021·辽宁葫芦岛模拟)“k＝0”是“直线y＝kx－与圆x2＋y2＝2相切”的(　C　)
A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解析]　直线与圆相切⇔＝⇔k＝0.
2．(2021·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　B　)
A．2x＋y－5＝0　　 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0　　 D．x－2y－7＝0
[解析]　由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，圆心与切点连线的斜率为k＝＝，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0，选B.
3．(2020·山东济宁期末)圆C1：x2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切线的条数为(　A　)
A．4　　 B．3　　
C．2　　 D．1
[解析]　两圆的圆心距|C1C2|＝4>2＋1，∴两圆外离，两圆的公切线有4条．
4．(2021·河北衡水武邑中学月考)直线3x－4y＋3＝0与圆x2＋y2＝1相交所截的弦长为(　B　)
A．　　 B．　　
C．2　　 D．3
[解析]　圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，半径为1，因为圆心到直线3x－4y＋3＝0的距离为，则利用勾股定理可知所求的弦长为2＝，故选B.
5．(2021·河北沧州段考)已知直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　B　)
A．2　　 B．6　　
C．4　　 D．2
[解析]　∵圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(2,1)，半径为2.由题意可得，直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心(2,1)，故有2＋a－1＝0，∴a＝－1，点A(－4，－1)．∵|AC|＝＝2，|CB|＝R＝2，∴切线的长|AB|＝＝6，故选B.
6．(2021·河南中原名校质量测评)直线l：y＝kx＋4与圆O：x2＋y2＝4交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x2＋y1y2＝0，则k2的值(　B　)
A．3　　 B．7　　
C．8　　 D．13
[解析]　由条件可得x1x2≠0，圆O的圆心为(0,0)，半径为2，由x1x2＋y1y2＝0可得·＝－1，故OA⊥OB，故△AOB为等腰直角三角形，故点O到直线l的距离为，即＝，解得k2＝7.故选B.
7．(2021·河北唐山一中调研)若直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝有两个交点，则k的取值范围是(　C　)
A．[1，＋∞)　　 B．

C．　　 D．(－∞，－1]
[解析]　直线y＝k(x－2)＋4，
当x＝2时，y＝4，可得此直线恒过A(2,4)，
曲线y＝为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示：

当直线y＝ k(x－2)＋4与半圆相切(切点在第二象限)时，圆心到直线的距离d＝r，
∴＝2，即4k2－16k＋16＝4＋4k2，
解得：k＝，当直线y＝k(x－2)＋4过点C时，
将x＝－2，y＝0代入直线方程得：－4k＋4＝0，
解得：k＝1，则直线与曲线有2个交点时k的范围为，故选 C．
8．(2021·四川南充模拟)若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是(　D　)
A．x＝0　　 B．y＝1
C．x＋y－1＝0　　 D．x－y＋1＝0
[解析]　依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，此时直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.
二、多选题
9．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角可能为(　AD　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2，∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝，由d2＋2＝r2，可得＋3＝4，解得k＝±.设直线的倾斜角为α，则tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是(　AB　)
A．1　　 B．2　　
C．3　　 D．4
[解析]　x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，∵过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P、圆心C、两切点构成正方形，PC＝2，由题意知，直线y＝k(x＋1)与以C为圆心，以2为半径的圆(x－2)2＋y2＝8相交，∴d＝≤2，即－2≤k≤2，故选AB.
11．(2021·山东德州期末)已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P、Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　AC　)
A．(0，)　　 B．(1，－1)
C．(，0)　　 D．(－1,1)
[解析]　如下图所示：

原点到直线l距离为d＝＝1，
则直线l与圆x2＋y2＝1相切，
由图可知，当AP、AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，
则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝|OP|＝，
由两点间的距离公式得设A(t，－t)
|OA|＝＝，
整理得2t2－2t＝0，解得t＝0或，因此，点A的坐标为(0，)或(，0)，故选AC．
三、填空题
12．(2021·福建厦门质检)过点(1，)的直线l被圆x2＋y2＝8截得的弦长为4，则l的方程为　x＋y－4＝0　.
[解析]　当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意，
当直线l斜率存在时，
设直线l的方程为y－＝k(x－1)，
即kx－y－k＋＝0，
∵4＝2⇒d＝2，
∴2＝⇒k＝－，
∴l的方程为x＋y－4＝0.
13．自圆外一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是 x2＋y2＝2 .
[解析]　由题意知四边形OMPN是正方形，所以|OP|＝，于是点P的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程是x2＋y2＝2.
14．(2020·高考浙江)已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－ 4)2＋y2＝1均相切，则k＝　　，b＝　－　.
[解析]　解法一：由直线与圆相切的充要条件知
⇔⇔
解法二：如图所示．

由图易知，直线y＝kx＋b经过点(2,0)，且倾斜角为30°，从而k＝，且0＝＋b⇔b＝－.
四、解答题
15．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程．
[解析]　解法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
且与y轴相切，
∴设所求圆的圆心为C (3a，a)，半径为r＝3|a|.
又圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝.
∴有d2＋()2＝r2.
即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
解法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为.
∴r2＝2＋()2.
即2r2＝(a－b)2＋14. ①
由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2. ②
又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，
∴a－3b＝0. ③
联立①②③，解得
a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.
故所求的圆的方程是
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
解法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心为，半径为.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F. ④
又圆心到直线x－y＝0的距离为，由已知，得2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ⑤
又圆心在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0. ⑥
联立④⑤⑥，解得
D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.
故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0
或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
B组能力提升
1．(2021·河南中原名校联盟第三次联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　D　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x＋4y－12＝0或x＝0
[解析]　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，由|AB|＝2知，圆心(1,1)到直线l的距离为1，
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－0)，即kx－y＋3＝0，由＝1得k＝－，此时直线l的方程为3x＋4y－12＝0，故选D.
2．(2021·河南名校联盟质检)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是(　D　)
A．(0,2]　　 B．[1,2]
C．[2,3]　　 D．[1,3]
[解析]　满足∠APB＝90°的点P的轨迹为x2＋y2＝t2，所以圆x2＋y2＝t2与圆C有公共点，所以|t－1|≤≤t＋1，解得1≤t≤3.故选D.
3．(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知圆O：x2＋y2＝1上恰有两个点到直线l：y＝kx＋1的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围为(　B　)
A．∪　　 B．∪

C．∪　　 D．∪
[解析]　显然直线l过⊙O上定点(0,1)，由题意可知圆心到直线l的距离大于，即>，解得－