2023-2024学年河北省秦皇岛市卢龙县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河北省秦皇岛市卢龙县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若x⬝4是不等式，则符号“●”可以是( )
A. +B. =C. ÷D. ≥
2.如图，在△ABC中，可以说明BC+AC比AB大的理由是( )
A. 垂线段最短
B. 两点可以确定一条直线
C. 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 两点之间线段最短
3.语句“x的15与x的差不超过3”可以表示为( )
A. x5−x≥3B. x5−x≤3C. 5x−5≤3D. x5−x=3
4.下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A. 4x2+y2B. −4x2−y2C. −4x2+y2D. −4x+y2
5.下列运算正确的是( )
A. 3−2=9B. (−2)0=0C. 2a2⋅a3=2a6D. (a2)3=a6
6.如图，∠1+∠2+∠3=232∘，AB//DF，BC//DE，则∠3−∠1的度数为( )
A. 76∘
B. 52∘
C. 75∘
D. 60∘
7.小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话：
小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行.
小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直.
对于两个人的说法，正确的是( )
A. 小明对B. 小刚对C. 两人均对D. 两人均不对
8.如图，∠1、∠2、∠3、∠4满足的关系是( )
A. ∠1+∠2=∠3+∠4
B. ∠1+∠2=∠4−∠3
C. ∠1+∠4=∠2+∠3
D. ∠1+∠4=∠2−∠3
9.不论a为何实数，多项式a2+4a+5的值一定是( )
A. 正数B. 负数C. 零D. 不能确定
10.下列各图中，能直观解释“(3a)2=9a2”的是( )
A. B. C. D.
11.如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满且溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在( )
A. 20cm3以上，30cm3以下B. 30cm3以上，40cm3以下
C. 40cm3以上，50cm3以下D. 50cm3以上，60cm3以下
12.某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为x元，小明妈妈根据信息列出了不等式0.8×(2x−150)<1500，那么小明告诉妈妈的信息是( )
A. 买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不超过1500元
B. 买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不超过1500元
C. 买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不到1500元
D. 买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不到1500元
13.如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
14.现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片(12aA. 10B. 8C. 2D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
15.计算a5÷a的结果等于______.
16.新亚商城春节期间，开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，用科学记数法表示为______.
17.已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为______.
18.多项式ax2−4a与多项式x2+4x+4的公因式是______.
19.如图，直线l1//l2，∠EAB=125∘，∠FBA=85∘，则∠1+∠2=______.
20.“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销.已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打______折销售.
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
分解因式：
(1)3m(x−y)−2n(y−x)；
(2)−a2b+4ab2−4b3.
22.(本小题10分)
已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC为奇数．
(1)求△ABC的周长；
(2)判断△ABC的形状．
23.(本小题10分)
嘉淇准备完成题目：解不等式组5−x>8x+▫3>x−1时，发现常数“□”印刷不清楚.
(1)他把“□”猜成−13，请你解不等式组5−x>8x−133>x−1；
(2)王老师说：不等式组5−x>8x+▫3>x−1的解集是x<−3，请求常数“□”的取值范围.
24.(本小题10分)
阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，
∴(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0
∴(m−n)2+(n−4)2=0，∴(m−n)2=0，(n−4)2=0，∴n=4，m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2−2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−10a−12b+61=0，求△ABC的最大边c的值．
25.(本小题10分)
如图，∠A=59∘，∠D=121∘，∠1=3∠2，∠2=24∘，点P是BC上的一点．
(1)求∠DFE的度数；
(2)若∠BFP=48∘，请判断CE与PF是否平行．
26.(本小题10分)
如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m>n.(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为______；
(2)①若每块小矩形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2，试求m+n的值
(3)②图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为______cm.(直接写出结果)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵若x⬝4是不等式，
∴符号“●”可以是≥，
故选：D.
根据不等式的定义即可求解．
本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．用符号“<，≤”或“>、≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．如x>3.像这样x≠3用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
2.【答案】D
【解析】解：根据两点之间线段最短得BC+AC比AB大，
故选：D.
结合图形根据两点之间线段最短即可求解．
本题主要考查的是线段的性质，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：“x的15与x的差不超过3”，用不等式表示为15x−x≤3.
故选：B.
x的15即15x，不超过3是小于或等于3的数，按语言叙述列出式子即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
4.【答案】C
【解析】解：A、两平方项的符号相同，故本选项错误；
B、两平方项的符号相同，故本选项错误；
C、符合平方差公式，正确；
D、只有一个平方项，故本选项错误．
故选：C.
根据能用平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了公式法分解因式，有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式分解因式．
5.【答案】D
【解析】解：A、原式=19，故本选项错误．
B、原式=1，故本选项错误．
C、原式=25，故本选项错误．
D、原式=a6，故本选项正确．
故选：D.
