2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区育英外国语学校七年级（下）期末数学模拟试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区育英外国语学校七年级（下）期末数学模拟试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(−x2)(−x)2的结果是( )
A. 0B. −x4C. x4D. x22
2.不等式组3x−1>28−4x≤0的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
3.下列说法中是真命题的有( )
①一条直线的平行线只有一条．
②过一点与已知直线平行的直线只有一条．
③因为a//b，c//d，所以a//d
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A. (5a−3b)(3b+5a)B. (m−n)(n−m)
C. (−x−6)(x+6)D. (x2−y)(x+y)
5.命题“若a=b，则|a|=|b|”与其逆命题的真假性为( )
A. 原命题与其逆命题都是真命题B. 原命题与其逆命题都是假命题
C. 原命题是假命题，其逆命题是真命题D. 原命题是真命题，其逆命题是假命题
6.如图，点D在△ABC的边BC上，BD>CD.将△ABD沿AD翻折，使B落在点E处，且DE与AC交于点F.设△AEF的面积为S1，△CDF的面积为S2.则S1与S2的大小关系为( )
A. S1>S2
B. S1=S2
C. S1D. 不确定
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.不等式−x≤3的解集是______.
8.某种细菌的存活时间只有0.000012秒，若用科学记数法表示此数据应为______秒．
9.若2x×8y=64，若010.如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为______.
11.因式分解：mn3−mn=______.
12.规定两数a、b之间的一种运算，记作(a,b)：如果ac=b，那么(a,b)=c.例如：因为23=8，所以(2,8)=3.根据上述规定，填空：若(2,10)=x，(2,5)=y，则2x2−y2的值为______.
13.从五边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将五边形分成n个三角形．则m+n=______.
14.若不等式组x≥−3x15.如图，长为4a的长方形，沿图中虚线裁剪成四个形状大小完全相同的小长方形，那么每个小长方形的周长为______(用含a的代数式表示).
16.如图，在第1个△ABA1中，∠B=40∘，∠BAA1=∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2=∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3=∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为______.
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
17.解方程组：
.
18.解不等式组：−3(x+1)−(x−3)<82x+13−1−x2≤1，并求它的整数解的和．
四、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(2xy2)3−(5xy2)⋅(−xy2)2
(2)(−14)−1+(−2)2×50+(13)−2.
20.(本小题8分)
因式分解：
(1)a2b−9b；
(2)x3−4x2y+4xy2.
21.(本小题6分)
如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD//CE.
22.(本小题6分)
如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点A、B、P、Q均为格点(格点是指每个小正方形的顶点)，线段AB经过点P.
(1)过点P画线段CD，使得线段CD满足以下两个条件：
①CD⊥AB；
②CD=AB；
(2)过点Q画AB的平行线EF，EF与CD相交于点G；
(3)若格点H使得△PAH的面积等于6，则这样的点H共有______个.(画线时必须用小黑点标出重要的格点，若没有不给分)
23.(本小题6分)
如图，已知∠A和∠1，求作：∠2，使∠2+∠1−∠A=180∘.(要求：1.尺规作图，保留作图痕迹；2.用两种方法；3.写出必要的文字说明)
24.(本小题8分)
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”.如：一元一次方程x+1=2的解为x=1，而一元一次不等式2x−3(1)在①−3(x+1)=9，②2x+3=5，③x+54=12，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3(1+x)>x−4的“伴随方程”的有______(填序号)；
(2)若关于x的一元一次方程3x−a=2是关于x一元一次不等式3(a+x)≥4a+x的“伴随方程”，且一元一次方程x−12+1=x不是关于x的一元一次不等式a2①求a的取值范围；
②直接写出代数式|a|+|a−3|的最大值.
25.(本小题8分)
2023年5月20日是第34个中国学生营养日，本次宣传主题为“科学食养，助力儿童健康成长”.某学校为学生提供的400克早餐食品中，蛋白质总含量为7.55%，包括一份粮谷类食品，一份牛奶和一个鸡蛋(一个鸡蛋的质量约为60克，蛋白质含量占12.5%；粮谷类食品和牛奶的部分营养成分如表所示).
