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新高考数学一轮复习导学案第53讲 空间向量的概念（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习导学案第53讲 空间向量的概念（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考一轮复习导学案第53讲空间向量的概念原卷版doc、新高考一轮复习导学案第53讲空间向量的概念解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
1．空间向量及其有关概念
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cs〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
(2)空间向量的坐标运算：
1、在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2、已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A.eq \f(7,5) B.2 C.eq \f(5,3) D.1
3、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )
A. 共线 B. 共面
C. 不共面 D. 无法确定
4、已知向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，则“m⊥n”是“l∥α”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5、 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则线段A1C的长度是( )
A. eq \r(6) B. eq \f(\r(34),2)
C. 3 D. eq \r(11)
考向一 空间向量的线性运算
例1 、(1) 已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论中正确的是________；(填序号)
①a∥b，a∥c; ②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b.
(2) 已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝________．
（3）在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用向量 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))表示 eq \(MG,\s\up6(→))， eq \(OG,\s\up6(→)).
变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(BM,\s\up6(→))＝ (用a，b，c表示)．
（2）如图，在四面体O－ABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \(OE,\s\up6(→))＝ (用a，b，c表示)．
变式2、如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则下列等式成立的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
B.eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a
C.eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)b－eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a
D.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
考向二 共线、共面向量定理的应用
例2、已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 求证：BD∥平面EFGH；
(3) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(OD,\s\up6(→))).
变式1、(多选)下列说法中正确的是( )
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
变式2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))).
(1)判断eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
变式3、.如图所示，已知斜三棱柱ABC A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq \(AM,\s\up7(―→))＝keq \(AC1,\s\up7(―→))，eq \(BN,\s\up7(―→))＝keq \(BC,\s\up7(―→))(0≤k≤1)．判断向量eq \(MN,\s\up7(―→))是否与向量eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AA1,\s\up7(―→))共面．
方法总结：证明空间三点P，A，B共线的方法有：①eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→)) (λ∈R)；
②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→)) (x＋y＝1). 证明空间四点P，M，A，B共面的方法有：①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋zeq \(OB,\s\up6(→)) (x＋y＋z＝1)；③eq \(PM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)) (或eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→))或eq \(PB,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))). 三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明．
考向三 空间向量数量积的应用
例3、 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉. (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. 可以通过|a|＝eq \r(a2)，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想
考向四 利用空间向量证明平行或垂直
例4 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq \r(5)，AA1＝eq \r(7)，BB1＝2eq \r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.
变式1、在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝ eq \r(2)，M是线段B1D1的中点．求证：
(1) BM∥平面D1AC；
(2) D1O⊥平面AB1C.
变式2、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ eq \f(\r(2),2)AD，设E，F分别为PC，BD的中点．求证：
(1) EF∥平面PAD；
(2) 平面PAB⊥平面PDC.
1、如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq \(BM,\s\up6(→))相等的向量是( )
A.－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C.－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
2、已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,6)
3、(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up7(―→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up7(―→))＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有( )
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C.eq \(AP,\s\up7(―→))是平面ABCD的一个法向量
D.eq \(AP,\s\up7(―→))∥eq \(BD,\s\up7(―→))
4、(多选)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．(eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \(A1D1,\s\up7(―→))＋eq \(A1B1,\s\up7(―→)))2＝3(eq \(A1B1,\s\up7(―→)))2
B.eq \(A1C,\s\up7(―→))·(eq \(A1B1,\s\up7(―→))－eq \(A1A,\s\up7(―→)))＝0
C．向量eq \(AD1,\s\up7(―→))与向量eq \(A1B,\s\up7(―→))的夹角是60°
D．正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AA1,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))|
5、如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )
A.(1，1，1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))
6、.如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→))＝2eq \(GA1,\s\up6(→))，AC1与平面EFG交于点M，则eq \f(AM,AC1)＝________.
