江苏省南京市鼓楼区育英外国语学校2023—2024学年七年级下学期期中数学模拟试卷+

这是一份江苏省南京市鼓楼区育英外国语学校2023—2024学年七年级下学期期中数学模拟试卷+，共24页。试卷主要包含了下列各式运算正确的是，小淇将，已学的“幂的运算”有等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．下列各式运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．x3﹣x2＝xC．x2•x3＝x6D．（x3）2＝x6
2．如图，图中∠1与∠2是同位角的序号是（ ）
A．②③B．②③④C．①②④D．③④
3．如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（ ）
A．线段AB上
B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上
D．直线AB外
4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（ ）
A．相等B．互余或互补
C．互补D．相等或互补
5．小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）
A．2019B．2020C．4039D．1
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG＝2∠DCA；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示为 ．
8．已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 （按运算顺序填序号）．
9．如果三角形的两边长分别是3cm和6cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为 cm．
10．命题“钝角三角形只有两个锐角”的逆命题是 ．
11．如图，三角形ABC中，∠C＝90° ．
12．若（x+3）（2x﹣5）＝2x2+bx﹣15，则b等于 ．
13．若9x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值为 ．
14．如图，△ABC中，∠C＝30°，将△ADC 沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∠ADC＝110°，则∠B的度数为 °
15．一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α+∠β＝ °．
16．已知长方形ABCD可以按图所示方式分成九部分，在a，b变化的过程中 （请将所有正确的编号填在横线上）．
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；
②长方形ABCD的长宽之比可能为2；
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
三.解答题（共10小题，满分68分）
17．（8分）计算题：
（1）；
（2）（2a）3+（﹣a）8÷（﹣a）5．
18．（8分）计算
（1）（y﹣2x）（x+2y）
（2）（a﹣b+1）（a+b﹣1）
19．（5分）先化简，再求值：已知a2﹣5a﹣1＝0，求代数式（a﹣3）2﹣a（a﹣1）+（a+2）（a﹣2）的值．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，F分别在BC，AC边上，∠BCD+∠CDE＝90°，DF的延长线上一点G满足∠G＝∠CDE．
（1）求证：CG∥AB；
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵∠A+∠ADF＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，
∠BCD＝∠A，
∴∠ADF＝∠ ．（理由： ）
∵∠G＝∠CDE，
∴∠ ＝∠ ．（理由： ）
∴CG∥AB．（理由： ）
（2）图中与∠DCG相等的角是 ．
21．（8分）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）将△ABC向左平移5格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；
（3）△A'B'C′的面积为 ；
（4）在图中能使 S△ABC＝S△PBC 的格点P的个数有 个（点P异于A）．
22．（5分）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，然后以某一顶点（如点B）为集中点，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是
小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：
①画出命题对应的几何图形；
②写出已知，求证：
③受拼接方法的启发画出辅助线；
④写出证明过程．
请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．
23．（4分）在同一平面内有5条互不重合的直线，共有6个不同的交点，画出它们可能的位置关系．（画出三种不同的示意图，并指出其中互相平行的直线）
24．（7分）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，则x﹣y＝ ；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
25．（7分）问题提出
在学完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式﹣x2+2x+3的最大值吗？
初步思考
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x）+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4
因为（x﹣1）2≥0，
所以﹣（x﹣1）2≤0．
所以当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0．
所以当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+4的值最大，最大值是4．
所以﹣x2+2x+3的最大值是4．
尝试应用
（1）求代数式﹣x2+14x+10的最大值，并写出相应的x的值．
拓展提高
（2）将一根长24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有；若没有，请说明理由．
26．（8分）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1，∠MON＝90°（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D．
