2023-2024学年江苏省南京市玄武区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年江苏省南京市玄武区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算中，正确的是( )
A. a4+a2=a6B. a4⋅a2=a8C. a4÷a2=a2D. (a4)2=a6
2.若xA. x+4>y+4B. x−4>y−4C. 4x>4yD. −x4>−y4
3.下列命题中，真命题是( )
A. 三角形的外角和等于180∘B. 有两个角互余的三角形是直角三角形
C. 两个相等的角是对顶角D. 同位角相等
4.甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃∼5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃∼8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是( )
A. 1℃∼3℃B. 3℃∼5℃C. 5℃∼8℃D. 1℃∼8℃
5.已知方程组{ax+by=2cx+dy=3的解是x=2y=3则方程组2ax+b(y−1)=22cx+d(y−1)=3的解为( )
A. x=1y=4B. x=2y=3C. x=2y=4D. x=4y=2
6.如图，BD是△ABC的中线，O是BD上一点，OB=2OD，连接AO并延长交BC于点E.若△BOE的面积为2，则△ABC的面积是( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.神舟十八号载人飞船控制台的导线直径约为0.00015m.将数据0.00015用科学记数法表示为______.
8.分解因式：2a3b+6a2b2−4a2b=______.
9.已知一个多边形的每一个内角都是150∘，则这个多边形的边数是______.
10.若xm=4，xn=9，则x2m−n=______.
11.若关于x，y的方程组3x−2y=53y−2x=m的解互为相反数，则m的值为______.
12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点A作EF//BC.若∠EAB=40∘，∠C=80∘，则∠ADC=______.
13.若不等式x14.如图，AB//CD，DE⊥EF，FG⊥EF，∠ABG=150∘，∠CDE=140∘，则∠BGF=______.
15.点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别是2x−1，3−2x，则x的取值范围为______.
16.如图，∠ABG，∠ADF的平分线BE，DE相交于点E.点F，G分别在AB，AD上，BG，DF交于点C.设∠BFD=α，∠DGB=β，则∠BED=______.(用含有α、β的代数式表示)
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程组3x−2y=82x+y=3.
四、解答题：本题共9小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：
(1)(4−π)0−(−12)−3−(−2)3÷(−2)；
(2)(x−y)(x−3y)−(2x−y)2.
19.(本小题6分)
因式分解：
(1)4x2−16xy+16y2；
(2)(m2+3m)2−(3m+9)2.
20.(本小题6分)
解不等式组2(x+1)≥3x+1,x−12−1<2x−43，并写出它的整数解.
21.(本小题5分)
完成下面的证明过程.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D，点E，F分别在边BC，AD上，EM平分∠BEF交AB于点M，FN平分∠DFE交CD于点N.
求证：EM//FN.
证明：在四边形ABCD中，
∵AB//CD，(已知)
∴______.(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠B=∠D，(已知)
∴∠C+∠D=180∘，(______)
∴______，(同旁内角互补，两直线平行)
∴______，(两直线平行，内错角相等)
∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFE，(已知)
∴∠1=12∠BEF，∠2=12∠DFE，(______)
∴∠1=∠2，(等量代换)
∴EM//FN.(内错角相等，两直线平行)
22.(本小题6分)
如图，10×8的方格纸，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC平移后得到△A′B′C′，图中标出了点C的对应点C′.
(1)画出△A′B′C′；
(2)在△ABC中，画出AC边上的高BD，垂足为D；
(3)点E为方格纸上的格点(点E与点C不重合)，若△ABE和△ABC的面积相等，则格点E共有______个.
23.(本小题7分)
如图，某校园内有一块长为(2a+b)m，宽为(2a−b)m的长方形空地(a>b).为美化环境，计划在这块空地上修建一个长为(2a−b)m，宽为bm的长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成通道.
(1)请用含有a、b的代数式表示通道的面积；
(2)比较通道面积与长方形花圃面积的大小关系.
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A=∠ABE，∠CDB=∠CBD，BE与CD交于点F.
(1)若∠A=40∘，∠ACB=70∘，则∠BFD=______ ∘；
(2)若∠ABC=∠ACB，求证：∠BDF=∠BFD.
25.(本小题10分)
某地天然气收费方案如下：
(1)某家庭当年用气量为500m3.若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元.
