新高考数学一轮复习导学案第25讲 弧度制及任意角的三角函数（2份打包，原卷版+解析版）

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1. 角的概念的推广
(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．
(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．
(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2. 弧度制
①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝__eq \f(l,r)__，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝__eq \f(π,180)__rad；1 rad＝__eq \f(180,π)__度．
④弧长公式：__l＝|α|r__．
扇形面积公式：S扇形＝__eq \f(1,2)lr__＝__eq \f(1,2)|α|r2__．
3. 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，csα＝__x__，tanα＝eq \f(y,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠0))．
(2)特殊角的三角函数值
1、若α是第四象限角，则π＋α是第____象限角( )
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】 B
【解析】 eq \f(π,2)＋2kπ<π＋α<π＋2kπ，k∈Z，
故π＋α是第二象限角．
2、（2022·日照一模）已知角θ的终边经过点 P（ eq \f(1,2)，－ eq \f(\r(3),2)），则角θ可以为( )
A. eq \f(5π,6) B. eq \f(2π,3) C. eq \f(11π,6) D. eq \f(5π,3)
【答案】 D
【解析】 因为角θ的终边经过点P（ eq \f(1,2)，－ eq \f(\r(3),2)），所以θ是第四象限角，且cs θ＝ eq \f(1,2)，sin θ＝－ eq \f(\r(3),2)，则θ＝ eq \f(5π,3).
3、（多选）下列结论中，正确的是( )
A. － eq \f(7π,6)是第三象限角
B. 若圆心角为 eq \f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 eq \f(3π,2)
C. 若角α的终边过点P(－3，4)，则cs α＝－ eq \f(3,5)
D. 若角α为锐角，则角2α为钝角
【答案】 BC
【解析】 对于A，－ eq \f(7π,6)与 eq \f(5π,6)的终边相同，为第二象限角，故A错误；对于B，设扇形的半径为r，则 eq \f(π,3)r＝π，所以r＝3，则扇形的面积为 eq \f(1,2)×3×π＝ eq \f(3π,2)，故B正确；对于C，角α的终边过点P(－3，4)，根据三角函数的定义，得cs α＝－ eq \f(3,5)，故C正确； 对于D，因为0<α< eq \f(π,2)，所以0<2α<π，故D错误．故选BC.
4、（2022·山东高三开学考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点(－2，y)，且tan (π－α)＝2，则sin α＝ ．
【答案】 eq \f(2\r(5),5)
【解析】 因为角α终边过点(－2，y)，所以tan α＝－ eq \f(y,2).又tan (π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以y＝4，所以sin α＝ eq \f(4,\r((－2)2＋42))＝ eq \f(2\r(5),5).
考向一 角的表示及象限角
例1、 (1) 终边在直线y＝ eq \r(3)x上的角的集合为 ；
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z))
【解析】 因为在(0，2π)内，终边在直线y＝ eq \r(3)x 上的角是 eq \f(π,3)， eq \f(4π,3)，与 eq \f(π,3)， eq \f(4π,3)终边相同的角分别为2kπ＋ eq \f(π,3)，2kπ＋ eq \f(4π,3)＝(2k＋1)π＋ eq \f(π,3)，k∈Z，所以终边在直线y＝ eq \r(3)x上的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)).
(2) 若角θ的终边与 eq \f(6π,7)角的终边相同，则在[0，2π）内，终边与角 eq \f(θ,3)的终边相同的角的个数为 ；
【答案】 3
【解析】 因为θ＝ eq \f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，所以 eq \f(θ,3)＝ eq \f(2π,7)＋ eq \f(2kπ,3)(k∈Z).依题意有0≤ eq \f(2π,7)＋ eq \f(2kπ,3)<2π，k∈Z，所以－ eq \f(3,7)≤k< eq \f(18,7)，所以k＝0，1，2，即在[0，2π）内，终边与角 eq \f(θ,3)的终边相同的角为 eq \f(2π,7)， eq \f(20π,21)， eq \f(34π,21)，共3个．
(3) 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为 ．
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|2kπ＋\f(π,4)<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))
【解析】 因为在[0，2π]内，终边落在阴影部分角的集合为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，所以所求角的集合为{α|2kπ＋ eq \f(π,4)<α<2kπ＋ eq \f(5π,6)，k∈Z}．
变式、（1）集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ≤α≤kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
（2）若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】（1）B （2）C.
【解析】（1）当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋eq \f(π,4)(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤eq \f(π,4)的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,4)(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋eq \f(π,4)的终边一样．
（2） ∵α是第二象限角，
∴eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∴eq \f(π,4)＋kπ当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角；
当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角．故选C.
方法总结：1. 象限角的两种判断方法：
(1) 图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2) 转化法：先将已知角转化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2. 由角所在的区域写出角的集合，由角的集合画出区域．
考向二 扇形的有关运算
例2、 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝eq \f(π,3)，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
【解析】 (1)因为α＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)(cm).
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝eq \f(2π,3) cm，
所以S弓形＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×2－eq \f(1,2)×22×sin eq \f(π,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\r(3)))cm2.
