新高考数学一轮复习导学案第30讲 y=sin(ωx+φ)的图象与性质（2份打包，原卷版+解析版）

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1、 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
3、 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式．常见的结论有：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acs(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象由 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到，则 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位所得函数为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 显然过 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点，
作出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的部分大致图象如下，

考虑 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 处 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以由图可知， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点个数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2、 （2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递增，直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的两条对称轴，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则
3、【2022年全国甲卷】将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
4、【2022年全国甲卷】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
5、【2022年新高考1卷】记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【解析】
由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
6、【2021年乙卷理科】把函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
解法一：从函数 SKIPIF 1 < 0 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用换元思想求得 SKIPIF 1 < 0 的解析表达式；
解法二：从函数 SKIPIF 1 < 0 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 SKIPIF 1 < 0 的解析表达式.
【详解】
解法一：函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，纵坐标不变，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，再把所得曲线向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，应当得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
根据已知得到了函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
7、【2021年新高考1卷】下列区间中，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增的区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式 SKIPIF 1 < 0 ，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的一个单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的一个单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
1、为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,12)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
D．向左平移eq \f(π,12)个单位长度
【答案】B
【解析】 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度，可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象．
2、（2022·山东德州·高三期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的最小值为函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期的 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3、（2020江苏镇江期中考试）设函数 SKIPIF 1 < 0 为参数，且 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由图象可得 SKIPIF 1 < 0 最小正周期： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，本题正确结果： SKIPIF 1 < 0 ．
4、（2022·湖北武昌·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的图象上一点，则点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0
由题意点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：C
考向一 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例1、（2022·山东济南·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求出结果．
【详解】
由图象可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
变式1、函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)（A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2)）的部分图象如图所示，则φ的值为 ．
【答案】 eq \f(π,6)
【解析】 由函数的图象可知A＝1， eq \f(3,4)T＝ eq \f(11π,12)－ eq \f(π,6)＝ eq \f(3π,4)，解得T＝π，所以ω＝2.又函数的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，1))，所以1＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))，所以 eq \f(π,3)＋φ＝ eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝ eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z).因为|φ|< eq \f(π,2)，所以φ＝ eq \f(π,6).
变式2、（2022·江苏海安·高三期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
由给定解析式及图象确定 SKIPIF 1 < 0 值的表达式，再逐项分析判断作答.
【详解】
依题意，点 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象对称中心，且 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的一个单调增区间内，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令函数 SKIPIF 1 < 0 周期为 SKIPIF 1 < 0 ，由图象知 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得函数 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即选项A，B，D不满足，选项C满足.
故选：C
变式3、（2022年湖南张家界市模拟试卷）记函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为T，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象的一个最高点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象的一个最高点，则 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
故选:A.
方法总结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，B＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
考向二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换
例2、某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．
【解析】 (1) 根据表中已知数据，
可得A＝5，ω＝2，φ＝－ eq \f(π,6).
数据补全如下表：
函数解析式为f(x)＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
(2) 由(1)，知f(x)＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
所以g(x)＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2θ－\f(π,6))).
令2x＋2θ－ eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，
解得x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,12)－θ，k∈Z.
因为函数y＝g(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))成中心对称，
所以令 eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,12)－θ＝ eq \f(5π,12)，解得θ＝ eq \f(kπ,2)－ eq \f(π,3)，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值 eq \f(π,6).
变式1、（2022年福建永泰县高三模拟试卷）（多选题）要得到 SKIPIF 1 < 0 的图象 SKIPIF 1 < 0 ,只要将 SKIPIF 1 < 0 图象 SKIPIF 1 < 0 怎样变化得到
A. 将 SKIPIF 1 < 0 的图象 SKIPIF 1 < 0 沿x轴方向向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位
B. 将 SKIPIF 1 < 0 的图象 SKIPIF 1 < 0 沿x轴方向向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位
C. 先作 SKIPIF 1 < 0 关于x轴对称图象 SKIPIF 1 < 0 ,再将图象 SKIPIF 1 < 0 沿x轴方向向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位
D. 先作 SKIPIF 1 < 0 关于x轴对称图象 SKIPIF 1 < 0 ,再将图象 SKIPIF 1 < 0 沿x轴方向向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位
【答案】ABC
【解析】
对于A，将 SKIPIF 1 < 0 图象 SKIPIF 1 < 0 沿x轴方向向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
对于B，将 SKIPIF 1 < 0 的图象 SKIPIF 1 < 0 沿x轴方向向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位也可得到，
SKIPIF 1 < 0 的图象 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对于C，先作 SKIPIF 1 < 0 关于x轴对称，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象 SKIPIF 1 < 0 ，再将图象 SKIPIF 1 < 0 沿x轴方向向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
对于D，先作 SKIPIF 1 < 0 关于x轴对称，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象 SKIPIF 1 < 0 ，再将图象 SKIPIF 1 < 0 沿x轴方向向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到的 SKIPIF 1 < 0 图象，故选项D不正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，只需把函数 SKIPIF 1 < 0 的图象（ ）
A．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位
C．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位D．向右移 SKIPIF 1 < 0 个单位
【答案】D
【解析】
因为： SKIPIF 1 < 0 ．
所以：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，
可得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象．
故选:D.
