2023-2024学年北京市怀柔区七年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市怀柔区七年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.9 的算术平方根是( )
A. 3B. −3C. ±3D. 81
2.不等式x−1>0的解是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
3.如果a>b，那么下列不等式不成立的是( )
A. a+3>b+3B. a3>b3C. a2>b2D. −3a<−3b
4.若x=1y=0是关于x，y的二元一次方程ax+2y=4的一个解，则a的值为( )
A. −2B. 2C. −4D. 4
5.如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
6.如图，直线AB与CD交于点O，OE⊥CD于点O，若∠COB=153∘，则∠AOE的度数为( )
A. 43∘B. 53∘C. 63∘D. 73∘
7.小明一家在自驾游时，发现某高速路对行驶汽车的速度在正常情况下有如图规定．设小客车的速度为v千米/小时，则在行车道①行驶速度v应满足的条件是( )
A. 60≤v≤120B. 60≤v≤90C. 120≤v≤100D. 90≤v≤120
8.下列调查活动，适合使用全面调查的是( )
A. 调查某班同学体育选考科目B. 调查全市月人均用水量
C. 调查某品牌蓄电池的使用寿命D. 调查某纪录片在线收视率
9.在《算法统宗》里记载了一道趣题：
原文：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑!
意思是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各买几个？
下列是四位同学的解答：
①小明：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为x+y=10004x7+11y9=999；
②小刚：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为x+y=10004x7+9y11=999；
③小勇：设苦果买x个，甜果买1000−x个，根据题意可列方程为47x+1191000−x=999；
④小强：设苦果买x个，甜果买1000−x个，根据题意可列方程为74x+9111000−x=999；
其中，以上解答一定正确的是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④
10.某初中校在本学期课后服务周三时间为学生开设社团活动，共开设艺术Ⅰ(剪纸社团)、艺术Ⅱ(花艺社团)、艺术Ⅲ(戏曲社团)、艺术Ⅳ(足篮排社团)、艺术Ⅴ(团体操社团)、科技Ⅰ(机器人社团)、科技Ⅱ(航模社团)、科技Ⅲ(爱猫社团)、文学(话剧表演社团)等九个社团，七年级的学生全部参与．为下学期更好的开设学生喜欢的社团活动，学校组织七年级“我最喜爱的一个社团”调查活动，将调查结果绘制成如图所示的统计图表(不完整).
根据以上信息，说法不合理的是( )
A. 参与调查的七年级学生共300人
B. 喜爱艺术类社团比科技类社团的人数多
C. 社团活动需求呈现多元化，科技类还应增加社团数量
D. 在本学期开设的九个社团中，鉴于喜爱团体操社团的人数最少，建议取消团体操社团或丰富活动形式
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个比1大且比2小的无理数__________.
12.在平面直角坐标系中，点P是第三象限内的点，它到x轴的距离与到y轴距离相等，请写出一个满足条件的点P的坐标__________.
13.如图，由∠D=∠CFE可以判定__________//__________，其理由是__________.
14.关于x的不等式ax+2>5的解集为x<3a，则a的取值范围是__________.
15.下面是小明同学解方程组x−4y=132x+y=−1过程的框图表示，请你帮他补充完整：
其中，①为__________，②为__________，③为__________.
三、解答题：本题共13小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M1,−4，N4,−2，将线段MN平移，得到线段PQ(点M的对应点为点P，点N的对应点为点Q)，线段MN上任一点x,y在平移后的对应点为x+a,y+b，其中a≥0，b≥0.
(1)若点P与点N恰好重合，则a=____，b=____；
(2)若a+b=5，且平移后三角形NPQ的面积最大，则此时a=____，b=____.