【特殊探究】当∠OAB＝60°时，∠ADB＝ °；
【推理论证】随着点A、B的运动，∠ADB的大小会变吗？如果不会，求∠ADB的度数，请说明理由；
【拓展探究1】如图2，在图1的基础上分别作∠DAO与∠DBO的平分线，交于点E °；
【拓展探究2】如图3，若将图1中的“∠MON＝90°”拓展为一般情况，即∠MON＝α，连接BP，∠OPB与∠OBP的平分线相交于点Q，试判断∠PQG 与∠D的数量关系，并说明理由．
江苏省南京市鼓楼区育英外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中
数学模拟试卷参考答案
一.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．下列各式运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．x3﹣x2＝xC．x2•x3＝x6D．（x3）2＝x6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．x2与x3不是同类项，所以不能合并；
B．x2与﹣x2不是同类项，所以不能合并；
C．x2•x6＝x5，故本选项不合题意；
D．（x3）3＝x6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
2．如图，图中∠1与∠2是同位角的序号是（ ）
A．②③B．②③④C．①②④D．③④
【分析】根据同位角的定义逐个判断即可．
【解答】解：图①中∠1和∠2是同位角，图②中∠5和∠2是同位角，图④中∠1和∠5是同位角，
故选：C．
【点评】本题考查了同位角的定义，能够理解同位角的定义是解此题的关键，数形结合思想的运用．
3．如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（ ）
A．线段AB上
B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上
D．直线AB外
【分析】过点P作线段AB的垂线，垂足在线段AB的延长线上．
【解答】解：如图，
过点P作线段AB的垂线，垂足在线段AB的延长线上．
故选：B．
【点评】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的作法是关键．
4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（ ）
A．相等B．互余或互补
C．互补D．相等或互补
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补作答．
【解答】解：如图知∠A和∠B的关系是相等或互补．
故选：D．
【点评】如果两个的两条边分别平行，那么这两个角的关系是相等或互补．
5．小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）
A．2019B．2020C．4039D．1
【分析】依据小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，即可得到c1﹣c2＝20202﹣20192，进而得出结论．
【解答】解：∵（2019x+2020）2展开后得到a1x4+b1x+c1；
∴c3＝20202，
∵（2020x﹣2019）2展开后得到a6x2+b2x+c4，
∴c2＝20192，
∴c2﹣c2＝20202﹣20196＝（2020+2019）（2020﹣2019）＝4039，
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式以及平方差公式的应用，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看作一项后，也可以用完全平方公式．
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG＝2∠DCA；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明∠ADC+∠ACD＝90°，∠GCD+∠BCD＝90°，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD，
∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故结论①正确；
∵∠A＝90°，CG⊥EG，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，
∴∠GCD+∠BCD＝90°，
又∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠GCD，故结论③正确；
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵BE、CD分别平分∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°，
∴，故结论④正确；
∵∠BFC＝135°，
∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故结论⑤正确；
若CA平分∠BCG，而∠BCG＝90°＝∠EGC，
∴∠ECG＝∠ACB＝45°，与题干条件不相符．
故选C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示为 6.9×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000069＝6.4×10﹣7．
故答案为：6.2×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 ③②① （按运算顺序填序号）．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，可得答案．
【解答】解：①同底数幂的乘法，②幂的乘方．在“（a2•a3）5＝（a2）2（a8）2＝a4•a5＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的③②①，
故答案为：③②①．
【点评】本题考查了幂的乘方，熟记同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方是解题关键．
9．如果三角形的两边长分别是3cm和6cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为 5或7 cm．
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题．
【解答】解：设这个三角形的第三边长为x，
∴6﹣3＜x＜2+3，
∴3＜x＜4，
∵第三边长是奇数，
∴这个三角形的第三边长为5或7．
故答案为：4或7．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系．