(2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人.某年甲、乙两户年用气量之和为1000m3，甲户年用气量大于乙户年用气量.已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？
(3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满.结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费.假定每位员工的年用气量为250m3，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为______间.
26.(本小题7分)
如图①，在△ABC中，∠ACB=90∘，点P在边BC上.将点P绕点B按逆时针方向旋转一定角度α(0∘<α<180∘)得到点P′，连接AP′，BP′，作∠P′BC，∠ACB的角平分线交于点Q.
(1)如图②，若α=90∘，则∠BQC=______ ∘；
(2)如图③，当点P恰好落在边AB上时，探索∠A、∠BQC之间的关系，并说明理由；
(3)随着点P的旋转，当点P′不在边AB上时，探索∠AP′B、∠P′AC、∠BQC之间的关系，直接写出结论.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、a4与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项错误，不合题意；
B、a4⋅a2=a6，故本选项错误，不合题意；
C、a4÷a2=a2，故本选项正确，符合题意；
D、(a4)2=a8，故本选项错误，不合题意．
故选：C.
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一选项判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵x∴x+4∴选项A不符合题意；
∵x∴x−4∴选项B不符合题意；
∵x∴4x<4y，
∴选项C不符合题意；
∵x∴−x4>−y4，
∴选项D符合题意．
故选：D.
根据x此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】B
【解析】解：A、三角形的外角和等于360∘，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；
C、两个相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：B.
根据三角形外角和是360∘、直角三角形的判定、对顶角的定义、平行线的性质判断即可．
本题主要考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式即可求解．
根据“1℃∼5℃”，“3℃∼8℃”组成不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】
解：设温度为x℃，
根据题意可知x≥1x≤5x≥3x≤8
解得3≤x≤5.
故选：B.
5.【答案】A
【解析】解：∵方程组{ax+by=2cx+dy=3的解是x=2y=3，
∴2x=2y−1=3，
解得：x=1y=4，
∴方程组2ax+b(y−1)=22cx+d(y−1)=3的解为：x=1y=4，
故选：A.
根据已知条件和二元一次方程组的解的定义得到2x=2y−1=3，求出x，y即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是根据题意得到2x=2y−1=3.
6.【答案】C
【解析】解：如图，连接DE，
∵OB=2OD，
∴S△BOE=2S△DOE，S△AOB=2S△AOD，
∵△BOE的面积为2，
∴S△DOE=1，
设S△AOD=a，
则S△AOB=2a，
∴S△ADB=S△AOD+S△AOB=a+2a=3a，
∵BD是△ABC的中线，
∴S△ADB=S△CDB，S△ADE=S△CDE，
∵S△CDE=S△AOD+S△DOE=a+1，
∴S△CDE=a+1，
∴S△CDB=S△BOE+S△DOE+S△CDE=2+1+a+1=4+a，
∴3a=4+a，
解得a=2，
∴S△ADB=S△CDB=6，
∴S△ABC=S△ADB+S△CDB=12，
故选：C.
连接DE，由OB=2OD得出S△BOE=2S△DOE，S△AOB=2S△AOD，设S△AOD=a，则S△AOB=2a，即可得出△ADB的面积，由BD是△ABC的中线得出S△ADB=S△CDB，S△ADE=S△CDE，求出△CDB的面积，即可列出关于a的方程求解，从而求出△ABC的面积．
本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据同高的三角形底边之间的关系得出面积之间的关系是解题的关键．
7.【答案】1.5×10−4
【解析】解：0.00015=1.5×10−4.
故答案为：1.5×10−4.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8.【答案】2a2b(a+3b−2)
【解析】解：原式=2a2b(a+3b−2)，
故答案为：2a2b(a+3b−2).
利用提公因式法因式分解即可．
本题考查利用提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
9.【答案】12
【解析】解：∵多边形的各个内角都等于150∘，
∴每个外角为30∘，
设这个多边形的边数为n，则
30∘×n=360∘，
解得n=12.
故答案为：12.
设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360∘求出n的值即可．
本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是360∘这一关键．
10.【答案】169
【解析】解：∵xm=4，xn=9，
∴x2m−n=(xm)2÷xn
=42÷9
=169.
故答案为：169.