17.(本小题8分)
计算： 16+3−27− 32+− 2.
18.(本小题8分)
解方程组：x=5−2y3x+4y=13.
19.(本小题8分)
解方程组：2x=9+3y4x+9y=3.
20.(本小题8分)
下面是小明同学求不等式3x+22−343−x≥1解集并在数轴上表示解集的解答过程：
第一步：123x+2−343−x≥1；
第二步：12×3x+12×2−34×3≥1；
第三步：6x+−9+3x≥4；
第四步：6x+3x≥9+4−4；
第五步：9x≥9；
第六步：x≥1.
(1)请将第二、三步和在数轴上表示解集补充完整；
(2)第二步变形的依据是；
(3)第三步变形的目的是．
21.(本小题8分)
已知不等式2x+3≤x+5与1−3(x−1)<6−x同时成立，求x的整数值．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点分别是A−3,0，B−4,−2，C0,−3，请你解答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中画出三角形ABC；
(2)将三角形ABC先向右平移5个单位，再向上平移3个单位．画出平移后的三角形A1B1C1.
(3)把(2)中三角形A1B1C1各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标增加3，得到三角形A2B2C2，直接写出三角形A2B2C2的面积．
23.(本小题8分)
如图，点O在直线l外，点A在直线l上，连接OA.选择适当的工具作图．
(1)在直线l上作点B，使得OB⊥l于点B；
(2)连接OB；
(3)在直线l上取一点C(不与A，B重合)，连接OC；
(4)在OA，OB，OC中，线段最短，依据是．
24.(本小题8分)
小明在学校组织的社会调查活动中负责了解所居住的社区880户居民的家庭年使用管道天然气气量情况，他随机调查了80户居民的家庭年使用管道天然气气量(单位：立方米，简称：年用气量).对数据x(年用气量)进行整理、描述和分析．注：年用气量取整数．
a.绘制了被抽取的80户居民的家庭年用气量频数分布表和频数分布直方图．
家庭年用气量的频数分布表
b.家庭年用气量在279.5≤x<369.5这一组的是：
280 280 285 290 290 298 298 300 300 301 301 301 305 317 322 323 356 362
根据以上信息，完成下列问题：
(1)将两个统计表(图)补充完整；
(2)如表是北京市居民用管道天然气销售价格表，请你估计小明所居住的社区多少户家庭年用气量按第一档缴费即可．
北京市居民用管道天然气价格表
25.(本小题8分)
完成下面的证明：
如图，AB//CD，∠1=∠2,∠3=∠4，求证：AC//BD.
证明：∵∠1=∠2，(已知)
∴∠1+∠CBP=∠2+∠①，(等式性质1)
即∠ABC=∠②．
∵AB//CD，(已知)
∴∠③=∠ABC.(两直线平行，内错角相等)
∵∠3=∠4，(已知)
∴∠3=∠④，(等量代换)
∴⑤．(同位角相等，两直线平行)
26.(本小题8分)
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1&b1&c1a2&b2&c2的形式．例如：2x+3y=74x−5y=3可以写成矩阵2&3&74&−5&3的形式．
(1)填空：将2y−3=x3x−4y−7=0写成矩阵形式为：；
(2)若矩阵3&a&5b&−1&3所对应的方程组的解为x=−1y=−4，求a与b的值．
27.(本小题8分)
三角形ABC中，∠ACB平分线CM与AB相交于点M，MN⊥AC，垂足为点N.
(1)如图1，三角形ABC是直角三角形，∠ACB=90∘.
①补全图1；
②直接写出∠CMN的度数；
(2)如图2，三角形ABC是锐角三角形，过点N作NP//BC，交AB于点P.用等式表示∠PNM，∠NMC与∠ACB三者之间的数量关系并说明理由．
(3)三角形ABC是钝角三角形，其中90∘<∠ACB<180∘.过点N作NP//BC，交AB于点P，直接写出∠PNM，∠NMC与∠ACB三者之间的数量关系．
28.(本小题8分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形Q和图形Q上的任意点Px,y，给出如下定义：
将点Px,y平移到P′x+a,y+a称为将点P进行“a(a是实数)型直角平移”，点P′称为将点P进行“a型直角平移”的对应点；将图形Q上的所有点进行“a型直角平移”称为将图形Q进行“a型直角平移”．
例如：将点P−3,1平移到P′−2,2，则点P′称为将点P进行“1型直角平移”的对应点；将点Px,y平移到P′x−π,y−π，则点P′称为将点P进行“−π型直角平移”的对应点．
已知点A−3,−2和点B−7,−2.