变式3、 （2022年福建龙岩市模拟试卷）把函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解法一：函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，纵坐标不变，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，再把所得曲线向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，应当得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
根据已知得到了函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
解法二：由已知的函数 SKIPIF 1 < 0 逆向变换，
第一步：向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
即为 SKIPIF 1 < 0 的图象，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
变式4、（2022·山东莱西·高三期末）要得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，只需将 SKIPIF 1 < 0 的图象（ ）
A．向左平行移动 SKIPIF 1 < 0 个单位长度B．向右平行移动 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
C．向右平行移动 SKIPIF 1 < 0 个单位长度D．向左平行移动 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
【答案】C
【解析】
解：因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以要得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，只需将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平行移动 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，
故选：C.
方法总结：1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
考向三 三角函数图象与性质的综合问题
例3、（2022·江苏扬州·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 (ω>0)，下列说法中正确的有（ ）
A．若ω=1，则f(x)在 SKIPIF 1 < 0 上是单调增函数
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则正整数ω的最小值为2
C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，所得到的图象关于原点对称
D．若f(x)在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，A不正确；
对于B，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，依题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，
这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C不正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BD
变式1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 (A＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是偶函数
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，f(x)的最大值为1
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为π
【答案】AC
【解析】
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确.
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 为奇函数，B选项错误.
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，C选项正确.
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，D选项错误.
故选：AC
变式2、（2022·江苏宿迁·高三期末）（多选题）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后得到 SKIPIF 1 < 0 的图象如图，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为奇函数
B． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C．方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有 SKIPIF 1 < 0 个实数根
D． SKIPIF 1 < 0 的解析式可以是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位可得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
故 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 不是奇函数，A错；
对于B选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，B对；
对于C选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选：BC.
变式3、（2022·广东汕尾·高三期末）（多选题）以下关于函数 SKIPIF 1 < 0 的命题，正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
B．点 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一个对称中心
C．直线 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴
D．将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到的函数的图象关于原点对称
【答案】AD
【解析】
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，所以A对．
SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴，所以B错．
SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一个对称中心，所以C错．
将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到的图象对应的函数为 SKIPIF 1 < 0 ，是奇函数，所以D对．
故选：AD．
方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用．
函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x轴(或y＝a)的交点，即数形之间的转化问题．
1、（2022年厦门双十中学模拟试卷）将 SKIPIF 1 < 0 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，再将 SKIPIF 1 < 0 图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【详解】将 SKIPIF 1 < 0 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
再将 SKIPIF 1 < 0 图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
故选：A.
2、（2022·广东佛山·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在一个周期内的图象如图所示，图中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处附近单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为点 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴右侧的第一个对称中心，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3、（2022·山东枣庄·高三期末）若 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 的值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由图象可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 图象经过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4、（2022·广东潮州·高三期末）（多选题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．对任意正奇数n，f(x)为奇函数
B．当n=3时，f(x)在[0， SKIPIF 1 < 0 ]上的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．当n=4时，f(x)的单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0
D．对任意正整数n，f(x)的图象都关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
【答案】BD
【解析】
解：对于A，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 不是奇函数，则A错误；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，则C错误；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则D正确；
故选：BD.
5、（2022·广东东莞·高三期末）（多选题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后，图象关于原点对称
D． SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后，图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称
【答案】BD
【解析】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的最大值，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此A选项错误，B正确；
SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到的图象对应的函数解析式为：
SKIPIF 1 < 0 ，该函数图象不关于原点对称，故C错误；
SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
该图象关于y轴对称，故D正确，
故选：BD
6、（2022·山东泰安·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，所得函数的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称.
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个实数根，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】
SKIPIF 1 < 0
将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后，所得函数为
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减.
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∵方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个实数根.
∴ SKIPIF 1 < 0
∴实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
y＝Asin(ωx＋
φ)(A＞0，
ω＞0)，x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
_ωx＋φ_
_φ_
x
eq \f(0－φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
__0__
eq \f(π,2)
__π__
eq \f(3π,2)
__2π__
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
A sin (ωx＋φ)
0
5
－5
0
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
eq \f(13π,12)
A sin (ωx＋φ)
0
5
0
－5
0