高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时规范练理含解析新人教版

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

[A组　基础对点练]

1．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为(　　)

A．y＝x＋     B．y＝－x＋

C．y＝x＋或y＝－x＋     D．x＝1或y＝x＋

解析：由题意知切线斜率存在，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋.

答案：C

2．过点(1，1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)

A．2     B．4

C．2     D．5

解析：由圆的几何性质可知，当点(1，1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2＝2＝4.

答案：B

3．过点P(3，1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)

A．2x＋y－3＝0     B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0     D．4x＋y－3＝0

解析：如图所示，圆心坐标为C(1，0)，

易知A(1，1)，又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，

所以kAB＝－2.故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.

答案：A

4．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－4＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－10y＋25＝0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　)

A．x＋y－3＝0     B．x－y＋3＝0

C．x＋3y－1＝0     D．3x－y＋1＝0

解析：由题设可知线段AB的垂直平分线过两圆的圆心C1(1，2)，C2(－2，5)，由此可得圆心连线的斜率k＝＝－1，故由点斜式方程可得y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

答案：A

5．已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　)

A．或－     B．或－

C．     D．

解析：因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±.

答案：B

6．(2021·江苏常州八校联考)若圆C1：x2＋y2＝m2(m＞0)内切于圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，则m＝________．

解析：由x2＋y2＝m2(m＞0)，得圆心C1(0，0)，半径r1＝m.圆C2的方程化为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，则圆心C2(－3，4)，半径r2＝6，∵圆C1内切于圆C2，∴|C1C2|＝6－m.又|C1C2|＝5，∴m＝1.

答案：1

7．已知过点P(t，0)(t>0)的直线l被圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0截得弦AB长为4.若直线l唯一，则该直线的方程为________________．

解析：将圆C的方程化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝9，

∴圆心C(1，－2)，半径r＝3.又由题意可知，圆心C到直线l的距离为＝，∴所有满足题意的直线l为圆D：(x－1)2＋(y＋2)2＝5的切线．又∵直线l唯一，∴点P在圆D上．∴(t－1)2＋4＝5.∴t＝2或t＝0(舍去).该切线方程为(2－1)(x－1)＋(y＋2)(0＋2)＝5，即直线l的方程为x＋2y－2＝0.

答案：x＋2y－2＝0

8．圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，求k.

解析：由题意知，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.较短弧所对圆心角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x＋y－k＝0的距离为r＝.即＝，解得k＝1或－3.

9．求经过点M(3，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1，2)的圆的方程．

解析：圆C的方程可化为标准方程

(x＋1)2＋(y－3)2＝5，圆心为(－1，3).

由M，N可求出MN的中垂线方程为

y＝x－，①

圆心C和N所在直线方程为y＝－x＋，②

联立①②解得圆心坐标为，半径为 ，则圆的方程为＋＝.

[B组　素养提升练]

1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A．－或－     B．－或－

C．－或－     D．－或－

解析：由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.

答案：D

2．(2021·福建泉州质检)已知A，B是圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的公共点，则△O1AB与△O2AB的面积的比值为________．

解析：两个圆的方程相减，得4x－4y＝0，即x－y＝0，所以直线AB的方程为x－y＝0.圆O1的方程化为(x－1)2＋y2＝1，所以O1(1，0)，半径r1＝1，所以圆心O1到直线AB的距离d1＝＝，所以|AB|＝2＝2＝，所以S△O1AB＝d1×|AB|＝××＝.圆O2的方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以O2(－1，2)，半径r2＝，所以圆心O2到直线AB的距离d2＝＝，所以S△O2AB＝d2×|AB|＝××＝.故△O1AB与△O2AB的面积的比值为＝.

答案：

3．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

解析：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.

因为直线l与圆C交于两点，所以<1，

解得<k<.

所以k的取值范围为.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).

将y＝kx＋1代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，

整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

·＝x1x2＋y1y2

＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

＝＋8.

由题设可得＋8＝12，解得k＝1，

所以直线l的方程为y＝x＋1.

故圆C的圆心(2，3)在l上，所以|MN|＝2.

4．已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.

(1)判断直线l与圆C的位置关系．

(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B.

①若|AB|＝3，求直线l的方程；

②是否存在常数m，使得以AB为直径的圆经过坐标原点？如果存在，试求出m的值；如果不存在，试说明理由．

解析：(1)将直线方程与圆的方程联立，

得消去y并整理得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，

因为Δ＝4m4－4(m2＋1)(m2－5)＝4(4m2＋5)>0恒成立，所以直线l与圆C相交．

(2)①设A(x1，y1)，B(x2，y2).

由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝，

故(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝，

所以|x1－x2|＝.

故|AB|＝|x1－x2|＝×＝2 .

由题意知|AB|＝3，即2 ＝3，

解得m＝±1.

故所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.

②若存在常数m，使得以AB为直径的圆经过坐标原点，即⊥，所以·＝x1x2＋y1y2＝0.

由①知x1＋x2＝，x1x2＝，

从而y1y2＝(mx1－m＋1)(mx2－m＋1)

＝m2x1x2－m(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2

＝m2×－m(m－1)×＋(m－1)2

＝，

所以·＝x1x2＋y1y2＝＋＝0，整理得m2＋m＋2＝0.

显然Δ＝12－4×1×2＝－7<0，

所以方程无解，故不存在这样的实数m，使得以AB为直径的圆经过坐标原点．