第25讲 弧度制及任意角的三角函数-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（原卷版）

第25讲 弧度制及任意角的三角函数

1. 角的概念的推广

(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．

(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．

(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

2. 弧度制

①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝      ，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．

③弧度与角度的换算：360°＝     rad；180°＝     rad；1°＝     rad；1 rad＝     _度．

④弧长公式：__l＝|α|r__．

扇形面积公式：S扇形＝     _＝     ．

3. 任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝．

(2)特殊角的三角函数值

1、若α是第四象限角，则π＋α是第____象限角(　　)

A．一  B．二  C．三  D．四

2、（2022·日照一模）已知角θ的终边经过点 P（，－），则角θ可以为(　　)

A.     B.     C.     D. .

3、（多选）下列结论中，正确的是(　　)

A. －是第三象限角

B. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为

C. 若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－

D. 若角α为锐角，则角2α为钝角

4、（2022·山东高三开学考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点(－2，y)，且tan (π－α)＝2，则sin α＝　　　　．

考向一　角的表示及象限角

例1、　(1) 终边在直线y＝x上的角的集合为　　　　　　　　　　；

(2) 若角θ的终边与角的终边相同，则在[0，2π）内，终边与角的终边相同的角的个数为　　　　；

(3) 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为　　　　　　　　　　．

变式、（1）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

（2）若角α是第二象限角，则是(　　)

A．第一象限角　　　　　　　 B．第二象限角

C．第一或第三象限角   D．第二或第四象限角

方法总结：1. 象限角的两种判断方法：

(1) 图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

(2) 转化法：先将已知角转化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

2. 由角所在的区域写出角的集合，由角的集合画出区域．

考向二  扇形的有关运算

例2、 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l.

(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.

变式1、（1）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)

A.  B.

C.3－  D.－2

(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm.

变式2、已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

(1) 求弦AB所对圆心角α的大小；

(2) 求α所在的扇形弧长l及弧所在弓形的面积S.

方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

考向三  三角函数的定义及应用

例3、已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)， 且sin α＝，求cos α，tan α的值．

变式1、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为，则角α的最小正角为(　　)

A.   B.    C.     D.

变式2、已知角α的终边过点P(－8m，－6cos 60°)，且cos α＝－，则m＝　　　．

方法总结：1．明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数值只与角的大小有关，与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量的讨论．

1、（2022·湖北·模拟预测）若角的终边经过点，则的值为（       ）

A． B． C． D．

2、（2022·山东日照·一模）已知角的终边经过点，则角可以为（       ）

A． B． C． D．

3、（2022·重庆市育才中学模拟预测）若点在角的终边上，则的值为

A． B． C． D．

4、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（       ）

A．3 B． C． D．

5、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角满足，，则在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6、（2022·重庆市育才中学模拟预测）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（       ）

A． B． C． D．

7、（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．