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新高考数学一轮复习课件 第4章 §4.5 三角函数的图象与性质（含详解）
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第4章 §4.5 三角函数的图象与性质（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，π－1，－11，奇函数，偶函数，kπ0，x＝kπ，又∵φ∈0π等内容，欢迎下载使用。
1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， ， ， ，(2π，0).(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ， ， ，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周期.2.奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝ ＋kπ(k∈Z).(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝cs x在第一、二象限内单调递减.( )(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.( )(3)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋ (k∈Z).( )(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数.( )
1.若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2
三角函数的定义域和值域
∴当cs x＝1时，f(x)有最小值－4.
(3)函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为_______________.
设t＝sin x－cs x，则t2＝sin2x＋cs2x－2sin x·cs x，
当t＝1时，ymax＝1；
三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域.
由题意，f(－x)＝cs(－x)－cs(－2x)＝cs x－cs 2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，
三角函数的周期性与对称性
_____，f(x)图象的对称中心为__________________.
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx的形式.(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 ，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 求解.
命题点1 求三角函数的单调区间
延伸探究 若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间.
命题点2 根据单调性求参数
而函数f(x)又在[－a，a]上单调递增，
当k≥2，k∈Z时，ω∈∅，
(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
依题意可知f(x)＝cs2x－sin2x＝cs 2x.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
故k只能取0，即0<ω≤1，
2.(2023·赣州模拟)已知f(x)＝ ，则f(x)是A.奇函数且最小正周期为πB.偶函数且最小正周期为πC.奇函数且最小正周期为2πD.偶函数且最小正周期为2π
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(多选)(2022·海口模拟)已知函数f(x)＝sin x－cs x，则下列结论中正确的是
对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误.
f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cs 2(x＋π)＝|sin x|＋cs 2x＝f(x)，所以π是函数f(x)的一个周期，故D正确；对于A，因为f(x)的一个周期为π，令x∈[0，π]，此时sin x≥0，所以f(x)＝sin x＋1－2sin2x，
因为t＝sin x，t∈[0,1]，
7.(2022·汕头模拟)请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝_________________.
tan x(答案不唯一)
根据函数最小正周期为π，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在(0,1)上单调递增，构造即可，如f(x)＝tan x满足题意.
9.已知函数f(x)＝ cs xsin x＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
10.(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定.(1)求f(x)的解析式；条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝ .注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
由条件②f(0)＝0，即sin φ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z).
经检验φ＝0符合题意.选择条件①③：
所以f(x)＝sin 2x.
条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝ .注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
11.函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ，在区间(0,1)上不可能A.单调递增 B.单调递减C.有最大值 D.有最小值
当x∈(0,1)时，因为ω>0，所以0<ωx<ω，
故f(x)在(0,1)上不可能单调递减.
f(x)＝________________________.
14.(2023·唐山模拟)已知sin x＋cs y＝ ，则sin x－sin2y的最大值为_____.
15.已知函数f(x)＝ ＋3sin πx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为A.2 B.4C.2π D.4π
共有4个交点，这4个点关于点(1,0)对称，所以其横坐标的和为4，所以函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为4.
16.(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋ |cs x|，写出函数f(x)的一个单调递增区间__________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是_________.
1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， ， ， ，(2π，0).(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ， ， ，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周期.2.奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝ ＋kπ(k∈Z).(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝cs x在第一、二象限内单调递减.( )(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.( )(3)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋ (k∈Z).( )(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数.( )
1.若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2
三角函数的定义域和值域
∴当cs x＝1时，f(x)有最小值－4.
(3)函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为_______________.
设t＝sin x－cs x，则t2＝sin2x＋cs2x－2sin x·cs x，
当t＝1时，ymax＝1；
三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域.
由题意，f(－x)＝cs(－x)－cs(－2x)＝cs x－cs 2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，
三角函数的周期性与对称性
_____，f(x)图象的对称中心为__________________.
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx的形式.(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 ，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 求解.
命题点1 求三角函数的单调区间
延伸探究 若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间.
命题点2 根据单调性求参数
而函数f(x)又在[－a，a]上单调递增，
当k≥2，k∈Z时，ω∈∅，
(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
依题意可知f(x)＝cs2x－sin2x＝cs 2x.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
故k只能取0，即0<ω≤1，
2.(2023·赣州模拟)已知f(x)＝ ，则f(x)是A.奇函数且最小正周期为πB.偶函数且最小正周期为πC.奇函数且最小正周期为2πD.偶函数且最小正周期为2π
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(多选)(2022·海口模拟)已知函数f(x)＝sin x－cs x，则下列结论中正确的是
对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误.
f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cs 2(x＋π)＝|sin x|＋cs 2x＝f(x)，所以π是函数f(x)的一个周期，故D正确；对于A，因为f(x)的一个周期为π，令x∈[0，π]，此时sin x≥0，所以f(x)＝sin x＋1－2sin2x，
因为t＝sin x，t∈[0,1]，
7.(2022·汕头模拟)请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝_________________.
tan x(答案不唯一)
根据函数最小正周期为π，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在(0,1)上单调递增，构造即可，如f(x)＝tan x满足题意.
9.已知函数f(x)＝ cs xsin x＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
10.(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定.(1)求f(x)的解析式；条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝ .注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
由条件②f(0)＝0，即sin φ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z).
经检验φ＝0符合题意.选择条件①③：
所以f(x)＝sin 2x.
条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝ .注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
11.函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ，在区间(0,1)上不可能A.单调递增 B.单调递减C.有最大值 D.有最小值
当x∈(0,1)时，因为ω>0，所以0<ωx<ω，
故f(x)在(0,1)上不可能单调递减.
f(x)＝________________________.
14.(2023·唐山模拟)已知sin x＋cs y＝ ，则sin x－sin2y的最大值为_____.
15.已知函数f(x)＝ ＋3sin πx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为A.2 B.4C.2π D.4π
共有4个交点，这4个点关于点(1,0)对称，所以其横坐标的和为4，所以函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为4.
16.(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋ |cs x|，写出函数f(x)的一个单调递增区间__________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是_________.
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