2023-2024学年河北省邯郸市广平县七年级(下)期末数学试卷(含详细答案解析)
展开1.如图,要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短,这样做依据的几何学原理是( )
A. 两点之间线段最短B. 点到直线的距离C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短
2.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是( )
A. 1,2,4B. 2,3,4C. 2,5,6D. 3,4,5
3.把0.00258写成a×10n(1≤a<10,n为整数)的形式,则n为( )
A. −1B. −3C. 3D. 2
4.由2x<6,得x<3,其根据是( )
A. 不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变
B. 不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向不变
C. 不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等号的方向改变
D. 移项
5.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
①a2−b2=(a+b)(a−b)
②a(x−y)=ax−ay
③x2+2x+1=x(x+2)+1
④(x+1)(x+3)=x2+4x+3
A. ①B. ①③C. ②④D. ①②③④
6.在等式x2⋅□=x8中,“□”所表示的代数式为( )
A. x6B. −x6C. (−x)7D. x7
7.若(x−3)(x−5)=x2+mx+15,则m的值为( )
A. −8B. −5C. −2D. 2
8.如图,点E在BC的延长线上,下列条件不能判定AB//CD的个数是( )①∠1=∠2
②∠3=∠4
③∠DAB+∠B=180∘
④∠D=∠5
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.下列条件能说明△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A=∠B=3∠CB. ∠A+∠B+∠C=180∘
C. ∠A:∠B:∠C=3:4:5D. ∠A=30∘,∠B=60∘
10.若x2−ax−2可以分解为(x−2)(x+b),则a−b的值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 0
11.若关于x的不等式组x<2x>a−1有解,则a的取值范围是( )
A. a≤3B. a<3C. a≥3D. a>3
12.如图,将一张三角形纸片ABC的三角折叠,使点A落在△ABC外的A′处,折痕为DE,若∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′=γ,那么下列式子中正确的是( )
A. γ=180∘−α−βB. γ=α+2β
C. γ=2α+βD. γ=α+β
二、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分。
13.已知三角形的两边长分别为3和5,则第三边x的范围是______.
14.一元一次不等式5x+17≥0的负整数解是______.
15.若a+b=−5,ab=−10,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为______.
16.对于有理数m,我们规定[m]表示不大于m的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[−2.5]=−3,若[x+23]=5,则x的取值范围是______.
三、解答题:本题共8小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
解方程组或不等式:
(1)2x−y=33x+5y=11;
(2)x+35<2x−53+1.
18.(本小题9分)
根据要求,解答下列各式:
(1)因式分解:18a2b−8b;
(2)先化简,后求值:(2x−1)(2x+1)+4x3−x(1+2x)2,其中x=−3.
19.(本小题9分)
请补全证明过程及推理依据.
已知:如图,点D,E,F分别是三角形ABC的边AB,AC,BC上的点,AB//EF,∠DEF=∠B.
求证:∠AED=∠C.
证明:∵AB//EF,
∴______=∠EFC(______).
∵∠DEF=∠B,
∴∠DEF=∠EFC(______).
∴______(______).
∴∠AED=∠C.
20.(本小题9分)
整式3(13−m)的值为P.
(1)当m=4时,求P的值;
(2)若P的取值范围如图所示,求m的最小负整数值.
21.(本小题9分)
关于x,y的方程组x−y=1+3mx+3y=1+m的解x与y满足条件x+y≤4,求2m+5的最大值.
22.(本小题9分)
如图所示,在△ABC中,BO、CO是角平分线.
(1)∠ABC=40∘,∠ACB=80∘,求∠BOC的度数,并说明理由.
(2)题(1)中,如将“∠ABC=40∘,∠ACB=80∘”改为“∠A=60∘”,求∠BOC的度数.
(3)若∠A=m∘,直接写出∠BOC的度数.
23.(本小题9分)
为了欢度元宵佳节,我市在时代公园安装小彩灯和大彩灯.已知:安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元;安装7个小彩灯和6个大彩灯共需220元;
(1)安装1个小彩灯和1个大彩灯各需多少元?
(2)若安装小彩灯和大彩灯的数量共250个,费用不超过4000元,则最多安装大彩灯多少个?
24.(本小题9分)
有甲、乙两个长方形纸片,边长如图所示(m>0),面积分别为S甲和S乙.