10．命题“钝角三角形只有两个锐角”的逆命题是 只有两个锐角的三角形是钝角三角形 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“钝角三角形只有两个锐角”的逆命题是只有两个锐角的三角形是钝角三角形，
故答案为：只有两个锐角的三角形是钝角三角形．
【点评】本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
11．如图，三角形ABC中，∠C＝90° 垂线段最短 ．
【分析】结合图形和已知条件，根据点到直线的距离的定义和垂线段最短求解．
【解答】解：∠C＝90°，点A到BC的距离是线段AC的长，
点B到AC的距离是线段BC的长，故BC＜AB，
所以AB边最长，依据为垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了点到直线的距离的定义以及垂线段最短的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
12．若（x+3）（2x﹣5）＝2x2+bx﹣15，则b等于 1 ．
【分析】根据多项式乘多项式的法则把左边展开，再根据对应项系数相等求解即可．
【解答】解：∵（x+3）（2x﹣8），
＝2x2+x﹣15，
＝3x2+bx﹣15，
∴b＝1．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．若9x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值为 ±12 ．
【分析】根据完全平方公式即可求得答案．
【解答】解：∵9x2+kx+7是一个完全平方式，
∴kx＝±（2×3x×6）＝±12x，
∴k＝±12，
故答案为：±12．
【点评】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14．如图，△ABC中，∠C＝30°，将△ADC 沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∠ADC＝110°，则∠B的度数为 40 °
【分析】根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ADC＝110°，∠C＝∠E＝30°，根据平角的定义可得∠ADB+∠ADC＝180°，由此可以求出∠ADB＝70°，进而退出∠BDE＝40°，根据平行即可得到答案．
【解答】解：由折叠的性质得∠ADE＝∠ADC＝110°，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝70°，
∴∠BDE＝110°﹣∠ADB＝110°﹣70°＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠BDE＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．
15．一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α+∠β＝ 126 °．
【分析】利用光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等，根据四边形、三角形内角和计算即可．
【解答】解：如图，
根据光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等，
在四边形ABCD中，
∠ABC＝180°﹣2∠1，∠BCD＝180°﹣3∠2，
∴∠ABC+∠BCD＝180°﹣2∠7+180°﹣2∠2
＝360°﹣3（∠1+∠2），
∵∠6+∠2＝180°﹣117°＝63°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣2（∠6+∠2）
＝360°﹣2×63°
＝234°，
在四边形ABCD中，
∵∠ABC+∠BCD+∠α+∠β＝360°，
∴234°+∠α+∠β＝360°，
∴∠α+∠β＝126°．
故答案为：126°．
【点评】本题考查了四边形、三角形的内角和，解题的关键是熟练找到各内角的度数及之间的关系．
16．已知长方形ABCD可以按图所示方式分成九部分，在a，b变化的过程中 ①③ （请将所有正确的编号填在横线上）．
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；
②长方形ABCD的长宽之比可能为2；
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
【分析】假设长方形的长宽比是2，推导出与已知的矛盾，排除②，根据正方形定义和长方形的周长公式判断①③，根据长方形的周长为60，推导出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．
【解答】解：如图：
①四边形AEFG、FHKM，故①正确；
②长方形的长为a+2b，宽为2a+b，
若该长方形的长宽之比为5，则a+2b＝2（8a+b），
解得a＝0．这与题意不符；
③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+7b，
所以a＝b，所以九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+5b）＝60，
整理，得a+b＝10，
∴四边形GHWD的面积为100，长方形ABCD的面积大于100．
综上所述，正确的是：①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了长方形、正方形的周长和面积即等式的性质等知识点，掌握正方形的判定、长方形的周长公式和正方形的面积公式是解决本题的关键．
三.解答题（共10小题，满分68分）
17．（8分）计算题：
（1）；
（2）（2a）3+（﹣a）8÷（﹣a）5．
【分析】（1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂，再计算加法即可；
（2）根据积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则进行计算即可求解．
【解答】解：（1）
＝1+2﹣8
＝2；
（2）（4a）3+（﹣a）8÷（﹣a）5
＝8a3﹣a4
＝7a3．
【点评】本题考查实数的混合运算和整式的运算，涉及有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算运算法则是解题的关键．
18．（8分）计算
（1）（y﹣2x）（x+2y）
（2）（a﹣b+1）（a+b﹣1）
【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则求出答案；
（2）利用平方差公式结合完全平方公式求出答案．
【解答】解：（1）（y﹣2x）（x+2y）
＝xy+6y2﹣2x8﹣4xy
＝2y8﹣3xy﹣2x7；
（2）（a﹣b+1）（a+b﹣1）
＝[（a﹣（b﹣8）][a+（b﹣1）]
＝a2﹣（b﹣5）2