7、如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
概念
语言描述
共线向量(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OA, \s\up7(―→))＋yeq \(OB, \s\up7(―→))＋zeq \(OC, \s\up7(―→))且x＋y＋z＝1
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
1．空间向量及其有关概念
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cs〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
(2)空间向量的坐标运算：
1、在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2、已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A.eq \f(7,5) B.2 C.eq \f(5,3) D.1
3、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )
A. 共线 B. 共面
C. 不共面 D. 无法确定
4、已知向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，则“m⊥n”是“l∥α”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5、 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则线段A1C的长度是( )
A. eq \r(6) B. eq \f(\r(34),2)
C. 3 D. eq \r(11)
考向一 空间向量的线性运算
例1 、(1) 已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论中正确的是________；(填序号)
①a∥b，a∥c; ②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b.
(2) 已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝________．
（3）在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用向量 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))表示 eq \(MG,\s\up6(→))， eq \(OG,\s\up6(→)).
变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(BM,\s\up6(→))＝ (用a，b，c表示)．
（2）如图，在四面体O－ABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \(OE,\s\up6(→))＝ (用a，b，c表示)．
变式2、如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则下列等式成立的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
B.eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a
C.eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)b－eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a
D.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
考向二 共线、共面向量定理的应用
例2、已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 求证：BD∥平面EFGH；
(3) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(OD,\s\up6(→))).
变式1、(多选)下列说法中正确的是( )
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
变式2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))).
(1)判断eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
变式3、.如图所示，已知斜三棱柱ABC A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq \(AM,\s\up7(―→))＝keq \(AC1,\s\up7(―→))，eq \(BN,\s\up7(―→))＝keq \(BC,\s\up7(―→))(0≤k≤1)．判断向量eq \(MN,\s\up7(―→))是否与向量eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AA1,\s\up7(―→))共面．
方法总结：证明空间三点P，A，B共线的方法有：①eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→)) (λ∈R)；
②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→)) (x＋y＝1). 证明空间四点P，M，A，B共面的方法有：①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋zeq \(OB,\s\up6(→)) (x＋y＋z＝1)；③eq \(PM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)) (或eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→))或eq \(PB,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))). 三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明．
考向三 空间向量数量积的应用
例3、 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉. (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. 可以通过|a|＝eq \r(a2)，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想
考向四 利用空间向量证明平行或垂直
例4 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq \r(5)，AA1＝eq \r(7)，BB1＝2eq \r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.
变式1、在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝ eq \r(2)，M是线段B1D1的中点．求证：
(1) BM∥平面D1AC；
(2) D1O⊥平面AB1C.
变式2、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ eq \f(\r(2),2)AD，设E，F分别为PC，BD的中点．求证：
(1) EF∥平面PAD；
(2) 平面PAB⊥平面PDC.
1、如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq \(BM,\s\up6(→))相等的向量是( )
A.－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C.－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
2、已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,6)
3、(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up7(―→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up7(―→))＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有( )
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C.eq \(AP,\s\up7(―→))是平面ABCD的一个法向量
D.eq \(AP,\s\up7(―→))∥eq \(BD,\s\up7(―→))
4、(多选)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．(eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \(A1D1,\s\up7(―→))＋eq \(A1B1,\s\up7(―→)))2＝3(eq \(A1B1,\s\up7(―→)))2
B.eq \(A1C,\s\up7(―→))·(eq \(A1B1,\s\up7(―→))－eq \(A1A,\s\up7(―→)))＝0
C．向量eq \(AD1,\s\up7(―→))与向量eq \(A1B,\s\up7(―→))的夹角是60°
D．正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AA1,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))|
5、如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )
A.(1，1，1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))
6、.如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→))＝2eq \(GA1,\s\up6(→))，AC1与平面EFG交于点M，则eq \f(AM,AC1)＝________.
7、如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
概念
语言描述
共线向量(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OA, \s\up7(―→))＋yeq \(OB, \s\up7(―→))＋zeq \(OC, \s\up7(―→))且x＋y＋z＝1
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
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