2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区南京民办育英外国语学校九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区南京民办育英外国语学校九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共26页。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有
1．已知，则下列各式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）

A．B．2C．D．
3．小明沿着坡度为的山坡向下走了，则他下降了（ ）
A．B．C．D．
4．已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
5．一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2D．平均数是3，众数是2
6．如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②③B．①③④C．①④D．②③④
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填
7．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）

8．若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是，则该圆锥的母线长为 ．
9．已知，若的三边分别长为6，8，10，的面积为96，则的周长为 ．
10．某学校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从平时表现、民主测评、和讲演三个方面分别按百分制打分，然后以3：2：5的比例计算最终成绩，若一名同学的平时表现、民主测评、和讲演成绩分别为90分、80分和94分，则这名同学的最终成绩为 分．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．如果在AB上任取一点M，那么AM≤AC的概率是 ．
12．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝ cm．
13．已知，且，，那么
14．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 ．
15．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为 ．
16．如图，内接于的平分线与交于点D，与交于点E，延长，与的延长线交于点F，连接，G是的中点，连接．若，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
19．如图，AD是△ABC的高，，求△ABC的周长．
20．张明、王成两位同学在初二学年10次数学单元检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）如图所示利用图中提供的信息，解答下列问题：
（1）完成下表：
（2）如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率较高的同学是 ；
（3）根据图表信息，请你对这两位同学各提出学习建议．
21．二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据表格中的信息，完成下列各题：
（1）当x=3时，y=________ ；
（2）当x=_____时，y有最________ 值为________；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________ y2 ；
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是________．
22．已知二次函数的图象经过点和点．
(1)若点坐标为，
①求这个二次函数的表达式；
②当时，直接写出的取值范围．
(2)若点坐标为，且该函数的图象开口向上，直接写出的取值范围．
23．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
24．小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关或都可以使小灯泡发亮．

(1)当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的一个，小灯泡能亮起来的概率是____；
(2)当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
25．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
26．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：：，
求证：（1）AG平分；
（2）EF·CG=DF·BG．
27．如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝3，BC＝5，
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．