(1)设该份早餐中粮谷类食品为x克，牛奶为y克，请写出粮谷类食品中所含的蛋白质为______克，牛奶中所含的蛋白质为______克；(用含有x，y的式子表示)
(2)请求出x，y的值；
(3)该学校为学生提供的午餐有A，B两种套餐(每天只提供一种)：
为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量.如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不超过890克，那么该校在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案.(说明：一周按5天计算)
26.(本小题10分)
△ABC中，∠C=70∘，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两个定点，点P是平面内一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.
初探：
(1)如图1，若点P在线段AB上运动，
①当∠α=60∘时，则∠1+∠2=______ ∘；
②∠α、∠1、∠2之间的关系为：______.
再探：
(2)若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．
拓展：
(3)请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，并写出此时∠α、∠1、∠2之间的关系：______.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：(−x2)(−x)2
=−x2⋅x2
=−x4.
故选：B.
利用同底数幂的运算法则计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：{3x−1>2①8−4x⩽0②，
由①得，x>1，
由②得，x≥2，
故此不等式组得解集为：x≥2.
在数轴上表示为：
.
故选：A.
分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行公理和推论对各小题分析判断即可得解．
【解答】
解：①应为过直线外一点作一条直线的平行线只有一条，故本小题错误；
②应为过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，故本小题错误；
③a//b，c//d，不能够得出a//d，故本小题错误；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确．
综上所述，真命题有④，共1个．
故选A.
4.【答案】A
【解析】解：A、可以运用平方差公式，故本选项正确；
B、不能运用平方差公式，故本选项错误；
C、不能运用平方差公式，故本选项错误；
D、不能运用平方差公式，故本选项错误；
故选：A.
根据平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，结合选项进行判断即可．
本题考查了平方差公式，属于基础题，注意掌握平方差公式的形式，平方差公式是初中阶段比较重要的公式．
5.【答案】D
【解析】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题为：若|a|=|b|，则a=b，是假命题，而命题“若a=b，则|a|=|b|”是真命题；
故选：D.
写出其逆命题，进而判断即可．
本题考查命题的真假判断，考查原命题、逆命题等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵点D在△ABC的边BC上，BD>CD，
∴S△ABD>S△ACD，
由折叠可得，S△ABD=S△AED，
∴S△AED>S△ACD，
∴S△AED−S△ADF>S△ACD−S△ADF，
即S1>S2，
故选：A.
依据点D在△ABC的边BC上，BD>CD，即可得到S△ABD>S△ACD，再根据折叠的性质，即可得到S1>S2.
本题主要考查了折叠的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7.【答案】x≥−3
【解析】解：两边都除以−1，可得：x≥−3，
故答案为：x≥−3.
两边同除“−1”根据不等式的性质即可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
8.【答案】1.2×10−5
【解析】解：0.000012秒=1.2×10−5秒．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9.【答案】1≤y<2
【解析】解：∵8=23，64=26，2x×8y=64，
∴2x×(23)y=26，即2x×23y=26.
∴2x+3y=26.
∴x+3y=6.
∴x=6−3y.
∵0∴0<6−3y≤3.
∴1≤y<2.
故答案为：1≤y<2.
先逆用乘方法则，把8、64写成2的幂的形式，再利用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则得到含x、y的方程，由题中不等式得关于y的不等式，求解即可．
本题主要考查了整式的运算和解不等式，掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则及一元一次不等式的解法，是解决本题的关键．
10.【答案】31.5∘
【解析】解：由题意得：正八边形的每个内角都等于135∘，正五边形的每个内角都等于108∘，
故∠BAC=360∘−135∘−108∘=117∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=(180∘−117∘)÷2=31.5∘.
故答案为：31.5∘.
根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正八边形的内角，正五边形的内角是解题的关键．
11.【答案】mn(n+1)(n−1)
【解析】解：原式=mn(n2−1)
=mn(n+1)(n−1)，
故答案为：mn(n+1)(n−1).
提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12.【答案】50
【解析】解：∵(2,10)=x，(2,5)=y，
∴2x=10，2y=5，
∵2x−y=2x2y=105=2，2x+y=2x⋅2y=10×5=50，
∴x−y=1，
2x2−y2
=2(x−y)(x+y)
=2x+y
=50.
故答案为：50.
根据新定义得2x=10，2y=5，从而2x−y=2，2x+y=50，求出x−y=1，进而可求出2x2−y2的值．
本题考查了新定义，同底数幂的乘法和除法，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13.【答案】5
【解析】解：对角线的数量m=5−3=2(条)；
分成的三角形的数量为n=5−2=3(个).