根据负整数指数幂，零指数幂，幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单项式计算法则解答．
考查了负整数指数幂，零指数幂，幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单项式，属于基础计算题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
根据平行线的性质直接求解．
【解答】
解：∵AB//DF，BC//DE，
∴∠1=∠BCD=∠2，∠3+∠1=180∘，
又∠1+∠2+∠3=232∘，
∴∠1=52∘，∠3=128∘，
故∠3−∠1的度数为128∘−52∘=76∘.故选A.
7.【答案】B
【解析】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴小明错，小刚对，
故选：B.
根据平行公理，垂线的基本性质进行判断即可．
本题考查了平行公理，垂线的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
如图，由三角形外角的性质可得∠1+∠4=∠5，∠2=∠5+∠3，整理可求得∠1、∠2、∠3、∠4满足的关系．
本题主要考查三角形外角性质，掌握三角形一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．
【解答】
解：如图，
由三角形外角的性质可得∠1+∠4=∠5，∠2=∠5+∠3，
∴∠1+∠4=∠2−∠3，
故选D.
9.【答案】A
【解析】解：a2+4a+5=a2+4a+4+1=(a+2)2+1，
∵(a+2)2≥0，
∴(a+2)2+1≥1，
∴多项式a2+4a+5的值一定是正数，
故选：A.
将原式变形为(a+2)2+1，根据偶次方的非负性推出(a+2)2+1≥1，由此即可得到答案．
本题主要考查了因式分解的应用，正确将原式变为(a+2)2+1是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】A表示的面积是(3a)a=3a2；
B表示的面积是3(3a)=9a；
C表示的面积是(3×3)(3a)=27a；
D表示的面积是(3a)2=9a2.
∴ABC不符合题意，D符合题意．
故选：D.
分别根据长方形的面积列式计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握长方形的面积公式及幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，
所以5颗玻璃球的体积最少是：500−300=200(cm3)，
一颗玻璃球的体积最少是：200÷5=40(cm3)，
因此推得这样一颗玻璃球的体积在40cm3以上，50cm3以下．
故选：C.
要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是(500−300)cm3，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可．
此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5颗玻璃球的体积，进而得解．
12.【答案】C
【解析】解：由关系式可知：
0.8(2x−150)<1500，
由2x−150，得出两件商品减150元，以及由0.8(2x−150)得出买两件打8折，
故可以理解为：买两件等值的商品可减150元，再打8折，最后不到1500元．
故选：C.
根据0.8(2x−150)<1500，可以理解为买两件减150元，再打8折得出总价小于1500元．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知得出最后打8折是解题关键．
13.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S△ABD=S△ACD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD，S△ADF=12S△ADC，再得到S△BDE=14S△ABC，S△DEF=18S△ABC，所以S△ABC=83S阴影部分.
【解答】
解：因为D为BC的中点，
所以S△ABD=S△ACD=12S△ABC，
因为E，F分别是边AD，AC上的中点，
所以S△BDE=12S△ABD，S△ADF=12S△ADC，S△DEF=12S△ADF，
所以S△BDE=14S△ABC，S△DEF=14S△ADC=18S△ABC，
S△BDE+S△DEF=14S△ABC+18S△ABC=38S△ABC，
所以S△ABC=83S阴影部分=83×3=8.
故选D.
14.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是整式的混合运算，正确表示出两个阴影部分的面积是解题的关键．根据题意、结合图形分别表示出图2、3中的阴影部分的面积，根据题意列出算式，根据整式是混合运算法则计算即可．
【解答】
解：图3中的阴影部分的面积为：(a−b)2，
图2中的阴影部分的面积为：(2b−a)2，
由题意得，(a−b)2−(2b−a)2=2ab−15，
整理得，b2=5，
则小正方形卡片的面积是5，
故选D.
15.【答案】a4
【解析】解：a5÷a
=a5−1
=a4，
故答案为：a4.
根据同底数幂的除法运算法则求解即可．
本题考查同底数幂的除法，解答的关键是熟知同底数幂的除法运算法则am÷an=am−n.
16.【答案】5×10−6
【解析】解：20万分之一=0.000005=5×10−6.
故答案为：5×10−6.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
17.【答案】6
【解析】解：∵4−3=1，4+3=7，
∴1∵x为整数，
∴x的最大值为6.
故答案为：6.
根据“三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边”求出x的取值范围，进而得到x的最大值．
此题考查三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
18.【答案】x+2
【解析】解：∵ax2−4a=a(x2−4)=a(x+2)(x−2)，x2+4x+4=(x+2)2，
∴多项式ax2−4a与多项式x2+4x+4的公因式是x+2，
故答案为：x+2.
分别将多项式ax2−4a与多项式x2+4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式．
本题考查公因式，熟练掌握提公因式的方法是解题的关键．
19.【答案】30∘
【解析】解：如图，延长AB交l1于点M，交l2于点N.