(1)①计算:S甲=______,S乙=______;
②用“<”,“=”或“>”填空:S甲______S乙.
(2)若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等,面积为S正.
①S正=______;
②S正与S乙的差与m有没有关系,并通过计算说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短,这样做依据的几何学原理是:垂线段最短,
故选:D.
根据垂线段的性质:垂线段最短进行解答.
此题主要考查了垂线段的性质,垂线段最短,指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言.
2.【答案】A
【解析】解:A、1+2<4,长度是1、2、4的三条线段不能组成三角形,故A符合题意;
B、2+3>4,长度是3、2、4的三条线段能组成三角形,故B不符合题意;
C、2+5>6,长度是5、2、6的三条线段能组成三角形,故C不符合题意;
D、3+4>5,长度是5、3、4的三条线段能组成三角形,故D不符合题意.
故选:A.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形,由此即可判断.
本题考查三角形三边关系,关键是掌握三角形三边关系定理.
3.【答案】B
【解析】解:0.00258写成2.58×10−3,
则n=−3,
故选:B.
将一个数表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,这种记数方法叫做科学记数法,据此即可求得答案.
本题考查科学记数法表示较小的数,熟练掌握其定义是解题的关键.
4.【答案】B
【解析】解:由2x<6,得x<3,其根据是:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向不变.
故选:B.
由2x<6,不等式的两边同时除以3,得x<3,其根据是:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向不变,据此判断即可.
此题主要考查了不等式的性质:(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子,不等号的方向不变;(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
5.【答案】A
【解析】解:a2−b2=(a+b)(a−b)符合因式分解的定义,则①是因式分解;
a(x−y)=ax−ay是乘法运算,则②不是因式分解;
x2+2x+1=x(x+2)+1中等号右边不是积的形式,则③不是因式分解;
(x+1)(x+3)=x2+4x+3是乘法运算,则④不是因式分解;
故选:A.
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解,据此进行判断即可.
本题考查因式分解的意义,熟练掌握其定义是解题的关键.
6.【答案】A
【解析】解:A、x2⋅x6=x8,故此选项符合题意;
B、x2⋅(−x6)=−x8,故此选项符合题意;
C、x2⋅(−x)7=−x9,故此选项符合题意;
D、x2⋅x7=x9,故此选项符合题意;
故选:A.
根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加逐项计算即可作出判断.
本题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握运算法则是解题的关键.
7.【答案】A
【解析】解:(x−3)(x−5)
=x2−5x−3x+15
=x2−8x+15,
∵(x−3)(x−5)=x2+mx+15,
∴m=−8.
故选:A.
先根据多项式乘多项式法则展开,再合并同类项,再求出答案即可.
本题考查了多项式乘多项式,能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键.
8.【答案】C
【解析】解:①)∠1=∠2,根据内错角相等,两直线平行可判定AD//BC,故符合题意;
②∠3=∠4,根据同位角相等,两直线平行可判定AB//CD,故符不合题意;
③∠DAB+∠B=180∘,根据同旁内角互补,两直线平行可判定AD//BC,故符合题意;
④∠D=∠5,根据内错角相等,两直线平行可判定AD//BC,故符合题意.
故选:C.
根据平行线的判定定理同位角相等,两直线平行.内错角相等,两直线平行.同旁内角互补,两直线平行分别进行分析即可得的答案.
本题考查平行线的判定,关键是掌握平行线的判定方法.
9.【答案】D
【解析】解:当∠A=∠B=3∠C时,
∵∠A+∠B+∠C=180∘,
∴∠A=∠B=(5407)∘,∠C=(1807)∘,故条件A不能说明△ABC是直角三角形;
当∠A+∠B+∠C=180∘时,
因为三角形的内角和是180∘,所以条件B不能说明△ABC是直角三角形;
当∠A:∠B:∠C=3:4:5时,
∵∠A+∠B+∠C=180∘,
∴∠A=45∘,∠B=60∘,∠C=75∘,故条件C不能说明△ABC是直角三角形;
当∠A=30∘,∠B=60∘时,
∵∠A+∠B+∠C=180∘,
∴∠C=90∘,故条件,D能说明△ABC是直角三角形.
故选:D.
根据给出条件计算出各个角的度数,可得结论.
本题考查了三角形的内角和,掌握“三角形的内角和是180∘“是解决本题的关键.
