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    2024年高考数学第一轮复习精品导学案第25讲 弧度制及任意角的三角函数(学生版)+教师版

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    这是一份2024年高考数学第一轮复习精品导学案第25讲 弧度制及任意角的三角函数(学生版)+教师版,共2页。


    1. 角的概念的推广
    (1)正角、负角和零角:一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角;如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫作零角.
    (2)象限角:以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,这样,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.
    (3)终边相同的角:与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α,k∈Z}.
    2. 弧度制
    ①1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
    ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|= ,l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径.
    ③弧度与角度的换算:360°= rad;180°= rad;1°= rad;1 rad= _度.
    ④弧长公式:__l=|α|r__.
    扇形面积公式:S扇形= _= .
    3. 任意角的三角函数
    (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=__y__,csα=__x__,tanα=eq \f(y,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠0)).
    (2)特殊角的三角函数值
    1、若α是第四象限角,则π+α是第____象限角( )
    A.一 B.二 C.三 D.四
    2、(2022·日照一模)已知角θ的终边经过点 P( eq \f(1,2),- eq \f(\r(3),2)),则角θ可以为( )
    A. eq \f(5π,6) B. eq \f(2π,3) C. eq \f(11π,6) D. eq \f(5π,3).
    3、(多选)下列结论中,正确的是( )
    A. - eq \f(7π,6)是第三象限角
    B. 若圆心角为 eq \f(π,3)的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为 eq \f(3π,2)
    C. 若角α的终边过点P(-3,4),则cs α=- eq \f(3,5)
    D. 若角α为锐角,则角2α为钝角
    4、(2022·山东高三开学考试)在平面直角坐标系中,角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴,终边过点(-2,y),且tan (π-α)=2,则sin α= .
    考向一 角的表示及象限角
    例1、 (1) 终边在直线y= eq \r(3)x上的角的集合为 ;
    (2) 若角θ的终边与 eq \f(6π,7)角的终边相同,则在[0,2π)内,终边与角 eq \f(θ,3)的终边相同的角的个数为 ;
    (3) 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角α用集合可表示为 .
    变式、(1)集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ≤α≤kπ+\f(π,4))),k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
    (2)若角α是第二象限角,则eq \f(α,2)是( )
    A.第一象限角 B.第二象限角
    C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
    方法总结:1. 象限角的两种判断方法:
    (1) 图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.
    (2) 转化法:先将已知角转化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
    2. 由角所在的区域写出角的集合,由角的集合画出区域.
    考向二 扇形的有关运算
    例2、 已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.
    (1)若α=eq \f(π,3),R=10 cm,求扇形的弧长l.
    (2)若扇形的周长是20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
    (3)若α=eq \f(π,3),R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.
    变式1、(1)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为eq \f(\r(5)-1,2)时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )
    A.eq \f(\r(5)+1,4) B.eq \f(\r(5)-1,2)
    C.3-eq \r(5) D.eq \r(5)-2
    (2)一个扇形的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,则圆心角为________弧度,弧长为________ cm.
    变式2、已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10.
    (1) 求弦AB所对圆心角α的大小;
    (2) 求α所在的扇形弧长l及弧所在弓形的面积S.
    方法总结:有关弧长及扇形面积问题的注意点
    (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
    (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
    (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
    考向三 三角函数的定义及应用
    例3、已知角α的终边上一点P(-eq \r(3),m)(m≠0), 且sin α=eq \f(\r(2)m,4),求cs α,tan α的值.
    变式1、已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,4),cs \f(3π,4))),则角α的最小正角为( )
    A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,4) D.eq \f(7π,4)
    变式2、已知角α的终边过点P(-8m,-6cs 60°),且cs α=- eq \f(4,5),则m= .
    方法总结:1.明确用定义法求三角函数值的两种情况:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解;(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求解.2.三角函数值只与角的大小有关,与点P在角的终边上的位置无关,由于P是除原点外的任意一点,故r恒为正,本题要注意对变量的讨论.
    1、(2022·湖北·模拟预测)若角的终边经过点,则的值为( )
    A.B.C.D.
    2、(2022·山东日照·一模)已知角的终边经过点,则角可以为( )
    A.B.C.D.
    3、(2022·重庆市育才中学模拟预测)若点在角的终边上,则的值为
    A.B.C.D.
    4、(2022·湖北武汉·模拟预测)已知角的始边与轴非负半轴重合,终边上一点,若,则( )
    A.3B.C.D.
    5、(2022·河北·石家庄二中模拟预测)若角满足,,则在( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    6、(2022·重庆市育才中学模拟预测)希波克拉底是古希腊医学家,他被西方尊为“医学之父”,除了医学,他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧,两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分,若,,则该月牙形的面积为( )
    A.B.C.D.
    7、(2022·广东广东·一模)数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC,再分别以点A、B、C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为,则其面积是______.
    角α

    30°
    45°
    60°
    90°
    180°
    270°
    α弧
    度数
    sinα
    csα
    tanα
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