所以m+n=2+3=5.
故答案为：5.
从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2，由此求出m、n，代入计算即可．
本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解题的关键是熟忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2.
14.【答案】−1或2
【解析】解：根据题意得：不等式组的解集为−3≤x∵解集中的整数和为−5，
∴解集中的整数为−3，−2或−3，−2，−1，0，1，
∴整数a的值为−1或2.
故答案为：−1或2.
根据题意得：不等式组的解集为−3≤x本题考查了不等式的解集，根据解集中的整数和为−5，得到解集中的整数为−3，−2或−3，−2，−1，0，1是解题的关键．
15.【答案】6a
【解析】解：如图，2y+x=4ax=2y，
解得x=2ay=a.
所以2(x+y)=2(2a+a)=6a.
故答案是：6a.
根据图示知：2y+x=4a，且x=2y；然后根据长方形的周长公式得到：2(x+y)，代入求值．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键的根据图示找到等量关系．
16.【答案】70∘2n−1
【解析】解：在△ABA1中，∠B=40∘，∠BAA1=∠BA1A，
∴∠BA1A=12(180∘−∠B)=12(180∘−40∘)=70∘，
∵∠A1CA2=∠A1A2C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1=12∠BA1A=12×70∘=35∘，
同理可得，∠DA3A2=14×70∘=17.5∘，∠EA4A3=18×70∘，
以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数70∘2n−1.
故答案为：70∘2n−1.
先根据三角形内角和定理求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的底角的度数．
本题考查的是三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，进而找出规律是解答此题的关键．
17.【答案】解：整理方程组得：，
②-①得：x=0.5，
把x=0.5代入①得：2×0.5+3y=10，
解得：y=3，
∴方程组的解为：.
【解析】化简整理方程组，利用加减消元法或代入消元法解方程组．
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
18.【答案】解：由①得x>−2
由②得x≤1
∴不等式组的解集为−2∴不等式组的整数解的和为−1+0+1=0.
【解析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解，最后求它的整数解的和即可．
本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19.【答案】解：(1)原式=8x3y6−(5xy2)⋅(x2y4)
=8x3y6−5x3y6
=3x3y6；
(2)原式=−4+4×1+32=9.
【解析】(1)先计算积的乘方，再计算单项式的乘法，最后合并同类项．
(2)根据负整数指数幂、乘方和零指数幂进行解答．
本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、幂的乘方和积的乘方以及非0有理数的负整数次幂等，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
20.【答案】解：(1)a2b−9b
=b(a2−9)
=b(a+3)(a−3)；
(2)x3−4x2y+4xy2
=x(x2−4xy+4y2)
=x(x−2y)2.
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
21.【答案】证明：∵∠A=∠F，
∴AC//DF，
∴∠C=∠CEF，
而∠C=∠D，
∴∠CEF=∠D，
∴BD//CE.
【解析】先根据内错角相等，两直线平行由∠A=∠F得到AC//DF，再利用平行线的性质得∠C=∠CEF，由于∠C=∠D，则∠CEF=∠D，然后根据平行线的判定得到BD//CE.
本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
22.【答案】7
【解析】解：(1)CD即为所求；
(2)EF即为所求；
(3)如图所示，这样的点H共有7个，
故答案为：7.
(1)根据网格线的特征及垂直的性质作图；
(2)根据网格线的特征及平行线的性质作图；
(3)根据三角形的面积公式作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、垂直的性质、平行线的性质及三角形的面积公式是解题的关键．
23.【答案】解：方法一：∠COD即为所求．
方法二：∠COD即为所求．

【解析】利用角的和差定义求解即可．方法一：延长AO到B，在OB的下方作∠BOD=∠A即可，∠COD即为所求．方法二：延长JO到D，在OF的右侧作∠FOC=∠A即可，∠COD即为所求．
本题考查作图-复杂作图，角的和差定义性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】解：(1)②③；
(2)①3x−a=2，解得：x=2+a3，
3(a+x)≥4a+x，解得：x≥a2，
∵方程3x−a=2是关于x一元一次不等式3(a+x)≥4a+x的“伴随方程”，
∴2+a3≥a2，
2(2+a)≥3a，
4+2a≥3a，
∴a≤4；
x−12+1=x，解得：x=1，
a2∵方程x−12+1=x不是关于x的一元一次不等式a2∴−a2≤1，
−a≤2，
a≥−2，
∴a的取值范围为：−2≤a≤4；
②∵−2≤a≤4，
∴当a=−2时，|a|+|a−3|的值最大，最大值=|−2|+|−2−3|=2+5=7，
∴代数式|a|+|a−3|的最大值是7.