直接利用同底数幂的乘除运算法则和幂的乘方和积的乘方法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，正确将原式变形是解题关键．
11.【答案】−5
【解析】解：∵关于x，y的方程组3x−2y=53y−2x=m的解互为相反数，
∴x=−y，
把x=−y代入3x−2y=5得：−3y−2y=5，
−5y=5，
y=−1，
∴x=1，
把x=1，y=−1代入3y−2x=m得：
m=3×(−1)−2×1=−3−2=−5，
故答案为：−5.
根据已知条件可知x=−y，然后把x=−y代入3x−2y=5求出y，从而求出x，最后把x=1，y=−1代入3y−2x=m，求出m即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值．
12.【答案】70∘
【解析】解：∵∠EAB=40∘，∠C=80∘，
∵EF//BC，
∴∠EAB=∠ABC=40∘，∠FAC=∠ACB=80∘，
∴∠BAC=180∘−∠EAB−∠FAC=180∘−40∘−80∘=60∘，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30∘，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=40∘+30∘=70∘，
故答案为：70∘.
根据EF//BC得∠EAB=∠ABC=40∘，∠FAC=∠ACB=80∘，再由三角形内角和定理解答即可．
本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
13.【答案】4【解析】解：∵不等式x∴四个正整数解为：1，2，3，4，
∴4故答案为：4首先根据题意确定四个正整数解，然后再确定a的范围．
此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好四个正整数解．
14.【答案】70∘
【解析】解：如图，分别过点G、F、E作GH//AB、FM//AB、EN//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//GH//FM//EN，
∴∠ABG+∠BGH=180∘，∠HGF=∠MFG，∠MFE=∠NEF，∠CDE+∠DEN=180∘，
∵∠ABG=150∘，∠CDE=140∘，
∴∠BGH=30∘，∠DEN=40∘，
∵DE⊥EF，FG⊥EF，
∴∠GFE=∠MFG+∠MFE=90∘，∠FED=∠NEF+∠DEN=90∘，
∴∠MFG=90∘−∠MFE，∠NEF=90∘−∠DEN=50∘=MFE，
∴∠MFG=40∘=∠HGF，
∴∠BGF=∠BGH+∠HGF=30∘+40∘=70∘，
故答案为：70∘.
分别过点G、F、E作GH//AB、FM//AB、EN//AB，结合垂直定义，根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
15.【答案】12【解析】解：由数轴可得，2x−1>03−2x>2x−1，
解得12故答案为：12由数轴可得，2x−1>03−2x>2x−1，解此不等式组即可．
本题考查解一元一次不等式组、数轴，能够根据数轴正确列出一元一次不等式组是解答本题的关键．
16.【答案】α+β2
【解析】解：连接BD，
因为∠ABG，∠ADF的平分线BE，DE相交于点，
则令∠ABE=∠CBE=m，∠ADE=∠FDE=n，
因为∠BGD=β，
所以∠A=∠BGD−∠ABG=β−2m，
同理可得，∠A=α−2n，
所以β−2m=α−2n，
则β−α=2m−2n，
即m−n=β−α2.
因为∠A+∠ABD+∠ADB=180∘，
所以∠CBD+∠CDB=180∘−(β−2m)−2m−2n=180∘−β−2n，
所以∠EBD+∠EDB=180∘−β−2n+m+n=180∘−β+m−n=180∘−β+β−α2=180∘−α+β2，
所以∠BED=180∘−(∠EBD+∠EDB)=α+β2.
故答案为：α+β2.
根据角平分线的定义，令∠ABE=∠CBE=m，∠ADE=∠FDE=n，结合三角形的内角和定理即可解决问题．
本题主要考查了列代数式及三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和定理及巧用整体思想是解题的关键．
17.【答案】解：{3x−2y=8①2x+y=3②，
②×2+①得：7x=14，
解得：x=2，
将x=2代入②得：y=−1，
则原方程组的解为x=2y=−1.
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18.【答案】解：(1)原式=1+8−(−8)÷(−2)
=1+8−4
=5；
(2)原式=x2−3xy−xy+3y2−(4x2−4xy+y2)
=x2−3xy−xy+3y2−4x2+4xy−y2
=2y2−3x2.
【解析】(1)利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方及除法计算即可；
(2)利用完全平方公式及多项式乘多项式法则计算即可．
本题考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方及除法，完全平方公式及多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=4(x2−4xy+4y2)
=4(x−2y)2；
(2)原式=(m2+3m+3m+9)(m2+3m−3m−9)
=(m2+6m+9)(m2−9)
=(m+3)2(m+3)(m−3)
=(m+3)3(m−3).
