(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第5章 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 (2份打包，原卷版+教师版)

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第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数


一、知识梳理
1.任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类
按旋转方向
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
射线没有旋转
按终边位置
前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限角
角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他
角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝
角度与弧度的换算
1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式
l＝|α|·r
扇形面积公式
S＝l·r＝|α|·r2




3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，
记作sin α
x叫做α的余弦，
记作cos α
叫做α的正切，
记作tan α
各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
常用结论
1.象限角

2.轴线角

3.三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，
则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
二、教材衍化
1.角﹣225°＝________弧度，这个角在第________象限.
答案：﹣　二
2.设角θ的终边经过点P(4，﹣3)，那么2cos θ﹣sin θ＝________.　
答案：
3.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.
答案：

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.(　　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同.(　　)
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等.(　　)
(5)若α∈(0,)，则tan α＞sin α.(　　)
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
二、易错纠偏
常见误区(1)终边相同的角理解出错；
(2)三角函数符号记忆不准；
(3)求三角函数值不考虑终边所在象限.
1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°﹣315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
解析：选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z).
2.若sin α＜0，且tan α＞0，则α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角.故选C.
3.已知角α的终边在直线y＝﹣x上，且cos α＜0，则tan α＝________.
解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝﹣x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝﹣1.

答案：﹣1

考点一　任意角与弧度制(基础型)
复习指导了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.
核心素养：数学抽象
角度一　象限角及终边相同的角
1.给出下列四个命题：①﹣是第二象限角；②是第三象限角；③﹣400°是第四象限角；④﹣315°是第一象限角.其中正确命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：选C.﹣是第三象限角，故①错误；＝π＋，所以是第三象限角，故②正确；
﹣400°＝﹣360°﹣40°，所以﹣400°是第四象限角，故③正确；
﹣315°＝﹣360°＋45°，所以﹣315°是第一象限角，故④正确，故选C.
2.若角α是第二象限角，则是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
解析：选C.因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角.所以是第一或第三象限角.
3.集合{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

解析：选C.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
4.在﹣720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________.
解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令﹣720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得﹣765°≤k×360°<﹣45°(k∈Z)，
解得﹣≤k<﹣(k∈Z)，从而k＝﹣2和k＝﹣1，代入得β＝﹣675°和β＝﹣315°.
答案：﹣675°和﹣315°
5.终边在直线y＝x上，且在[﹣2π，2π)内的角α的集合为________.
解析：如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；

在[﹣2π，0)内满足条件的角有两个：﹣，﹣，故满足条件的角α构成的集合为{﹣，﹣，，}.
答案：{﹣，﹣，，}.

(1)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的﹣360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间；
③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.
(2)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
[提醒]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角.
角度二　扇形的弧长及面积公式
已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解】　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm).
(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20﹣2R，0 所以S＝lR＝(20﹣2R)R＝10R﹣R2＝﹣(R﹣5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10 cm，α＝2 rad.

弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角).
(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
[提醒]　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度.

1.已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A.4 B.2 C.8 D.1
解析：选A.设扇形的弧长为l，则l·2＝8，
即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为＝4.
2.一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________.
解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，
所以α＝.所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.
答案：
考点二　三角函数的定义(基础型)
复习指导借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
核心素养：数学抽象、数学运算
角度一　利用三角函数定义求值
(1)函数y＝loga(x﹣3)＋2(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sin α＋cos α的值为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知角α的终边经过点P(﹣x，﹣6)，且cos α＝﹣，则tan α＝________.
【解析】(1)因为函数y＝loga(x﹣3)＋2的图象过定点P(4，2)，且角α的终边过点P，
所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin α＋cos α＝＋＝.故选D.
(2)因为角α的终边经过点P(﹣x，﹣6)，且cos α＝﹣，
所以cos α＝＝﹣，即x＝.所以P(﹣，﹣6)，所以tan α＝.
【答案】　(1)D　(2)

三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题.
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解.
角度二　判断三角函数值的符号
若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】　由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限.故选C.
【答案】　C

三角函数值的符号及角的位置的判断
已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.