10.【答案】D
【解析】解:(x−2)(x+b)=x2+bx−2x−2b
=x2+(b−2)x−2b,
∵x2−ax−2可以分解为(x−2)(x+b),
∴b−2=−a,−2b=−2,
解得:a=1,b=1.
∴a−b=0,
故选:D.
先对(x−2)(x+b)进行变形,再根据已知条件即可求出a,b的值,最后代入即可.
本题主要考查因式分解-十字相乘法等,求出a,b的值是解题的关键.
11.【答案】B
【解析】解:∵关于x的不等式组x<2x>a−1有解,
∴a−1<2,
解得a<3,
故选:B.
根据不等式组有解,利用大小小大中间找可得a的范围.
本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形外角的性质,折叠问题,熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
根据三角形外角的性质和折叠的性质得:∠BDA′=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A′+∠CEA′,代入已知可得结论.
【解答】
解:如图,设AC交DA′于F.
由折叠得:∠A=∠A′,
∵∠BDA′=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A′+∠CEA′,
∵∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′=γ,
∴∠BDA′=γ=α+α+β=2α+β,
故选:C.
13.【答案】2
本题考查三角形三边关系,关键是掌握三角形三边关系定理.
14.【答案】−1,−2,−3
【解析】解:5x+17≥0,
∴5x≥−17,
∴x≥−175,
∴不等式的负整数解为−1,−2,−3,
故答案为:−1,−2,−3.
首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可.
本题考查了一元一次不等式的整数解,解一元一次不等式,熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键.
15.【答案】50
【解析】解:原式=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2,
∵a+b=−5,ab=−10,
∴原式=−10×(−5)
=50,
故答案为:50.
先将原式变形为ab(a+b)2,再将a+b=−5,ab=−10代入计算即可.
本题考查的是因式分解的应用,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
16.【答案】13,14,15
【解析】解:∵[m]表示不大于m的最大整数,
∴5≤x+23<6,
解得:13≤x<16,
∴整数x为13,14,15,
故答案为:13,14,15.
根据题意得出5≤x+23<6,进而求出x的取值范围,进而得出答案.
本题考查解一元一次不等式组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的不等式组.
17.【答案】解:(1){2x−y=3①3x+5y=11②,
①×5+②,可得13x=26,
解得x=2,
把x=2代入①,可得:2×2−y=3,
解得y=1,
∴原方程组的解是x=2y=1.
(2)x+35<2x−53+1,
去分母,可得:3(x+3)<5(2x−5)+15,
去括号,可得:3x+9<10x−25+15,
移项,可得:3x−10x<−25+15−9,
合并同类项,可得:−7x<−19,
系数化为1,可得:x>197.
【解析】(1)应用加减消元法,求出方程组的解即可;
(2)去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,据此求出不等式的解即可.
此题主要考查了解一元一次不等式的方法,要明确解一元一次不等式的一般步骤,去括号要注意括号前面的符号,移项时要改变符号是关键;以及解二元一次方程组的方法,注意代入消元法和加减消元法的应用是关键.
18.【答案】解:(1)18a2b−8b
=2b(9a2−4)
=2b(3a+2)(3a−2);
(2)(2x−1)(2x+1)+4x3−x(1+2x)2
=4x2−1+4x3−x(1+4x+4x2)
=4x2−1+4x3−x−4x2−4x3
=−1−x,
当x=−3时,
原式=−1−(−3)=−1+3=2.
【解析】(1)先提取公因式,然后利用平方差公式分解因式即可;
(2)根据整式的混合运算法则计算即可.
本题考查了因式分解,整式的混合运算-化简求值,熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键.
19.【答案】∠B两直线平行,同位角相等 等量代换 DE//BC内错角相等,两直线平行
【解析】证明:∵AB//EF,
∴∠B=∠EFC(两直线平行,同位角相等).
∵∠DEF=∠B,
∴∠DEF=∠EFC(等量代换).
∴DE//BC(内错角相等,两直线平行).
∴∠AED=∠C.
故答案为:∠B;两直线平行,同位角相等;等量代换;DE//BC;内错角相等,两直线平行.
利用平行线的性质可得∠B=∠EFC,利用∠DEF=∠B,根据等量代换可得∠DEF=∠EFC,根据内错角相等,两直线平行可得DE//BC,再利用两直线平行,同位角相等可得结论.