(1)将点A−3,−2进行“2型直角平移”后的对应点A′的坐标为；
(2)将线段AB进行“−2型直角平移”后得到线段A′B′，点K1−5,−4，K2−10,−4，K3−8.7,−4中，在线段A′B′上的点是；
(3)若线段AB进行“a型直角平移”后与坐标轴有公共点，则a的取值是；
(4)已知点E−2,−5，F3,0，点H是线段EF上的一个动点，将点A进行“a型直角平移”后得到的对应点为A′.画图、观察、归纳可得，当a的取值范围是时，HA′的最小值保持不变．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据算术平方根的性质计算即可；
【详解】9的算术平方根是3.
故答案选A.
【点睛】本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了不等式的解集和不等式的解，将x−1>0求解，得出解集，再比较即可，解题的关键是求出不等式的解集．
【详解】解：x−1>0
x>1，
A、由−1<1，不符合题意；
B、由0<1，不符合题意；
C、由1=1，不符合题意；
D、由2>1，符合题意；
故选：D.
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A、∵a>b，∴a+3>b+3，故此选项不符合题意；
B、∵a>b，∴a3>b3，故此选项不符合题意；
C、当a=1,b=−2时，∴a2>b2不成立，故此选项符合题意；
D、∵a>b，∴−3a<−3b，故此选项不符合题意；
故选：C.
4.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，把x=1y=0代入ax+2y=4即可得出a的值．
【详解】解：把x=1y=0代入ax+2y=4，
可得：a=4；
故选：D
5.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义．解答此题确定三线八角是关键．
根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义，
对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延升线，这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．
同位角：两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角；内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．
同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．
逐一判断即可．
【详解】①∠1和∠3互为对顶角，说法正确；
②∠4和∠8是同位角，说法正确；
③∠3和∠7是内错角，说法正确；
④∠4和∠7是同旁内角，说法正确；
结论一定正确的有①②③④共4个；
故选：A.
6.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了与余角与补角有关的计算，根据补角的定义求出∠AOC=180∘−∠COB=27∘，再由垂线的定义可得出∠EOC=90∘，再根据余角的定义可得出∠AOE=∠EOC−∠AOC=63∘.
【详解】解：∵∠COB=153∘
∴∠AOC=180∘−∠COB=27∘，
∵OE⊥CD，
∴∠EOC=90∘，
∴∠AOE=∠EOC−∠AOC=90∘−27∘=63∘，
故选：C.
7.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质．根据题意已知小客车在行车道①行驶的最高限速和最低限速，即可得速度范围．
【详解】解：由题意在行车道①行驶小客车的最高限速为每小时120千米小时，而最低限速为每小时90千米小时，则90≤v≤120，
故选：D.
8.【答案】A
【解析】【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解：A.调查某班同学体育选考科目，人数少使用全面调查，故该选项符合题意；
B.调查全市月人均用水量，调查范围大，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
C.调查某品牌蓄电池的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
D.调查某纪录片在线收视率，调查范围广，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
故选：A.
9.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确列出方程或方程组是解题的关键．
【详解】解：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为x+y=10004x7+11y9=999或设苦果买x个，甜果买1000−x个，根据题意可列方程为47x+1191000−x=999，
则①③正确，
故选：C.
10.【答案】B
【解析】【分析】此题考查了扇形统计图和统计表，从统计图和统计表中获取正确的信息对选项进行判断即可．
【详解】解：A.由题意可得，参与调查的七年级学生共24÷8%=300(人)，
故此选项正确，不符合题意；
B.喜欢艺术类社团的人数为21+24+18+42+12=117(人)，
喜欢科技类社团的人数为48+51+42=141(人)，
故喜爱艺术类社团比科技类社团的人数少，
故此选项错误，符合题意；
C.由题意可知，社团活动需求呈现多元化，科技类还应增加社团数量，故选项正确，不符合题意；
D.在本学期开设的九个社团中，鉴于喜爱团体操社团的人数最少，建议取消团体操社团或丰富活动形式，故此选项正确，不符合题意．
故选：B.
11.【答案】答案不唯一，如 2、 3等
【解析】【分析】根据无理数的大小比较和无理数的定义写出范围内的一个数即可．
【详解】解：一个比1大且比2小的无理数有 2， 3等，
故答案为：答案不唯一，如 2、 3等．
【点睛】本题考查了对估算无理数和无理数的定义的应用，注意：答案不唯一．
12.【答案】−1,−1(答案不唯一)
【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，点到坐标轴的距离，根据点P是第三象限内的点，它到x轴的距离与到y轴距离相等，则点P的横纵坐标相等且都小于0，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限+,+，第二象限−,+，第三象限−,−，第四象限+,−.
【详解】∵点P是第三象限内的点，它到x轴的距离与到y轴距离相等，
∴点P的横纵坐标相等且都小于0，
∴P−1,−1，
故答案为：−1,−1(答案不唯一).
13.【答案】EF
PD
同位角相等，两直线平行