【解析】(1)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
(2)利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可．
本题考查利用提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：{2(x+1)⩾3x+1①x−12−1<2x−43②，
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x>−1，
∴该不等式组的解集是−1∴该不等式组的整数解是0，1.
【解析】先解出每个不等式的解集，再取其公共部分，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的整数解．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
21.【答案】∠B+∠C=180∘等量代换 AD//BC∠BEF=∠DFE角平分线定义
【解析】证明：在四边形ABCD中，
∵AB//CD，(已知)
∴∠B+∠C=180∘.(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠B=∠D，(已知)
∴∠C+∠D=180∘，(等量代换)
∴AD//BC，(同旁内角互补，两直线平行)
∴∠BEF=∠DFE，(两直线平行，内错角相等)
∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFE，(已知)
∴∠1=12∠BEF，∠2=12∠DFE，(角平分线定义)
∴∠1=∠2，(等量代换)
∴EM//FN.(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：∠B+∠C=180∘；等量代换；AD//BC；∠BEF=∠DFE；角平分线定义．
根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
22.【答案】2
【解析】解：(1)由题意知，△ABC向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到△A′B′C′，
如图，△A′B′C′即为所求．
(2)如图，BD即为所求．
(3)过点C作AB的平行线，分别过格点E1，E2，
则点E1，E2均满足题意，
∴满足题意的格点E共有2个．
故答案为：2.
(1)由题意知，△ABC向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到△A′B′C′，根据平移的性质作图即可．
(2)利用网格，结合三角形的高的定义画图即可．
(3)过点C作AB的平行线，分别过格点E1，E2，则点E1，E2均满足题意，即可得出答案．
本题考查作图-平移变换、三角形的角平分线、中线和高、平行线的性质，熟练掌握平移的性质、三角形的高的定义、平行线的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)长方形空地的面积为：(2a+b)(2a−b)m2，长方形花圃的面积为：b(2a−b)m2，
∴通道的面积为：(2a+b)(2a−b)−b(2a−b)
=4a2−b2−2ab+b2
=(4a2−2ab)m2；
(2)∵通道面积-长方形花圃面积
=(4a2−2ab)−b(2a−b)
=4a2−2ab−2ab+b2
=4a2−4ab+b2
=(2a−b)2>0，
∴通道面积大于长方形花圃面积．
【解析】(1)根据通道的面积=长方形空地的面积-长方形花圃的面积，列出算式，根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算即可；
(2)求出通道面积与长方形花圃面积的差，从而比较大小即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键理解题意，列出算式．
24.【答案】70
【解析】(1)解：∵∠A=40∘，∠ACB=70∘，
∴∠ABC=180∘−(40∘+70∘)=70∘，
∵∠A=∠ABE，∠CDB=∠CBD，
∴∠A=∠ABE=40∘，∠CDB=∠CBD=70∘，
∴∠BFD=180∘−∠ABE−∠CDB=180∘−40∘−70∘=70∘，
故答案为：70.
(2)证明：如图，设∠A=α，∠ABC=β，
∵∠ABC=∠ACB，
∴180∘−α=2β，
∵∠A=∠ABE=α，
∴∠CBF=β−α，
∵∠CDB=∠CBD，
∴∠BDF=β，∠DCB=180∘−2β，
∵∠BFD是△BCF的外角，
∴∠BFD=∠DCB+∠CBF=180∘−2β+(β−α)=180∘−β−α=2β−β=β，
∴∠BDF=∠BFD.
(1)由内角和定理可得∠ABC=70∘，再根据∠BFD=180∘−∠ABE−∠CDB可计算出结果；
(2)设∠A=α，∠ABC=β，由内角和定理可得180∘−α=2β，再根据条件将∠BFD转化为180∘−2β+(β−α)化简即可看到两角都等于β得证．
本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握内角和定理是关键．
25.【答案】1600 1500 6
【解析】解：(1)∵某家庭当年用气量为500m3.该家庭人口为3人，
∴需缴纳燃气费用：3×400+4×(500−400)=1600(元).
∵某家庭当年用气量为500m3.该家庭人口为4人，
∴需缴纳燃气费用：3×500=1500(元).