本题主要考查了平行线的性质与判定.利用等量代换得到∠DEF=∠EFC,进而得出DE//BC,这是解题的关键.
20.【答案】解:(1)根据题意得,P=3(13−4)=3×(−113)=−11;
(2)由数轴知,P≤7,
即3(13−m)≤7,
解得m≥−2,
∵m为负整数,
∴m的最小负整数值为−2.
【解析】(1)把m=2代入代数式中进行计算便可;
(2)根据数轴列出m的不等式进行解答便可.
本题考查了求代数式的值,解一元一次不等式的解集,不等式的解集的应用,第(2)题关键是根据数轴列出m的不等式.
21.【答案】解:{x−y=1+3m①x+3y=1+m②,
①+②,得2x+2y=2+4m,
即x+y=1+2m,
∵x+y≤4,
∴1+2m≤4,
解得2m≤3,
∴2m的最大值是3,
∴2m+5的最大值是8.
【解析】方程组中的两个方程直接相加得出x+y=1+2m,根据x+y≤4,即可得出2m≤3,从而求出2m+5的最大值.
本题考查了解二元一次方程组,解一元一次不等式,得出x+y=1+2m是解题的关键.
22.【答案】解:∵BO、CO是角平分线,
∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB.
(1)∠BOC的度数为120∘,理由:
∵∠ABC=40∘,∠ACB=80∘,
∴∠OBC=20∘,∠OCB=40∘.
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180∘,
∴∠BOC=120∘.
(2)∵∠A=60∘,
∴∠ABC+∠ACB=120∘.
∴12(∠ABC+∠ACB)=60∘,即∠OBC+∠OCB=60∘.
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180∘,
∴∠BOC=120∘.
(3)∵∠A=m∘,
∴∠ABC+∠ACB=(180−m)∘.
∴12(∠ABC+∠ACB)=(90−12m)∘,即∠OBC+∠OCB=(90−12m)∘.
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180∘,
∴∠BOC=(90+12m)∘.
【解析】先利用角平分线的性质说明∠OBC与∠ABC、∠OCB与∠ACB的关系.
(1)先求出∠OBC与∠OCB的度数,利用三角形的内角和定理得结论;
(2)先利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数,再利用角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB的度数,最后利用三角形的内角和定理得结论;
(3)先利用三角形的内角和定理用含m的代数式表示出∠ABC+∠ACB的度数,再利用角平分线的性质用含m的代数式表示出∠OBC+∠OCB的度数,最后利用三角形的内角和定理得结论.
本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质,掌握三角形的内角和是180∘是解决本题的关键.
23.【答案】解:(1)设安装1个小彩灯需要x元,安装1个大彩灯需要y元,
依题意得:5x+4y=1507x+6y=220,
解得:x=10y=25.
答:安装1个小彩灯需要10元,安装1个大彩灯需要25元.
(2)设安装m个大彩灯,则安装(250−m)个小彩灯,
依题意得:25m+10(250−m)≤4000,
解得:m≤100.
答:最多安装大彩灯100个.
【解析】(1)设安装1个小彩灯需要x元,安装1个大彩灯需要y元,根据“安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元;安装7个小彩灯和6个大彩灯共需220元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设安装m个大彩灯,则安装(250−m)个小彩灯,利用总价=单价×数量,结合总价不超过4000元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
24.【答案】m2+12m+27m2+10m+24>(m+5)2
【解析】解:(1)①S甲=(m+9)(m+3)=m2+12m+27,
S乙=(m+4)(m+6)=m2+10m+24.
故答案为:m2+12m+27;m2+10m+24.
②S甲−S乙=m2+12m+27−(m2+10m+24)=2m+3>0,
则S甲>S乙.
故答案为:>.
(2)①∵C乙=2(m+6+m+4)=4m+20,
∴C正=4m+20,
∴该正方形的边长为4m+204=m+5,
故S正=(m+5)2.
故答案为:(m+5)2.
②没有关系,理由如下,
S正−S乙=(m+5)2−(m2+10m+24)
=m2+10m+25−m2−10m−24
=1,
故S正与S乙的差与m有没有关系.
(1)①根据长方形的面积公式及多项式乘多项式的运算法则,即可得出答案;
②通过作差法比较大小;
(2)①根据一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等,求出正方形的边长,即可求出面积;
②作差即可得出答案.
本题主要考查多项式乘多项式,熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键.
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