2024年高考数学第一轮复习精品导学案第25讲 弧度制及任意角的三角函数（学生版）+教师版

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1. 角的概念的推广
(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．
(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．
(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2. 弧度制
①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝ ，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝ rad；180°＝ rad；1°＝ rad；1 rad＝ _度．
④弧长公式：__l＝|α|r__．
扇形面积公式：S扇形＝ _＝ ．
3. 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，csα＝__x__，tanα＝eq \f(y,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠0))．
(2)特殊角的三角函数值
1、若α是第四象限角，则π＋α是第____象限角( )
A．一 B．二 C．三 D．四
2、（2022·日照一模）已知角θ的终边经过点 P（ eq \f(1,2)，－ eq \f(\r(3),2)），则角θ可以为( )
A. eq \f(5π,6) B. eq \f(2π,3) C. eq \f(11π,6) D. eq \f(5π,3).
3、（多选）下列结论中，正确的是( )
A. － eq \f(7π,6)是第三象限角
B. 若圆心角为 eq \f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 eq \f(3π,2)
C. 若角α的终边过点P(－3，4)，则cs α＝－ eq \f(3,5)
D. 若角α为锐角，则角2α为钝角
4、（2022·山东高三开学考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点(－2，y)，且tan (π－α)＝2，则sin α＝ ．
考向一 角的表示及象限角
例1、 (1) 终边在直线y＝ eq \r(3)x上的角的集合为 ；
(2) 若角θ的终边与 eq \f(6π,7)角的终边相同，则在[0，2π）内，终边与角 eq \f(θ,3)的终边相同的角的个数为 ；
(3) 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为 ．
变式、（1）集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ≤α≤kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
（2）若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
方法总结：1. 象限角的两种判断方法：
(1) 图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2) 转化法：先将已知角转化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2. 由角所在的区域写出角的集合，由角的集合画出区域．
考向二 扇形的有关运算
例2、 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝eq \f(π,3)，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
变式1、（1）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为eq \f(\r(5)－1,2)时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )
A.eq \f(\r(5)＋1,4) B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.3－eq \r(5) D.eq \r(5)－2
(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm.
变式2、已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1) 求弦AB所对圆心角α的大小；
(2) 求α所在的扇形弧长l及弧所在弓形的面积S.
方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考向三 三角函数的定义及应用
例3、已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)， 且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，求cs α，tan α的值．
变式1、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,4)，cs \f(3π,4)))，则角α的最小正角为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,4) D.eq \f(7π,4)
变式2、已知角α的终边过点P(－8m，－6cs 60°)，且cs α＝－ eq \f(4,5)，则m＝ ．
方法总结：1．明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数值只与角的大小有关，与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量的讨论．
1、（2022·湖北·模拟预测）若角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2、（2022·山东日照·一模）已知角的终边经过点，则角可以为（ ）
A．B．C．D．
3、（2022·重庆市育才中学模拟预测）若点在角的终边上，则的值为
A．B．C．D．
4、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（ ）
A．3B．C．D．
5、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角满足，，则在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6、（2022·重庆市育才中学模拟预测）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7、（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
角α
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
α弧
度数
sinα
csα
tanα