故答案为：1600，1500；
(2)设甲用户的用气量为xm3，则乙用户的用气量为(1000−x)m3.
∵甲户年用气量大于乙户年用气量，
∴x>1000−x.
解得：x>500.
∴1000−x<500.
∴3×400+4×(x−400)+3x=3200.
解得：x=600.
∴1000−x=400.
答：甲、乙两户年用气量分别是600m3，400m3；
(3)设3人间有a间，则4人间有22−3a4间．
∵22−3a4为正整数，
∴a=2或a=6.
∴4人间有4间或1间．
3人间煤气用量为：3×250=750m3，
4人间煤气用量为：4×250=1000m3.
①3人间2间，4人间4间．
需缴纳燃气费用：3×[3×400+4×(750−400)]+4[3×500+4×(950−500)+5×(1000−950)]=22000(元).
②3人间6间，4人间1间．
需缴纳燃气费用：6×[3×400+4×(750−400)]+[3×500+4×(950−500)+5×(1000−950)]=19150(元).
∵22000>19150，
∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间．
故答案为：6.
(1)若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：3×400+4×超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：3×500；
(2)设甲户年用气量为xm3，则乙户年用气量为(1000−x)m3，根据甲户年用气量大于乙户年用气量可得甲户年用气量超过500m3，那么乙户年用气量不足500m3，进而根据甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，列出方程求解即可；
(3)设3人间有a间，则4人间有22−3a4间．根据22−3a4为正整数，可得a可能的整数值，那么可得3人间房间数和4人间房间数，根据用气标准得到3人间的年用气量和4人间的年用气量，进而判断出不同情况下的付费情况，比较后可得费用最低的宿舍分配方案．
本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键．
26.【答案】90
【解析】解：(1)若α=90∘，则∠P′BC=90∘，且∠ACB=90∘，
∵BQ平分∠P′BC，CQ平分∠ACB，
∴∠QBC=12∠P′BC=45∘，∠QCB=12∠ACB=45∘，
∴∠BQC=180∘−∠QBC−∠QCB=90∘.
故答案为：90∘.
(2)2∠BQC−∠A=180∘.理由如下：
当点P恰好落在边AB上时，
∠P′BC=∠ABC=α，
在Rt△ABC中，∠A=180∘−∠ABC−∠ACB=90∘−α，
∵∠BQC=180∘−12∠P′BC−12∠ACB=135∘−12α，
∴2∠BQC=270∘−α，
∴2∠BQC−∠A=270∘−α−(90∘−α)=180∘，
∴2∠BQC−∠A=180∘.
(3)2∠BQC=∠AP′B+∠P′AC.理由如下：
当点P′不在边AB上时，∠P′BC=α，
同理可得∠BQC=180∘−12∠P′BC−12∠ACB=135∘−12α，
在四边形AP′BC中，
∠AP′B+∠P′AC+∠ACB+∠P′BC=360∘，
∴∠AP′B+∠P′AC=360∘−∠ACB−∠P′BC=270∘−α，
∵2∠BQC=2×(135∘−12α)=270∘−α，
∴2∠BQC=∠AP′B+∠P′AC.
(1)若α=90∘，则∠P′BC=90∘，且∠ACB=90∘，BQ平分∠P′BC，CQ平分∠ACB，可得∠QBC=12∠P′BC=45∘，∠QCB=12∠ACB=45∘，即可求解．
(2)当点P恰好落在边AB上时，∠P′BC=∠ABC=α，在Rt△ABC中，∠A=180∘−∠ABC−∠ACB=90∘−α，即可求解．
(3)当点P′不在边AB上时，∠P′BC=α，同理可得∠BQC=180∘−12∠P′BC−12∠ACB=135∘−12α，在四边形AP′BC中，∠AP′B+∠P′AC+∠ACB+∠P′BC=360∘，∠AP′B+∠P′AC=360∘−∠ACB−∠P′BC=270∘−α，即可求解．
本题考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，解题关键在于熟练掌握相关定理和性质．阶梯
年用气量
价格
补充说明
第一阶梯
0∼400m3(含400)的部分
3元/m3
当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加100m3150m3，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变.
第二阶梯
400∼800m3(含800)的部分
4元/m3
第三阶梯
800m3以上的部分
5元/m3