【解析】【分析】本题考查了平行线的判定方法，根据平行线的判定方法即可求解，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵∠D=∠CFE，
∴EF//PD(同位角相等，两直线平行)
故答案为：EF，PD，同位角相等，两直线平行．
14.【答案】a<0
【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：ax+2>5
ax>5−2
ax>3
∵x<3a，
∴a<0，
故答案为：a<0.
15.【答案】代入
消去x
解得x

【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入法求解二元一次方程组的一般步骤是解此题的关键．利用代入法求解二元一次方程组的一般步骤，即可得出答案．
【详解】解：由代入法求解二元一次方程组的步骤可知：
①为代入，②消去x，③为解得x，
故答案为：代入，消去x，解得x.
16.【答案】解：(1)∵点P与点N恰好重合，
∴线段MN向右平移3个单位，向上平移2个单位到线段PQ，
∵线段MN上任一点x,y在平移后的对应点为x+a,y+b，
∴a=3，b=2，
故答案为：3，2；
(2)∵线段MN上任一点x,y在平移后的对应点为x+a,y+b，其中a≥0，b≥0，
∴MN只能向右平移或向上平移，
∵无论如何平移，线段PQ的长度不变，
∴当PQ上的高最大时，△NPQ面积最大，
即点N距离PQ最远时，△NPQ面积最大，
∵a+b=5，
∴当MN向上平移5个单位，水平位置不动时，点N距离PQ最远，△NPQ面积最大，
∴a=0，b=5，
故答案为：0，5.

【解析】【分析】(1)根据点P与点N恰好重合，得到线段MN向右平移3个单位，向上平移2个单位到线段PQ，从而得出a=3，b=2；
(2)根据线段MN上任一点x,y在平移后的对应点为x+a,y+b，a≥0，b≥0，得出MN只能向右平移或向上平移，根据无论如何平移，线段PQ的长度不变，得出当PQ上的高最大时，△NPQ面积最大，即可得点N距离PQ最远时，△NPQ面积最大，根据a+b=5，结合图形，得出当MN向上平移5个单位，水平位置不动时，点N距离PQ最远，△NPQ面积最大，即可得出答案；
本题考查了坐标的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的规律．
17.【答案】解：原式=4+−3−3+ 2
= 2−2

【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算．先求算术平方根，立方根，化简绝对值，最后再计算二次根式的加减法．
18.【答案】解：{x=5−2y①3x+4y=13②，
将①代入②得：35−2y+4y=13，
解得y=1，
将y=1代入①得：x=5−2×1=3，
则方程组的解为x=3y=1.

【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题关键．利用代入消元法解二元一次方程组即可得．
19.【答案】解：{2x=9+3y①4x+9y=3②，
由①变形得：2x−3y=9③，
由③×2得：4x−6y=18④，
由②-④得：15y=−15，
解得y=−1，
将y=−1代入①得，2x=9+3×−1，
即2x=6，
解得x=3，
∴这个方程组的解是x=3y=−1.