1.若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是　(　　)
A.第一象限角　　B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
解析：选D.因为﹣1≤cos x≤1，且sin(cos x)>0，所以0 又sin x<0，所以角x为第四象限角，故选D.
2.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A.(﹣，) B.(﹣，﹣) C.(﹣，﹣) D.(﹣，)
解析：选A.由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝﹣，y＝sin＝.
所以Q点的坐标为(﹣，).
3.若角α的终边落在直线y＝﹣x上，则＋＝________.
解析：因为角α的终边落在直线y＝﹣x上，所以角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0.所以＋＝0.
答案：0

[基础题组练]
1.(多选)下列与角的终边相同的角是(　　)
A. B.2kπ﹣(k∈Z)
C.2kπ＋(k∈Z) D.(2k＋1)π＋(k∈Z)
解析：选AC.与角的终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，k＝2时，4π＋＝π.
2.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：选B.由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限.故选B.
3.若角α的终边在直线y＝﹣x上，则角α的取值集合为(　　)
A.{α|α＝k·360°﹣45°，k∈Z} B.{α|α＝k·2π＋，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°＋，k∈Z} D.{α|α＝k·π﹣，k∈Z}
解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2nπ＋，n∈Z}∪{α|α＝2nπ﹣，n∈Z}

＝{α|α＝(2n＋1)π﹣，n∈Z}∪{α|α＝2nπ﹣，n∈Z}＝{α|α＝kπ﹣，k∈Z}.
4.已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)
A.(1，) B.(，1) C.(，) D.(1，1)
解析：选D.设点P的坐标为(x，y)，
则由三角函数的定义得即
故点P的坐标为(1，1).
5.已知点P(sin x﹣cos x，﹣3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)
A.(，π) B.(﹣，) C.(﹣，) D.(﹣，)
解析：选D.由点P(sin x﹣cos x，﹣3)在第三象限，可得sin x﹣cos x<0，即sin x 6.已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________.
解析：因为cos α＝＝x，所以x＝0或x＝或x＝﹣，
又α是第二象限角，所以x＝﹣.
答案：﹣
7.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.
解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为r，所以圆心角的弧度数是＝.
答案：

8.已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________.
解析：因为θ＝，故P(，﹣)，故α为第四象限角且cos α＝，
所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.
答案：
9.已知＝﹣，且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值.
解：(1)由＝﹣，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角.
(2)因为|OM|＝1，所以()2＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝﹣，sin α＝＝＝﹣.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.

(1)若点B的横坐标为﹣，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合.
解：(1)由题意可得B(﹣，)，根据三角函数的定义得tan α＝＝﹣.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，
故与角α终边相同的角β的集合为{β|β=+2kπ，k∈Z}.

[综合题组练]
1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝(　　)
A. B.﹣ C. D.﹣
解析：选A.由三角函数定义得tan α＝，即＝，
得3cos α＝2sin2α＝2(1﹣cos2α)，解得cos α＝或cos α＝﹣2(舍去).故选A.
2.在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α
A. B. C. D.
解析：选C.设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得0，所以P所在的圆弧是，故选C.
3.(创新型)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________.

解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，所以S1＝tm·r﹣S扇形AOB，S2＝tm·r﹣S扇形AOB，所以S1＝S2恒成立.
答案：S1＝S2
4.(创新型)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________.

解析：由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4﹣2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝2，可得弦AB＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.
答案：4＋2
5.若角θ的终边过点P(﹣4a，3a)(a≠0).
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号.
解：(1)因为角θ的终边过点P(﹣4a，3a)(a≠0)，所以x＝﹣4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝﹣.
当a＜0时，r＝﹣5a，sin θ＋cos θ＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈(0,)，cos θ＝﹣∈(﹣，0)，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin(﹣)＜0；
当a＜0时，sin θ＝﹣∈(﹣，0)，cos θ＝∈(0,)，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos(﹣ )·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正.
6.(创新型)在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？

解：因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×＝；方案二中扇形的弧长＝1×＝；
方案一中扇形的面积＝×2×2×＝，方案二中扇形的面积＝×1×1×＝.
由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短.因此方案一最优.