答案与解析
1．D
【分析】利用比例的性质进行逐一变形，比较是否与题目一致，即可得出答案.
【详解】A：因为所以ab=cd，故A正确；
B：因为所以ab=cd，故B正确；
C：因为所以(a+c)b=(d+b)c，化简得ab =cd，故选项C正确；
D：因为所以(a+1)(b+1)=(d+1)(c+1)，化简得ab+a+b=cd+d+c，故选项D错误；
故答案选择D.
【点睛】本题考查的是比例的性质，难度不大，需要熟练掌握相关基础知识，重点需要熟练掌握去括号法则.
2．D
【分析】分别求得和所对应的海拔差，求比值即可．
【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为，
则
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，理解每个海拔是平行的是解题关键．
3．A
【分析】根据坡度的定义求解．设垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，∠B=90°，小明从C点走到A点，
∵坡度为的山坡,
∴BC：AB=1：2．
∵AC=1000米，
设BC=x，则AB=2x，
∴x2+（2x）2=10002，
∵x＞0，解得，x=(m)，
故选：A．
【点睛】此题考查了坡度的概念、勾股定理，利用已知得到BC：AB=1：2，进而列出方程是解题关键．
4．B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
5．C
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【详解】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．
6．B
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断②；利用勾股定理分析判断和、和的数量关系，从而判断③和④．
【详解】解：由折叠性质可得：，，，
，，，，
，，
，
，故①正确；
设，，则，，
，
在中，，
，
解得：，
，故②错误；
在中，设，则，
，
解得：，
，，
在中，，
，，故③④正确；
综上，正确的是①③④．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形与折叠及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．
7．8
【分析】根据黄金分割的定义：下半身长与全身的比等于0.618，列方程即可求解．
【详解】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99cm，
设需要穿的高跟鞋为ycm，
根据黄金分割定义，得＝0.618，
解得：y≈8，
经检验y≈8是原方程的根，
故答案为8．
【点睛】本题考查了黄金分割与分式方程的应用，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
8．4
【分析】设该园锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长即可求解．
【详解】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得：
，
解得：，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4
【点睛】本题考查了圆锥的计算：理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
9．48
【分析】首先根据勾股定理的逆定理，可证得是直角三角形，即可求得的面积，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：的三边分别长为6，8，10，，
是直角三角形，
的面积为：，
设的周长为x，
，
，
解得，
故答案为：48．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
10．90
【分析】根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出这名同学的最终成绩．
【详解】解：这名同学的最终成绩为：（分），
故答案为：90．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
11．
【分析】由题意易得，在AB上截取AD=AC，连接CD，要使，则先求出点M所在的位置的长度，然后进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，
在AB上截取AD=AC，连接CD，则点M在线段AD上即可满足，如图所示：
∴的概率为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查概率及等腰三角形的性质，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
12．2或3
【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．
【详解】解：设AP＝xcm．则BP＝AB﹣AP＝(5﹣x)cm
以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当AD：PB＝PA：BC时，
，
解得x＝2或3．
②当AD：BC＝PA+PB时，，解得x＝3，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或3．
故答案为2或3．
【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
13．1
【分析】根据，，，可得，看成是方程变为的两个实数根，根据根与系数的关系即可解决问题．
【详解】解：，，，
，可以看成是方程变为的两个实数根，
，，
．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
14．2+
【详解】试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，
∴AE=AB=，PA=2， 根据勾股定理得：PE=1，
∵点A在直线y=x上，
∴∠AOC=45°，
∵∠DCO=90°，
∴∠ODC=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC=CD=2，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=1，
∴PD=
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴a=PD+DC=2+．
【点睛】本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x与x轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的．
15．
【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
【详解】如图当、、三点共线，距离最小，
∵，为的中点，
∴，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．
16．
【分析】过点O作的垂线，垂足为H，则H为的中点，构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．
【详解】解：如图，过点O作的垂线，垂足为H，则H为的中点．
∴，即，
又∵
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴，
，即．
．
又∵是的平分线，
∴．
为直径，
，
，
，
，
∴，
∴①，
设，则，
∴．
∴．
在中，由勾股定理，得
②
由①、②，得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴的半径长为．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是垂径定理、全等三角形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
17．(1)
(2)
【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，零次幂及负整数指数幂的运算，
（1）先计算零次幂及负整数指数幂、特殊角的三角函数运算，然后计算加减法即可；
（2）将特殊角的三角函数值代入求解即可；
熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
18．
【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．
19．
【分析】根据，求出，根据，求出，再根据勾股定理求出即可求周长．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，，
∵在中，，
∴，即，
∴
∴，，
∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD=．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练运用三角函数知识解直角三角形．
20．（1）张明：平均成绩80，方,60；王成：平均成绩80，中位,85，众,90；（2）王成；（3）张明学习成绩还需提高，优秀率有待提高.
【分析】(1)根据平均数、中位数、众数、方差的概念以及求解方法分别求解，填表即可；
(2)分别计算两人的优秀率，然后比较即可；
(3)比较这两位同学的方差，方差越小，成绩越稳定．
【详解】(1)张明的平均成绩=(80+70+90+80+70+90+70+80+90+80)÷10=80，
张明的成绩的方差=[4×(80-80)2+3×(70-80)2+3×(90-80)2]÷10=60，
王成的平均成绩=(80+60+100+70+90+50+90+70+90+100)÷10=80，
王成的成绩按大小顺序排列为50、60、70、70、80、90、90、90、100、100，
中间两个数为80，90，则张明的成绩的中位数为85，
王成的成绩中90分出现的次数最多，则王成的成绩的众数为90，
根据相关公式计算出结果，可以填得下表：
(2)如果将90分以上(含90分)的成绩视为优秀，
则张明的优秀率为：3÷10=30%，
王成的优秀率为：5÷10=50%，
所以优秀率较高的同学是王成，
故答案为王成；
(3)尽管王成同学优秀率较高，但是方差大，说明成绩不稳定，我们可以给他提这样一条参考意见：王成的学习要持之以恒，保持稳定；
相对而言，张明的成绩比较稳定，但是优秀率不及王成，我们可以给他提这样一条参考意见：张明同学的学习还需再加把劲，学习成绩还需提高，优秀率有待提高.
【点睛】本题考查了平均数，中位数与众数，方差，统计量的选择等知识，正确把握相关概念以及求解方法是解题的关键.
21．（1）﹣1；（2）1、小、﹣2；（3）＞；（4）﹣2≤y≤2
【分析】（1）由表中给出的三组数据，列方程组求得二次函数的解析式，再求出x=3时，y的值；
（2）实际上是求二次函数的顶点坐标；
（3）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；再进行判断即可；
（4）根据抛物线的顶点，当x=5时，y最大，当x=1时，y最小．
【详解】（1）由表得，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣，当x=3时，y==﹣1．
（2）将y=x2﹣x﹣配方得：y=（x﹣1）2﹣2．
∵a=＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为﹣2．
（3）令y=0，则x=±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（﹣2+1，0）
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2．
（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=﹣2，∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2．
故答案为﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，是中考压轴题，难度较大．
22．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用待定系数法解答，即可求解；②把二次函数的解析式化为顶点式可得当时，y取得最大值，最大值为，再由二次函数的性质可得当时，y取得最小值，即可求解；
（2）把点和代入，可得，再由，即可求解．
【详解】（1）解：①根据题意，当时，；当时，．
∴，解得，
∴所求表达式为；
②∵，
∵，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
∵，
∴若，当时，y取得最小值，最小值为，
∴当时， 的取值范围为；
（2）解：把点和代入得：
，解得：，
∵该函数的图象开口向上，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择怡当的方法设出关系式，从而代入数值求解也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
23．（1）y=﹣20x+1600；
（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）超市每天至少销售粽子440盒．
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【详解】解：（1）由题意得，==；
（2）P===，
∵x≥45，a=﹣20＜0，
∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得=6000，
解得，，
∵抛物线P=的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，
又∵x≤58，
∴50≤x≤58，
∵在中，＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．
【点睛】考点：二次函数的应用．
24．(1)
(2)
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）画树状图分析所有结果总数与闭合开关和或和的结果数，再用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：，
答：小灯泡能亮起来的概率是．
（2）解：画树状图如下 ：