【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程即可．
20.【答案】(1)解：第一步：123x+2−343−x≥1；
第二步：12×3x+12×2−34×3+34x≥1，
第三步：6x+4−9+3x≥4；
第四步：6x+3x≥9+4−4；
第五步：9x≥9；
第六步：x≥1，
数轴上表示如图，
，
(2)根据题意可知：去括号法则，
故答案为：去括号法则；
(3)根据题意可知：去分母，
故答案为：去分母．

【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解不等式的步骤求出解集，再用数轴表示即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法．
21.【答案】解：{2x+3⩽x+5①1−3(x−1)<6−x②
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x>−1，
所以不等式组的解集为−1所以整数x的值是0，1，2.

【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)是解题的关键．
分别求出两个不等式的解集，再求出共同解集，继而即可得出整数解．
22.【答案】(1)解：根据点的位置描点连线得到三角形ABC；
(2)解：根据平移方向即可得到三角形A1B1C1，见上图；
(3)解：由题意知三角形A2B2C2由三角形A1B1C1向上平移3单位，则三角形A2B2C2的面积与三角形A1B1C1面积相等，
∴S△A2B2C2=S△A1B1C1=4×3−12×1×4−12×1×2−12×3×3=92.

【解析】【分析】本题主要考查坐标与图形，平移性质和利用网格点求三角形的面积，
1根据点的位置描点连线即可得到三角形ABC；
2根据题意要求先向右平移5个单位，再向上平移3个单位即可得到三角形A1B1C1；
3由于有题意知三角形A2B2C2由三角形A1B1C1向上平移3单位，则三角形A2B2C2的面积三角形A1B1C1面积相等，利用分割法求解即可．
23.【答案】(1)解：如图，点B即为所求；
(2)解：如图，连接OB即可；
(3)解：如图，点C即为所求；
(4)解：根据垂线段最短可知，线段OB最短，
故答案为：OB，垂线段最短．

【解析】【分析】本题考查作图-基本作图，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
(1)作OB⊥直线l即可；
(2)连接OB即可；
(3)在直线l上取一点C(不与A，B重合)，连接OC即可；
(4)根据垂线段最短即可．
24.【答案】(1)家庭年用气量在189.5≤x<279.5这一组的户数：80−4−12−18−6−4=36(户)，
补充表图：
(2)∵家庭年用气量在279.5≤x<369.5这一组中在279.5≤x≤350的有16户，
∴880×4+12+36+1680=748(户)
故估计小明所居住的社区748户家庭年用气量按第一档缴费．

【解析】【分析】本题主要考查了频数分布表和频数分布直方图．熟练掌握频数分布表和频数分布直方图互补性，关键数据，是解题的关键．(1)计算出家庭年用气量在189.5≤x<279.5这一组的户数有36户，补充统计图表；
(2)数出家庭年用气量在279.5≤x<369.5这一组中在279.5≤x≤350的有16户，用880乘9.5≤x≤350户数占比，即可估计小明所居住的社区家庭年用气量按第一档缴费的户数．
25.【答案】证明：∵∠1=∠2，(已知)
∴∠1+∠CBP=∠2+∠CBP，(等式性质1)
即∠ABC=∠PBD.
∵AB//CD，(已知)
∴∠4=∠ABC.(两直线平行，内错角相等)
∵∠3=∠4，(已知)
∴∠3=∠PBD，(等量代换)
∴AC//BD.(同位角相等，两直线平行)
故答案为：①CBP，②PBD，③4，④PBD，⑤AC//BD；

【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握判定与性质是关键；读懂推理过程，结合图形即可完成解答．
26.【答案】(1)解：将方程组2y−3=x3x−4y−7=0变形为−x+2y=33x−4y=7，
所以，将2y−3=x3x−4y−7=0写成矩阵形式为：−1&2&33&−4&7，
故答案为：−1&2&33&−4&7；
(2)解：矩阵3&a&5b&−1&3所对应的关于x，y的二元一次方程组为3x+ay=5bx−y=3，
∵此方程组的解为x=−1y=−4
∴将x=−1y=−4代入方程组3x+ay=5bx−y=3得：{−3−4a=5①−b+4=3②
由①得a=−2；
由②得b=1；
所以a，b的值分别是−2和1