∵l1//l2，
∴∠EMA+∠ANB=180∘.
又∵∠EAB=∠1+∠EMA，∠FBA=∠2+∠FNB，
∴∠EAB+∠FBA=∠1+∠EMA+∠2+∠FNB.
∴∠1+∠2+(∠EMA+∠FNB)=125∘+85∘=210∘.
∴∠1+∠2+180∘=210∘.
∴∠1+∠2=30∘.
故答案为：30∘.
如图，延长AB交l1于点M，交l2于点N.由l1//l2，得∠EMA+∠ANB=180∘.由∠EAB=∠1+∠EMA，∠FBA=∠2+∠FNB，得∠1+∠2+(∠EMA+∠FNB)=210∘，故∠1+∠2=30∘.
本题主要考查平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
20.【答案】七
【解析】解：设该电商平台打x折销售，
由题意得900×x10≥600×(1+5%)，
解得x≥7，
因此该电商平台至多可以打七打销售，
故答案为：七．
设该电商平台打x折销售，根据“获利不低于5%”列不等式，解不等式即可．
本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
21.【答案】解：(1)原式=3m(x−y)+2n(x−y)
=(x−y)(3m+2n)；
(2)原式=−b(a2−4ab+4b2)
=−b(a−2b)2.
【解析】(1)原式变形后，提取公因式(x−y)即可；
(2)原式提取公因式−b，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得：5−2即：3∵AC为奇数，
∴AC=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12；
(2)∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
(1)首先根据三角形的三边关系定理可得5−2(2)根据等腰三角形的判定可得△ABC是等腰三角形．
23.【答案】解：(1)解不等式5−x>8，得x<−3，
解不等式x−133>x−1，得x<−5，
所以不等式组的解集是x<−5；
(2)设常数“□”为a，
解不等式x+a3>x−1，得x又因为不等式5−x>8的解集为x<−3，
不等式组5−x>8x+a3>x−1的解集为x<−3，
所以−3≤a+32，
解得，a≥−9.
∴“□”的取值范围为大于等于−9.
【解析】(1)根据题意求不等式的解集即可；
(2)先求出各个不等式的解集，然后由不等式组的解集求解即可．
题目主要考查求不等式组的解集及其相关参数，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键．
24.【答案】解：(1)∵x2−2xy+2y2+6y+9=0，
∴(x2−2xy+y2)+(y2+6y+9)=0，
∴(x−y)2+(y+3)2=0，
∴x−y=0，y+3=0，
∴x=−3，y=−3，
∴xy=(−3)×(−3)=9，
即xy的值是9.
(2)∵a2+b2−10a−12b+61=0，
∴(a2−10a+25)+(b2−12b+36)=0，
∴(a−5)2+(b−6)2=0，
∴a−5=0，b−6=0，
∴a=5，b=6，
∵6−5∴6≤c<11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10.
【解析】(1)根据x2−2xy+2y2+6y+9=0，应用因式分解的方法，判断出(x−y)2+(y+3)2=0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可．
(2)首先根据a2+b2−10a−12b+61=0，应用因式分解的方法，判断出(a−5)2+(b−6)2=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可．
(1)此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
(2)此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
25.【答案】解：(1)∵∠A=59∘，∠D=121∘，
∴∠A+∠D=180∘，
∴AB//CD，
∴∠DFE=∠1，
∵∠1=3∠2，∠2=24∘，
∴∠DFE=72∘；
(2)CE//PF，
理由：∵∠DFE=72∘，
∴∠BFC=72∘，
∵∠BFP=48∘，
∴∠PFC=72∘−48∘=24∘，
∵∠2=24∘，
∴∠PFC=∠2，
∴CE//PF.
【解析】(1)根据同位角、内错角以及同旁内角的定义，即可得出结论；
(2)根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定与性质、同位角、内错角以及同旁内角，解题的关键是：(1)能够找出一个角的同位角、内错角以及同旁内角；(2)得出AB//CD；(3)熟悉各平行线的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等(或互补)的角证出两直线平行是关键．
26.【答案】(1)(2m+n)(m+2n)；
(2)依题意得，2m2+2n2=58，
mn=10，
∴m2+n2=29，
∴(m+n)2=m2+n2+2mn=29+20=49，
∴m+n=7；
(3)42.
【解析】解：(1)由图形可知，2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n)，
故答案为(2m+n)(m+2n)；
(2)见答案；
(3)图中所有裁剪线段之和为7×6=42(cm).
故答案为42.
【分析】
(1)根据图象由长方形面积公式将代数式 2m2+5mn+2n2因式分解即可；
(2)根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10平方厘米，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线(虚线部分)长之和即可．
本题考查了因式分解的应用，正确用两种方法表示图形面积是解题的关键．