【解析】【分析】
(1)先分别解三个一元一次方程，再解一元一次不等式，然后根据“伴随方程”的定义，逐一判断即可解答；
(2)①先解一元一次方程3x−a=2，可得x=2+a3，再解一元一次不等式3(a+x)≥4a+x，可得x≥a2，然后根据“伴随方程”的定义可得2+a3≥a2，从而可得a≤4；再解一元一次方程x−12+1=x和一元一次不等式a2②利用①的结论可得：当a=−2时，|a|+|a−3|的值最大，然后把a的值代入式子中，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，绝对值，解一元一次方程，一元一次方程的解，理解“伴随方程”的定义是解题的关键．
【解答】
解：(1)①−3(x+1)=9，解得x=−4；
②2x+3=5，解得：x=1；
③x+54=12，解得x=−3；
3(1+x)>x−4，
3+3x>x−4，
3x−x>−4−3，
2x>−7，
x>−3.5，
∴在①−3(x+1)=9，②2x+3=5，③x+54=12，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3(1+x)>x−4的“伴随方程”的有②③，
故答案为：②③；
(2)见答案；
25.【答案】
【解析】解：(1)根据题意得：谷物食品中所含的蛋白质为0.08x克，牛奶中所含的蛋白质为0.03y克．
故答案为：0.08x；0.03y；
(2)根据题意得：x+y+60=4000.08x+0.03y+60×12.5%=400×7.55%，
解得：x=250y=90.
答：x的值为250，y的值为90；
(3)设该校在一周里可以选择A套餐m天，则选项B套餐(5−m)天，
根据题意得：160m+200(5−m)≤890，
解得：m≥114，
又∵m，5−m均为非负整数，
∴m可以为3，4，5，
∴该校在一周里共有3种选择方案，
方案1：选择A套餐3天，B套餐2天；
方案2：选择A套餐4天，B套餐1天；
方案3：选择A套餐5天．
(1)根据谷物食品及牛奶中蛋白质的含量，可用含x，y的代数式表示出结论；
(2)根据早餐的总重量及蛋白质的含量，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设该校在一周里可以选择A套餐m天，则选项B套餐(5−m)天，根据在一周里学生午餐主食摄入总量不得超过890克，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合m，5−m均为非负整数，即可得出各选择方案．
本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
26.【答案】(1)①130 ，②∠1+∠2=70∘+∠α；(2)∠1=70∘+∠2+∠α；(3)∠1+∠2=430∘−∠α
【解析】解：(1)①如图1中，连接PC.
∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC=∠ACB+∠DPE=∠ACB+∠α，
∵∠ACB=70∘，∠α=60∘，
∴∠1+∠2=60∘+70∘=130∘.
②由①可知，∠1+∠2=∠ACB+∠α=70∘+∠α，
故答案为130，70∘+∠α.
(2)结论：∠1=70∘+∠2+∠α.
理由：如图2中，
∵∠1=∠C+∠CFD，∠CFD=∠2+∠α，
∴∠1=70∘+∠2+∠α.
(3)结论：∠1+∠2=430∘−∠α.
理由：如图3中，
∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC=∠ACB+360∘−∠DPE=70∘+360∘−∠α，
∴∠1+∠2=430∘−∠α.
故答案为∠1+∠2=430∘−∠α.
(1)①如图1中，连接PC.证明∠1+∠2=∠ACB+∠DPE即可．
②利用①中结论解决问题．
(2)利用三角形的外角的性质解决问题即可．
(3)利用三角形的外角的性质解决问题即可．
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．粮谷类食品
项目
每100克
能量
2132千焦
脂肪
30.8克
蛋白质
8.0克
碳水化合物
52.6克
钠
320毫克
牛奶
项目
每100克
能量
256千焦
脂肪
3.8克
蛋白质
3.0克
碳水化合物
4.6克
钙
116毫克
套餐
主食(克)
肉类(克)
水果(克)
其它(克)
A
160
95
120
125
B
200
70
140
90