由图可知，所有可能发生的结果共有12种，能使灯泡亮的共有4种，所以小灯泡能亮起来的概率为．
答：小灯泡能亮起来的概率为．
【点睛】本题考查用概率公式和用画树状图可列表法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）4．
【详解】试题分析：(1)、连接DO，根据平行线的性质得出∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，结合OA=OD得出∠COD=∠COB，从而得出△COD和△COB全等，从而得出切线；(2)、设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，根据Rt△ODE的勾股定理求出R的值得出答案．
试题解析：（1）证明：连结DO． ∵AD∥OC， ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中 ∵OD=OB，OC=OC， ∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO=90°， ∴∠CDO=90°，
又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠EDO=90°，
∴ED2+OD2=OE2， ∴32+R2=（R+1）2， 解得R=4， ∴⊙O的半径为4．
26．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE＝∠C，根据两边对应成比例及夹角相等证明△ADF∽△ACG，其性质和角平分线的定义得AG平分∠BAC；
（2）由两对应角相等证明△AEF∽△ABG，△ADF∽△AGC，其性质得，，再根据等式的性质求出EF•CG＝DF•BG．
【详解】（1）证明：，，，
，
在和中，

∽，
，
平分；
（2）证明：在和中，
，
∽，
，
在和中，
，
∽ ，
，
，
．
【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式．
27．（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可；
（2）①设 AE=x，证明△ABE∽△DEG，推出，可得，利用二次函数的性质求解即可；
②如图2中，连接DH，解直角三角形求出AE，DE，DG，EG，由翻折的性质可知EG垂直平分线段DH，利用面积法可得．
【详解】解：（1）如图1中，

由折叠可知∠AEB=∠FEB，∠DEG=∠HEG，
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG=180°，
∴∠AEB+∠DEG=90°，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEG，
∴△ABE∽△DEG；
（2）①设 AE=x，
∵△ABE∽△DEG，
∴，
∴，
∴，
∵（），
∴时，DG有最大值，最大值为；
②如图2中，连接DH．

由折叠可知∠AEB=∠FEB，AE=EF，AB=BF=3，∠BFE=∠A=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠FEB=∠EBC，
∴CE=CB=5，
∵点C在直线EF上，
∴∠BFC=90°，CF=5﹣EF=5﹣AE，
∴，
∴AE=EF=5﹣4=1，
∴，
∴,
由折叠可知EG垂直平分线段DH，
∴
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数解决问题．
姓名
平均成绩
中位数
众数
方差（s2）
张明

80
80

王成



260
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…
姓名
平均成绩
中位数
众数
方差(s2)
张明
80
80
80
60
王成
80
85
90
260