【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键．
(1)将原方程组变形为−x+2y−3=03x−4y−7=0，然后根据题意写出矩阵形式即可；
(2)根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出a、b的值．
27.【答案】(1)①补全如图，
②∵∠ACB=90∘，CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM=45∘，
∵MN⊥AC，
∴∠ANM=∠ACB=90∘，
∴MN//BC，
∴∠CMN=∠BCM=45∘；
(2)∠PNM，∠NMC与∠ACB之间的数量关系为∠NMC=∠PNM+12∠ACB，理由如下：
过点M作MQ//BC交AC于点Q，
∴∠QMC=∠BCM，
∵PN//BC，
∴MQ//PN，
∴∠PNM=∠NMQ，
∴∠NMC=∠NMQ+∠QMC=∠PNM+∠BCM，
∵BM平分∠ACB，
∴∠BCM=12∠ACB，
∴∠NMC=∠PNM+12∠ACB；
(3)如图，过点M作MH//BC交AC于点H，
∴∠HMC=∠BCM，
∵PN//BC，
∴MH//PN，
∴∠PNM=∠NMH，
∴∠HMC=∠NMH+∠NMC=∠PNM+∠NMC，
∵BM平分∠ACB，
∴∠BCM=∠NCM=12∠ACB，
∴12∠ACB=∠PNM+∠NMC，即∠NMC=12∠ACB−∠PNM.

【解析】【分析】(1)①根据题意进行画图即可；
②由∠ACB=90∘，CM平分∠ACB，得∠ACM=∠BCM=45∘，最后根据平行线的性质即可求解；
(2)过点M作MQ//BC交AC于点Q，则∠QMC=∠BCM，从而可证明MQ//PN，根据平行线的性质，角平分线定义，角度和差即可求解；
(3)过点M作MH//BC交AC于点H，则∠HMC=∠BCM，从而可证明MH//PN，根据平行线的性质，角平分线定义，角度和差即可求解；
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
28.【答案】(1)解：由题意得，将点A−3,−2进行“2型直角平移”后的对应点A′的坐标为−3+2,−2+2，即−1,0，
故答案为：−1,0；
(2)解：将点A−3,−2、B−7,−2进行“−2型直角平移”后得A′−5,−4、B−9,−4，
∵点K1、K2、K3与点A、B的纵坐标相同，且−10<−9，
∴在线段A′B′上的点是K1，K3，
故答案为：K1，K3；
(3)解：结合图象可得，若线段AB进行“a型直角平移”后与坐标轴有公共点，则3≤a≤7或a=2，
故答案为：3≤a≤7或a=2；
(4)解：观察图象得，当A′在线段A′A′′上时，HA′的最小值保持不变，最小值为2 2，此时，−1≤a≤4，
故答案为：−1≤a≤4.


【解析】【分析】本题考查平移变换、坐标与图形，(1)根据题目中的平移方式求解即可；
(2)根据题目中的平移方式求得A′−5,−4、B−9,−4，即可求解；
(3)根据定义求出a的最大值、最小值即可求解；
(4)观察图象得，当A′在线段A′A′′上时，HA′的最小值保持不变，即可求解．
社团
艺术Ⅰ
艺术Ⅱ
艺术Ⅲ
艺术Ⅳ
艺术Ⅴ
科技Ⅰ
科技Ⅱ
科技Ⅲ
文学
其他
人数
21
24
18
42
12
48
51
42
33
9
年用气量分组(立方米)
划记
频数
9.5≤x<99.5
4
99.5≤x<189.5
12
189.5≤x<279.5


279.5≤x<369.5
18
369.5≤x<459.5

6
459.5≤x<549.5
4
分档
户年用气量(m3)
销售价格(元/m3)
第一档
0——350(含)
2.61
第二档
350——500(含)
2.83
第三档
500以上
4.23
月用气量分组
(立方米)
划记
频数
9.5≤x<99.5
4
99.5≤x<189.5
12
189.5≤x<279.5
36
279.5≤x<369.5
18
369.5≤x<459.5
6
459.5≤x<549.5
4