＝a2﹣b3+2b﹣1．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式以及乘法公式，正确利用乘法公式是解题关键．
19．（5分）先化简，再求值：已知a2﹣5a﹣1＝0，求代数式（a﹣3）2﹣a（a﹣1）+（a+2）（a﹣2）的值．
【分析】先应用整式的混合运算法则进行计算可得原式＝a2﹣5a+5，再由已知a2﹣5a﹣1＝0，可得a2﹣5a＝1，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（a﹣3）2﹣a（a﹣6）+（a+2）（a﹣2）
＝a7﹣6a+9﹣a5+a+a2﹣4
＝a6﹣5a+5
∵a8﹣5a﹣1＝6，
∴a2﹣5a＝7，
原式＝1+5＝5．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算—化简求值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，F分别在BC，AC边上，∠BCD+∠CDE＝90°，DF的延长线上一点G满足∠G＝∠CDE．
（1）求证：CG∥AB；
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵∠A+∠ADF＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，
∠BCD＝∠A，
∴∠ADF＝∠ CDE ．（理由： 等角的余角相等 ）
∵∠G＝∠CDE，
∴∠ ADF ＝∠ G ．（理由： 等量代换 ）
∴CG∥AB．（理由： 内错角相等，两直线平行 ）
（2）图中与∠DCG相等的角是 ∠BDC和∠BCA ．
【分析】（1）根据等角的余角相等得出∠ADF＝∠CDE，进而推出∠ADF＝∠G，即可判定CG∥AB；
（2）根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠ADF＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE（理由：等角的余角相等），
∵∠G＝∠CDE，
∴∠ADF＝∠G（理由：等量代换），
∴CG∥AB（理由：内错角相等，两直线平行），
故答案为：CDE；等角的余角相等；G；等量代换，两直线平行；
（2）解：∵CG∥AB，
∴∠ACG＝∠A，∠BDC＝∠DCG，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACG＝∠BCD，
∴∠ACG+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，
即∠DCG＝∠BCA，
∴图中与∠DCG相等的角是∠BDC和∠BCA，
故答案为：∠BDC和∠BCA．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
21．（8分）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）将△ABC向左平移5格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；
（3）△A'B'C′的面积为 14 ；
（4）在图中能使 S△ABC＝S△PBC 的格点P的个数有 21 个（点P异于A）．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）根据三角形的中线，高的定义画出图形即可；
（3）利用三角形的面积公式求解；
（4）利用等高模型，满足条件的点P在直线m，n上（除点A外）．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，相似CD；
（3）△A′B′C′的面积＝×4×4＝14．
故答案为：14；
（4）满足条件的点P的个数为21个，
故答案为：21．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质吗，属于中考常考题型．
22．（5分）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，然后以某一顶点（如点B）为集中点，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是
小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：
①画出命题对应的几何图形；
②写出已知，求证：
③受拼接方法的启发画出辅助线；
④写出证明过程．
请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．
【分析】根据要求画出△ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：如图，延长CB到F．
∵BE∥AC，
∴∠1＝∠4，∠4＝∠3，
∵∠2+∠7+∠5＝180°，
∴∠1+∠4+∠3＝180°，
即∠A+∠ABC+∠C＝180°．
【点评】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
23．（4分）在同一平面内有5条互不重合的直线，共有6个不同的交点，画出它们可能的位置关系．（画出三种不同的示意图，并指出其中互相平行的直线）
【分析】根据平行线的概念和直线的交点画出图形即可得解．
【解答】解：由题意得，
①如图所示
a∥b，c∥d∥e．
②如图所示
a∥b，c∥d．
③如图所示，
a∥b，c∥d．
【点评】本题主要考查了平行线的概念和直线的交点，解题的关键是熟练掌握以上知识点
24．（7分）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，则x﹣y＝ 4或﹣4 ；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
【分析】（1）由面积公式和同一个图形面积相等列出等式即可；
（2）由（1）可得，（x﹣y）2 ＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣4×＝16，求出x﹣y即可；
（3）将式子变形为（2019﹣m+m﹣2020）2＝（2019﹣m）2+（m﹣2020）2+2（2019﹣m）（m﹣2020），代入已知即可求解．
【解答】解：（1）由题可得，大正方形的面积＝（a+b）2 ，
大正方形的面积＝（a﹣b）2+3ab，
∴（a+b）2 ＝（a﹣b）2+8ab，
故答案为：（a+b）2 ＝（a﹣b）2+7ab；
（2）∵（x+y）2 ＝（x﹣y）2+5xy，
∴（x﹣y）2 ＝（x+y）2﹣7xy＝25﹣4×＝16，
∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4，
故答案为：3，﹣4；
（3）∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）3＝7，
又（2019﹣m+m﹣2020）2＝（2019﹣m）7+（m﹣2020）2+2（2019﹣m）（m﹣2020），