变式1、（1）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为eq \f(\r(5)－1,2)时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )
A.eq \f(\r(5)＋1,4) B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.3－eq \r(5) D.eq \r(5)－2
【答案】 B
【解析】 设∠AOB＝θ，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有eq \f(\f(1,2)θr2－\f(1,2)θreq \\al(2,1),\f(1,2)θr2)＝eq \f(\r(5)－1,2)，即eq \f(r2－req \\al(2,1),r2)＝eq \f(\r(5)－1,2)，所以eq \f(req \\al(2,1),r2)＝eq \f(3－\r(5),2)＝eq \f(6－2\r(5),4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)))eq \s\up12(2)，从而得eq \f(r1,r)＝eq \f(\r(5)－1,2).
(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm.
【答案】 2 2
【解析】 设扇形的圆心角为α，半径为r.
则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S＝\f(1,2)αr2＝1，,αr＋2r＝4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2，,r＝1，))
所以弧长l＝αr＝2，
所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2 cm.
变式2、已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1) 求弦AB所对圆心角α的大小；
(2) 求α所在的扇形弧长l及弧所在弓形的面积S.
【解析】 (1) 如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，则AC＝5.
在Rt△ACO中，sin ∠AOC＝ eq \f(AC,AO)＝ eq \f(5,10)＝ eq \f(1,2)，
所以∠AOC＝ eq \f(π,6)，所以α＝2∠AOC＝ eq \f(π,3).
(2) 由(1)及题意，得l＝ eq \f(10π,3)，
S扇形＝ eq \f(1,2)lr＝ eq \f(1,2)× eq \f(10π,3)×10＝ eq \f(50π,3).
因为S△AOB＝ eq \f(1,2)×10×10×sin eq \f(π,3)＝25 eq \r(3)，
所以S弓形＝S扇形－S△AOB＝ eq \f(50π,3)－25 eq \r(3)＝50（ eq \f(π,3)－ eq \f(\r(3),2)）
方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考向三 三角函数的定义及应用
例3、已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)， 且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，求cs α，tan α的值．
【解析】：由题设知x＝－eq \r(3)，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)))2＋m2(O为原点)，r＝eq \r(3＋m2)．
∴sin α＝eq \f(m,r)＝eq \f(\r(2)m,4)＝eq \f(m,2\r(2))，因为m≠0
∴r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，
即3＋m2＝8，解得m＝±eq \r(5)．
当m＝eq \r(5)时，r＝2eq \r(2)，x＝－eq \r(3)，y＝eq \r(5)，
∴cs α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)， tan α＝－eq \f(\r(15),3)；
当m＝－eq \r(5)时，r＝2eq \r(2)，x＝－eq \r(3)，y＝－eq \r(5)，
∴cs α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)， tan α＝eq \f(\r(15),3)．
变式1、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,4)，cs \f(3π,4)))，则角α的最小正角为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,4) D.eq \f(7π,4)
【答案】 D
【解析】角α的终边上一点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,4)，cs \f(3π,4)))，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，故点M在第四象限，且tan α＝eq \f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))＝－1，则角α的最小正角为eq \f(7π,4)，故选D
变式2、已知角α的终边过点P(－8m，－6cs 60°)，且cs α＝－ eq \f(4,5)，则m＝ ．
【答案】 eq \f(1,2)
【解析】 由题意，得P(－8m，－3).由 cs α＝－ eq \f(4,5)，得 eq \f(－8m,\r(64m2＋9))＝－ eq \f(4,5)，解得m＝ eq \f(1,2)（m＝－ eq \f(1,2)不合题意，舍去）.
方法总结：1．明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数值只与角的大小有关，与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量的讨论．
1、（2022·湖北·模拟预测）若角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】∵角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2、（2022·山东日照·一模）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 可以为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是第四象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
3、（2022·重庆市育才中学模拟预测）若点 SKIPIF 1 < 0 在角 SKIPIF 1 < 0 的终边上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】试题分析：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
4、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角 SKIPIF 1 < 0 的始边与 SKIPIF 1 < 0 轴非负半轴重合，终边上一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】：因为角 SKIPIF 1 < 0 的终边上一点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是第二或第四象限角；
当 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 是第四象限角时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 是第二象限角.
故选：B.
6、（2022·重庆市育才中学模拟预测）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是 SKIPIF 1 < 0 的外接圆和以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的一部分，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该月牙形的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】解析由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 1.由题意，内侧圆弧为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，则弓形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，外侧的圆弧以 SKIPIF 1 < 0 为直径，所以半圆 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则月牙形的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
7、（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则其面积是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由条件可知，弧长 SKIPIF 1 < 0 ，等边三角形的边长 SKIPIF 1 < 0 ，则以点A、B、C为圆心，圆弧 SKIPIF 1 < 0 所对的扇形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，中间等边 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0

所以莱洛三角形的面积是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
角α
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
α弧
度数
_0_
_eq \f(π,6)_
_eq \f(π,4)_
_eq \f(π,3)_
_eq \f(π,2)_
_π_
_eq \f(3π,2)_
sinα
_0_
_eq \f(1,2)_
_eq \f(\r(2),2)_
_eq \f(\r(3),2)_
_1_
_0_
_－1_
csα
_1_
_eq \f(\r(3),2)_
_eq \f(\r(2),2)_
_eq \f(1,2)_
_0_
_－1_
_0_
tanα
_0_
_eq \f(\r(3),3)_
_1_
_eq \r(3)_
_0_