∴4＝7+2（2019﹣m）（m﹣2020），
∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣8．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
25．（7分）问题提出
在学完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式﹣x2+2x+3的最大值吗？
初步思考
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x）+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4
因为（x﹣1）2≥0，
所以﹣（x﹣1）2≤0．
所以当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0．
所以当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+4的值最大，最大值是4．
所以﹣x2+2x+3的最大值是4．
尝试应用
（1）求代数式﹣x2+14x+10的最大值，并写出相应的x的值．
拓展提高
（2）将一根长24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有；若没有，请说明理由．
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值，以及此时x的值即可；
（2）设一段为x，则另一段为24﹣x，表示出两个正方形的面积之和S，利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出最小值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）﹣x2+14x+10
＝﹣（x2﹣14x+49）+59
＝﹣（x﹣4）2+59，
当x＝7时，原式有最大值；
（2）设一段为x，则另一段为24﹣x，
根据题意得：
S＝（）2+（6﹣）2
＝x2﹣3x+36
＝（x﹣12）2+18，
当x＝12时，S有最小值，
则两个正方形面积之和有最小值，此时这根铁丝剪成两段后的长度12cm，这两个正方形面积的和为18cm6．
【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
26．（8分）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1，∠MON＝90°（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D．
【特殊探究】当∠OAB＝60°时，∠ADB＝ 45 °；
【推理论证】随着点A、B的运动，∠ADB的大小会变吗？如果不会，求∠ADB的度数，请说明理由；
【拓展探究1】如图2，在图1的基础上分别作∠DAO与∠DBO的平分线，交于点E 67.5 °；
【拓展探究2】如图3，若将图1中的“∠MON＝90°”拓展为一般情况，即∠MON＝α，连接BP，∠OPB与∠OBP的平分线相交于点Q，试判断∠PQG 与∠D的数量关系，并说明理由．
【分析】【特殊探究】由三角形的外角性质得∠ABN＝∠MON+∠OAB＝150°，再由角平分线定义得∠BAD＝30°，∠ABC＝75°，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
【推理论证】由三角形的外角性质得∠ADB＝∠BAC﹣∠BAD，再由角平分线定义得∠BAD＝∠OAB，∠ABC＝∠ABN，则∠ADB＝∠ABN﹣∠OAB，然后由三角形的外角性质得∠ABN＝90°+∠OAB，即可得出结论；
【拓展探究1】由角平分线定义得∠DAE＝∠DAO，∠DBE＝∠DBO，∠DAO＝∠BAD＝∠OAB，∠ABC＝∠ABN，则∠DAE＝∠OAB，再由【推理论证】可知，∠ADB＝45°，然后由三角形的外角性质得∠AEB+∠DAE＝∠ADB+∠DBE，即可解决问题；
【拓展探究2】由角平分线定义得∠BAD＝∠OAB，∠ABC＝∠ABN，再由三角形的外角性质得∠D+∠BAD＝（∠MON+∠OAB），进而得∠D＝∠MON＝α，然后证明∠PQG＝α，即可得出结论．
【解答】解：【特殊探究】∵∠MON＝90°，∠OAB＝60°，
∴∠ABN＝∠MON+∠OAB＝90°+60°＝150°，
∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN，
∴∠BAD＝∠OAB＝，∠ABC＝×150°＝75°，
又∵∠ADB+∠BAD＝∠ABC，
∴∠ADB＝∠ABC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°，
故答案为：45；
【推理论证】∠ADB的大小不会变，∠ADB＝45°
∵∠BAC＝∠ADB+∠BAD，
∴∠ADB＝∠BAC﹣∠BAD，
∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN，
∴∠BAD＝∠OAB∠ABN，
∴∠ADB＝∠ABN﹣，
∵∠ABN＝∠AOB+∠OAB＝90°+∠OAB，
∴∠ADB＝（∠ABN﹣∠OAB）＝，
即∠ADB的大小不会变，∠ADB＝45°；
【拓展探究6】如图2，设AD与BE交于点F，
∵AE平分∠DAO，BE平分∠DBO，
∴∠DAE＝∠OAE＝∠DAO∠DBO，
∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN，
∴∠DAO＝∠BAD＝∠OAB∠ABN，
∴∠DAE＝∠DAO＝，
由【推理论证】可知，∠ADB＝45°，
∵∠AFB＝∠AEB+∠DAE＝∠ADB+∠DBE，
∴∠AEB+∠OAB＝45°+
＝45°+（180°﹣∠OBC）
＝45°+90°﹣（∠ABO+∠ABC）
＝135°﹣∠ABO﹣
＝135°﹣∠ABO﹣
＝135°﹣∠ABO﹣22.5°﹣，
∴∠AEB＝135°﹣22.5°﹣×90°＝67.5°，
故答案为：67.6；
【拓展探究2】∠PQG＝∠D，理由如下：
∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN，
∴∠BAD＝∠OAB∠ABN，
∵∠ABN＝∠MON+∠OAB，∠ABC＝∠D+∠BAD，
∴∠D+∠BAD＝（∠MON+∠OAB），
∴∠D+∠OAB＝∠OAB，
∴∠D＝∠MON＝α，
∵∠OPB与∠OBP的平分线相交于点Q，
∴∠QBP＝∠OPB∠OPB，
∴∠QBP+∠QPB＝（∠OBP+∠OPB），
∵∠MON＝∠OBP+∠OPB，
∴∠QBP+∠QPB＝∠MON＝α，
∵∠PQG＝∠QBP+∠QPB，
∴∠PQG＝α，
∴∠PQG＝∠D．
【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线定义、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线定义和三角形的外角性质是解题的关键，属于中考常考题型．